希尔伯特变换与傅立叶变换

1、在数学与信号处理的领域中,一个 实数值函数s(*)的希尔伯特转换(Hilberttransform) 在此标示为直 是将信号&(*)与顼3,)做卷积，以得到可今。因 此，希尔伯特转换结果&F)可以被解读为输入是B(*)的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为 1以2。 这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在 通讯理论(应用方面的详述请见下文。)希尔伯特转换是以著名数学家 大卫希尔伯特(David Hilbert)来命名。希尔伯特转换定义如下

2、：富(t) = 7£$=杠(*) * s(t) = J s(T)ht r)dr J其中附=mI并考虑此积分为 柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在T = t以及 T = ±0C等处的奇点。另外要指出的是：若S匚只)，则可被定义，且属于£P(R)；其中18。频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：丑(3)=万互(3)= i - sgnfti? I,其中万是傅立叶变换， i (有时写作j )是虚数单位， *是角频率，以及I 1,for> 0,sgn（aj） = 0,forcv= 0,Lfor/< o,即为符号函数。既

3、然：万宙（以）=H（S）万5（戒希尔伯特转换会将 负频率成分£（*）偏移+90°，而正频率成分偏移-90°反（逆）希尔伯特转换我们也注意到："气3、） = 一1。因此将上面方程式乘上一日（3，可得到：万伯（3）=.广宙（回从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换s（t）=（人 * s） （t） = Ws（t）.傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者 约瑟夫傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概 率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、

4、金融等领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。傅里叶变换能将满足一定条件的某个 函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函 数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为 热过程的解析分析的工具被提出的1。傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化 为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性 质，从而系统对于复杂激励的响应可以通

5、过组合其对不同频率正弦信号的响应 来获取。卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而 提供了计算卷积的一种简单手段。离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT）。线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f 3）和。（司的傅里叶变换 尹丁和尸回都存在，d和廿为任意常系数，贝u万w +闽=QVJ +印M ； 傅里叶变换算符J7可经归一化成为幺正算 贫。平移性质若函数，存在傅里叶变换，则对任意 实数Hp，函数f （矽臼°也存在傅里叶变 换且有巧（少*1 =坦心一地）。式中花体万是傅里叶变换的作用算

6、子， 平体F表示变换的结果（复函数），e为自然对数的底,i为虚数单位二1。微分关系若函数f （事）当T 8时的极限为0 ,而其导函数（罚的傅里叶变换存在，贝U有门/饥）=注炉六时 即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子如。更一般地，若/（±8）=，（土8）=,一=广1）（士8）=0,且 原函数的傅里叶变换乘以因子（如）万糜值）存在,则52® =方或,即k阶导数的傅里叶变换等于卷积特性若函数丁及g 3）都在（-8j +8）上绝对可积，则卷积函数y*+oo/koG/ * ? = /（丁一£）。（£）武 f * g = /（f）g（ S）此J8（或

7、者J8）的傅里叶变换存在，且*。=万/"卢前。卷积性质的逆形式为芹 八3)*G(3三尸任(间尸徊(3),即两个函数卷积的傅里 叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以2tt。帕塞瓦尔定理Z- +°°1 r+<xj_f2(x)dx = /成(3)|2心一 O0 k /2" - 8 I k 刀。其中F( 3 )是f(x)的傅里叶变换。更一般化而言，若函数f 3)和g(i)皆平方可积,则f (g)g*(T)dT = £ /F(g)G%)d3J OCIZk JXiO 其中 F( 3 )和 G(3)分别是f(x)和g(x)的傅里叶变换，*代表复

8、共弛。连续傅里叶变换一般情况下，若 傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是 连续傅里叶变换”逐 续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数 f (t)表示成复指数函数 的积分或级数形式。8F3)=万以圳=/ 此co这是将频率域的函数F(3表示为时间域的函数f (t)的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform) 为oo/(*) =尸侦(3)瑚必.加JDO即将时间域的函数f (t)表示为频率域的函数F( 3的积分。一般可称函数f (t)为原函数，而称函数F( 3为傅里叶变换的像函数，原函 数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform p

9、air )。除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通讯或是 3 f =讯号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对：8X。)=万区(圳=/ 说£) ei2nftdt 88x(t)=万TX(/) = j X(f)ei2vfidf.oo或者是因系数重分配而得到新的变换对：fs=刁六切=/币)1出oo8/(*) =尸“(")=£ /如00一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform )。当f (t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量 将消亡，而可以称这时的变换为 余弦转换(cosine

10、 transform ) 或正弓玄转换 (sine transform ).另一个值得注意的性质是，当 f (t)为纯实函数时， F(- 3 )= F*( 3 成立.傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：8血=Z "弋71=8其中*为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：8+ $2 扇 cos(m:) + bn sin(nx)n=l其中an和bn是实频率分量的振幅。傅里叶分析 最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换 将其推广到了非周

