理论力学-第3章1上

1、TSINGHUA UNIVERSITY 本章将讨论力系平衡的充分与必要条件，在此基础上导本章将讨论力系平衡的充分与必要条件，在此基础上导出一般情形下力系的平衡方程。并且将力系的平衡方程应用出一般情形下力系的平衡方程。并且将力系的平衡方程应用于各种特殊情形，特别是各力作用线位于同一平面被称为于各种特殊情形，特别是各力作用线位于同一平面被称为平平面力系面力系的情形。的情形。 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 刚体系统的平衡问题是所有机械和结构静力学设计的刚体系统的平衡问题是所有机械和结构静力学设计的基础。分析和解决刚体系统的平衡问题，必须综合应用第基础。分析和解决刚体系统的平衡问题，必须综合应用第

2、1 1、2 2章中的基本概念、原理与基本方法，包括：约束、等效、章中的基本概念、原理与基本方法，包括：约束、等效、简化、平衡以及受力分析等等。简化、平衡以及受力分析等等。 本章还将对本章还将对桁架杆件桁架杆件的受力分析以及考虑摩擦时的平的受力分析以及考虑摩擦时的平衡问题作简单介绍。衡问题作简单介绍。 平面力系平衡方程及其在刚体与简单刚体系统中的应平面力系平衡方程及其在刚体与简单刚体系统中的应用，是本章的重点。用，是本章的重点。 TSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 平面力系的平衡方程平面力系

3、的平衡方程 平衡方程的应用平衡方程的应用 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 平面静定桁架的静力分析平面静定桁架的静力分析 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 TSINGHUA UNIVERSITY 平衡的概念平衡的概念 物体相对惯性参考系静止或作等速直线运动，这物体相对惯性参考系静止或作等速直线运动，这种状态称为种状态称为平衡平衡。平衡是运动的一种特殊情形。平衡是运动的一种特殊情形。 平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参考系的，相对于上平衡的物体是相对于地球上固定参考系的，相对于太阳系的参考系则是不平衡的。本

4、章所讨论的平衡问太阳系的参考系则是不平衡的。本章所讨论的平衡问题是以地球（将固联其上的参考系视为惯性参考系）题是以地球（将固联其上的参考系视为惯性参考系）作为参考系的。作为参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统，这种系统体，也可能是由若干个刚体组成的系统，这种系统称为刚体系统。称为刚体系统。刚体或刚体系统的平衡与否，取决刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。于作用在其上的力系。 TSINGHUA UNIVERSITY对于刚体对于刚体：由：由二个或二个以上刚二个或二个以上刚体组成的系统。体组成的系

5、统。重要概念：重要概念： 整体平衡，局部必然平衡整体平衡，局部必然平衡整体平衡与局部平衡整体平衡与局部平衡TSINGHUA UNIVERSITYCFR2FR1 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 平衡的概念平衡的概念 对于刚体对于刚体：组成系统的单个组成系统的单个刚体或几个刚体刚体或几个刚体组成的子系统。组成的子系统。TSINGHUA UNIVERSITY对于变形体对于变形体：单个物体，或者由二个以及：单个物体，或者由二个以及二个以上物体组成的系统二个以上物体组成的系统 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 平衡的概念平衡的概念 TSINGHUA UNIVERSITYFP1FP2FP3M1q(x)xFP6F

6、P5FP4dxM2 对于变形体对于变形体：组成物体的任意一部分：组成物体的任意一部分FP1FP2FP3M1q(x)x 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 平衡的概念平衡的概念 TSINGHUA UNIVERSITY 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 平衡的概念平衡的概念 FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)对于变形体对于变形体：组成物体的任意一部分。：组成物体的任意一部分。TSINGHUA UNIVERSITY 平衡与平衡条件平衡与平衡条件 平衡的概念平衡的概念 对于变形体对于变形体：组成物体的任意一部分。：组成物体的任意一部分。TSINGHUA UN

7、IVERSITY 力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必要条件。力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必要条件。 力系平衡的条件是，力系的主矢和力系对任一点的力系平衡的条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。因此，如果刚体或刚体系统保持平衡，主矩都等于零。因此，如果刚体或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体系统的力系主矢和和力系对任一点则作用在刚体或刚体系统的力系主矢和和力系对任一点的主矩都等于零。的主矩都等于零。 平衡的必要条件平衡的必要条件 FR 主矢；主矢； MO 对任意点的主矩对任意点的主矩R10FFnii 10FnOOiiMM空间任意力系平衡条件空间任意力系平衡条件 对于一般力系，由平