11、期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现 象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换是 离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。 DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转 换。离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数Xn定义在离散点而非连续域内，且须满足 有限性或周期性条件。这种情况下，使用离 散傅里叶变换，将函数Xn表示为下面的求和形式：N-1工皿=£ Xkelkn n = 0,TV 1 fc=O其中Xfc是傅里叶振幅。直接使用这个公式

12、计算的计算复杂度 为 ,而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得 DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方 法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于 调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的 对偶群（dual group ）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析 中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。时频分析变换小波变换,chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时

13、间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其 像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性 .变换时间频率连续傅里叶变换连续，非周期性连续，非周期性傅里叶级数连续，周期性离散，非周期性离散时间傅里叶变换离散，非周期性连续，周期性离散傅里叶变换离散，周期性离散，周期性常用傅里叶变换表下表列出常用的傅里叶变换对。G和H分别代表函数 9。)和照) 的傅里叶变换. 和A可以使可积函数或衰减的分布。函数关系时域信号角频卒表示的傅里叶变换弧频率表示的 傅里叶变换注释雎)

14、mG(，)mI" g(t)eftdtJoa1a g(t)+b- h(t)a . G(s) + b HQ线性2心G(w)厂 f G(_f)时域平移/a 频域平移，3%) tt)FD变换2的频域对应4。（成）取(3如果值较大，则9（*）会收缩到原点附近，而击&G)会扩散并 变得扁平.当回趋向无穷时，成 为狄拉克8 函数。5堕g(2傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量f和频域变量3得到.成g。）Ji傅里叶变6倾3）(i27r/)"G(/)换的微分d切1性质7产3)变换6的8 3 * h）（说扁3）GU）H（f ）衣g和a的卷积一这就是卷积定 理9以）故）(G*H)(3

15、)变换8的vir频域对应。平方可积函数时域信号角频卒表示的傅里叶变换弧频率表示的傅里叶变换注释G（3）mGg1 严75= G(g)驴V 2" J 8房顼加g(块 5W JOQ10rect(at1矩形脉冲和归一化的sinc函数1( 3 '； sine 1 八/27ra2k2?ra.1(f-sine | 1aa /1sine (ai l1/ 3 ', rect (/27ra2k 2%a >a a/变换10的 频域对 应。矩形 函数是理 想的低通 滤波器， sinc函数 是这类滤 波器对反 因果冲击 的响应。1变换12的 频域对应高斯函数exp(a7的傅里叶 变换是他

16、 本身.只有 当Re(o) >时，这是 可积的。光学领域应用较多2 a2q7T砂+炉 / + 4茂户a>0变换本身就是一个公式J0（t）是 02 .代）尸 洗或修I 2:洗二（时）阶第一类0 JV TtS? Ji 一 4江2产贝塞尔函21上一个变换的推广*（T 尸 7；（3）TeB2(i)T1Tp( 2?r/)rect形式；Tn （t）是第一类 Li?2/ - 4tt2/2AC- / J切比雪夫多项式。22Jji(t)t 1(项皿-品一1 (iV -jr n(T)“ S一i(2时 nUn (t)是第¥ fl 1 E>二类切比 雪夫多项、/1 - w2rect i 三

17、) /l 4?r2/2rect(j式O分布时域信号角频卒表示的傅里叶变换G(cj)三M &时和三弧频率表示的傅里叶变换OO注释* 6 (3)变换23的频域对应v2tt 5 (a; a)由变换3和24得至U.Rin(M)vvWW)此处数；注意此变换与变换725242326272829由变换1和25得到，应 用了欧拉公分布.这个变换展示了狄 拉克a函数的重要性： 该函数是常函数的傅立 叶变换代表狄拉克a函数mgn（3）为符号函这里，孔是一个自然 数.阳是狄拉克a附-9机/一义）一批J一担一由变换1和25得到履n函数分布的中阶微分。这 个变换是根据变换7和 24得到的。将此变换与 1结合使用，我们可以变 换所有多项式。£.T/-sgn(w)和24是一致的.1E30；/JT （-讪）mT Ft S顼变换29的推广.31御（古）|V 1 U;可变换29的频域对应.3而/ |1 / 1此处"（£）是单位阶跃函2 "V 2 （诚+碓5 （前+海数;此变换根据变换1和-31得到.H（曰是单位阶跃函数,狄拉克梳状函数有助于解释或理解从连续 到离散时间的转变.海皿+讪）"被”且行0.cn=88弟-n峙E 仞- k=ca二元函数时域信号角 频 率 表 示