8、衡的充要条件，可以得到主矢和主对于一般力系，由平衡的充要条件，可以得到主矢和主矩在矩在X、Y、Z方向的分量都等于零。方向的分量都等于零。 空间任意力系的有空间任意力系的有6 6个平衡方程，可求个平衡方程，可求6 6个未知力。个未知力。 0F0F0Fzyx 0FM0FM0FMzyx根据平衡的充要条件根据平衡的充要条件, ,主矢和主矩都为零。主矢和主矩都为零。0, 0 oRMF 对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件的投影形式为的投影形式为 yzxOF1FnF2M2M1Mn 0F0F0Fzyx 0FM0FM0FMzyx 平衡力系中的所有力在直角

9、坐平衡力系中的所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和都等于零；标系各轴上投影的代数和都等于零；平衡力系中的所有力对各轴之矩的平衡力系中的所有力对各轴之矩的代数和也分别等于零。代数和也分别等于零。 上述上述6 6个平衡方程是互相独立的。这些平衡方程适用于任个平衡方程是互相独立的。这些平衡方程适用于任意力系。对于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然满足意力系。对于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然满足的，因此，独立的平衡方程数目会有所不同。的，因此，独立的平衡方程数目会有所不同。 TSINGHUA UNIVERSITY 空间力系的特殊情形空间力系的特殊情形 对于力系中所有力的对于力系中所有力的

10、作用线都相交于一点的作用线都相交于一点的空空间汇交力系间汇交力系，上述平衡方，上述平衡方程中三个力矩方程自然满程中三个力矩方程自然满足，因此，平衡方程为：足，因此，平衡方程为： 000 xyzFFFTSINGHUA UNIVERSITY 任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 空间力系的特殊情形空间力系的特殊情形 对于力偶作用面位于不同平面的空间力偶系，对于力偶作用面位于不同平面的空间力偶系，平衡方程中的三个力的投影式自然满足，其平衡平衡方程中的三个力的投影式自然满足，其平衡方程为：方程为： 000FFFxyzMMM空间力偶系空间力偶系TSINGHUA UNIVERSITY 任意力系的平衡方程任

11、意力系的平衡方程 空间力系的特殊情形空间力系的特殊情形 对于力系中所有力的作对于力系中所有力的作用线相互平行的用线相互平行的空间平行力空间平行力系系, ,若坐标系的轴与各力平行，若坐标系的轴与各力平行，则上述则上述6 6个平衡方程中个平衡方程中自然满足。于是自然满足。于是, ,平衡方程为：平衡方程为： 0FzM0zF 00FFxyMM0,0 xyFFTSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 返回返回 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 平面力系平衡方程的

12、一般形式平面力系平衡方程的一般形式 所有力的作用线都位于同一平所有力的作用线都位于同一平面 的 力 系 称 为面 的 力 系 称 为 平 面 任 意 力 系平 面 任 意 力 系（arbitrary force system in a arbitrary force system in a planeplane）。这时，若坐标平面与力）。这时，若坐标平面与力系的作用面相一致，则任意力系的系的作用面相一致，则任意力系的6 6个平衡方程中，个平衡方程中，自然满足，且自然满足，且0zF 00FFxyMM0FzM0FOMyxzO Fx = 0, MO= 0 Fy = 0, 其中矩心其中矩心O O为力系

13、作用为力系作用面内的任意点。面内的任意点。 yxzO上述平面力系的上述平面力系的3 3个平衡方程中的个平衡方程中的 可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但所选的可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。 Fx = 0 Fy = 0平面一般力系平衡方程的其他形式平面一般力系平衡方程的其他形式A、B 连线不垂直于连线不垂直于x 轴轴A、B、C 三点不在同一直线上三点不在同一直线上 0FM0FM0FBAx 0FM0FM0FMCBA二二矩矩式式三三矩矩式式求固定端求固定端A处的约束力。处的约束力。lqMqlFmkNq2,/

14、为均布载荷单位为解：画受力图解：画受力图00 AxxF,FqlFqlFqlFFFAyAyy 2, 02, 020220qlMMlqllFMFMAAA ,)( MA的负号表示的负号表示MA实际方向与图示相反。实际方向与图示相反。负号表示和假设方向相反。负号表示和假设方向相反。 平面刚架的所有外力的作用平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。线都位于刚架平面内。A处为处为固定端约束。若图中固定端约束。若图中q、FP、M、l等均为已知，等均为已知，试求试求: A处处的约束力。的约束力。 平衡方程的应用平衡方程的应用 1. 选择平衡对象选择平衡对象 本例中只有折杆本例中只有折杆ABCD一个一个刚体

15、，因而是惟一的平衡对象。刚体，因而是惟一的平衡对象。 刚架刚架A处为固定端约束，又因处为固定端约束，又因为是平面受力，故有为是平面受力，故有3个同处于刚个同处于刚架平面内的约束力架平面内的约束力FAx、FAy和和MA。刚架的隔离体受力图如图示。刚架的隔离体受力图如图示。qlFAxFAyMA 其中作用在其中作用在CD部分的均布部分的均布载荷已简化为一载荷已简化为一集中力集中力ql作用作用在在CD的中点。的中点。 解：解：3. 3. 建立平衡方程求解未知建立平衡方程求解未知力力, , 应用平衡方程应用平衡方程 Fx = 0, MA= 0 Fy = 0,0qlFAxP0AyFFP302AlMMF l

16、ql由此解得由此解得: : qlFAxPAyFFqlFAxFAyMA223qllFMMPA TSINGHUA UNIVERSITY 平衡方程的应用平衡方程的应用 解：解：4. 4. 验证所得结果的正确性验证所得结果的正确性 为了验证上述结果的正确为了验证上述结果的正确性，可以将作用在平衡对象上性，可以将作用在平衡对象上的所有力（包括已经求得的约的所有力（包括已经求得的约束力），对任意点（包括刚架束力），对任意点（包括刚架上的点和刚架外的点）取矩。上的点和刚架外的点）取矩。若这些力矩的代数和为零，则若这些力矩的代数和为零，则表示所得结果是正确的，否则表示所得结果是正确的，否则就是不正确的。就是不

17、正确的。 qlFAxPAyFFqlFAxFAyMA223qllFMMPA 0FMA 解：解：0a360sinFa2FM2aqaDB kNFqaFFDB29214160sin23 0Fx060cosFFDAx kNFAx10 0Fy 060sinFFFqaDBAy kNFFqaFBDAy3 .24660sin 在水平梁上作用载荷，已知在水平梁上作用载荷，已知F10KN，FD20KN，q20KN/m，a10m。试求支座。试求支座A和和B的约束力。的约束力。FaM 例题例题: 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用

18、在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 对于对于(a)、(b)两种情形，在辊轴支座两种情形，在辊轴支座A处，其处，其约束力都垂直支承面，所以方向是确定的。约束力都垂直支承面，所以方向是确定的。 但是，固定铰链支座但是，固定铰链支座B处却有方向不确定的约束力。处却有方向不确定的约束力。 因为，折杆上只作用有外加力偶，所以因为，折杆上只作用有外加力偶，所以A、B二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。FAFAFBFBFBFA 因为，折杆上只作用有外因为，折杆上只作用有外加力偶，所以加力偶，所以A、B二处的约二处的约束力，必须组

19、成一个力偶与束力，必须组成一个力偶与外加力偶平衡。外加力偶平衡。FAFB0l2FMA l2MFA 例题例题 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 0lFMA lMFA 例题例题 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 因为，折杆上只作因为，折杆上只作用有外加力偶，所以用有外加力偶，所以A、B二处的约束力，必须

20、二处的约束力，必须组成一个力偶与外加力组成一个力偶与外加力偶平衡。偶平衡。FAFB 对于情形对于情形(c)，D处绳索的约处绳索的约束力束力FD不仅作用线方向确定，不仅作用线方向确定，而且指向也确定。而且指向也确定。FDFE A、B二处的约束力二处的约束力FA和和FB作用线方向可以确定，但指作用线方向可以确定，但指向不能确定。向不能确定。 将将A、B二处的约束力二处的约束力FA和和FB沿沿其作用线方向滑移，其作用线方向滑移， 相交于相交于E点。点。 约束力约束力FA和和FB指向虽然不能确定，但是其合力指向虽然不能确定，但是其合力FE必须与必须与D处的绳索拉力处的绳索拉力FD 组成一个力偶与外加力

21、偶组成一个力偶与外加力偶相平衡。相平衡。E 例题例题 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 FBFAEFDFEEd 根据力偶平衡理论，可以求根据力偶平衡理论，可以求得得FE与与D处的绳索拉力处的绳索拉力FD：0MdFE lM2dMFFDE l22d 例题例题 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 lDE,

22、lBD 45 EFDFEEFBFA45lMdMFFDE2 将将FE 沿水平与铅垂沿水平与铅垂方向分解，便得到方向分解，便得到A、B二处约束力二处约束力FA、FBlMFFFEBA 22 例题例题 折杆折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为数值为M的力偶作用在曲杆的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。上。试求支承处的约束力。 FBFA求：三杆对边求：三杆对边长为长为a的三角板的三角板的约束力。的约束力。解：画受力图解：画受力图aMFMFaFMccA 332, 023, 0)(3332, 0223, 0)(PaMFaPMFaFMAAB 3332,

23、 0223, 0)(PaMFaPMFaFMBBC A、B、C三点不共线，三力矩平衡方程是独立的。三点不共线，三力矩平衡方程是独立的。列平衡方程列平衡方程例例 题题 作用在水力涡轮发电机主轴上的力：作用在水力涡轮发电机主轴上的力： 水力推动涡轮转动的力偶矩水力推动涡轮转动的力偶矩Mz=1200 N.m。 锥齿轮锥齿轮B处受到的力分解为三处受到的力分解为三个分力：圆周力个分力：圆周力Ft，轴向力，轴向力Fa和径和径向力向力Fr。三者大小的比例为。三者大小的比例为Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。 已知涡轮连同轴和锥齿轮的总已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为重量为W=12kN，

24、其作用线沿轴其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径锥齿轮的平均半径OB=0 .6m。 试求：试求：止推轴承止推轴承C和轴承和轴承A处的约处的约束力。束力。 解：解：以以“轴锥齿轮涡轮轴锥齿轮涡轮”组成的系统为研究对象。组成的系统为研究对象。 先求锥齿轮先求锥齿轮B处三个分力大处三个分力大小。根据所有力对小。根据所有力对z轴的力矩平轴的力矩平衡方程，有衡方程，有 0)(FzM由此解得作用在锥齿轮上的圆由此解得作用在锥齿轮上的圆周力周力 N2000tFFCxFAyFAxFCzFCy 滑动轴承滑动轴承A处有处有2个约束力个约束力； 止推轴承止推轴承C处有处有3个约束力个约束力；0tzMFOB Ft :

25、Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。 总重量为总重量为W=12kN，OB=0 .6m。 力偶矩力偶矩Mz=1200 N.m,FCxFAyFAxFCzFCy Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17, W=12kN，OB = 0 .6m。N2000tF由此解得圆周力由此解得圆周力Ft 再由三个力的数值比，得到再由三个力的数值比，得到 N640aFN340rF最后应用空间力系的平衡方程，可以写出最后应用空间力系的平衡方程，可以写出 0zF 0)(FyMt340AxFF 0)(FxM06 . 043arFFFAy 0yF0rFFFCyAy0 aCzFWFkN67. 2Ax

26、FN325AyFkN6 .12CzFN7 .14CyFFCxFAyFAxFCzFCyN7 .14CyFkN67. 2AxFkN6 .12CzF 需要注意的是：在空间力系平衡问题的六个平衡方需要注意的是：在空间力系平衡问题的六个平衡方程中，应使每个方程的未知数尽可能的少，以避免解联程中，应使每个方程的未知数尽可能的少，以避免解联立方程。列写六个方程的先后顺序也应灵活选取。立方程。列写六个方程的先后顺序也应灵活选取。 0 xF0tFFFCxAx667NCxF N2000tFN340rFN325AyF已知：已知：F=12kN,并与铅垂方向成并与铅垂方向成75度角，度角，P=4.2kN，求：，求：A、

27、B的约束力及力偶矩的约束力及力偶矩M。解：画受力图，空解：画受力图，空 间力系平衡。间力系平衡。mNFMMFFMx 11601 . 075sin01 . 075sin, 0)(,NFPFFFMBzBzy363009 . 07 . 04 . 075cos, 0)(, mNFMMFFMx 11601 . 075sin01 . 075sin, 0)(,NFPFFFMBzBzy363009 . 07 . 04 . 075cos, 0)(, NFFFFMByByz662007 . 04 . 075sin, 0)(, NFFFFFAyByAyy4970, 075sin, 0NFPFFFFAzBzAzz25

28、40, 075cos, 0 故只有故只有5个独立平衡方程。个独立平衡方程。0 xF求：求：D、B处的约束力。处的约束力。kNWFFkNPcmrcmR10,202,20,10,2521 鼓鼓轮轮重重皮皮带带轮轮与与鼓鼓轮轮绳绳的的夹夹角角皮皮带带轮轮径径鼓鼓轮轮半半径径 解：画受力图，列平衡方程解：画受力图，列平衡方程0, 0)(21 rFrFRFFMzPFFF ,221kNFkNPrRF100,5012 kNFFFFFMDxDxy1 .1720sin1505 . 15 . 005 . 15 . 0sin5 . 0sin, 0)(,21 kNFFFFFFMDyDyx3 .605 . 1) 5 .

29、 020cos15020(05 . 115 . 0cos5 . 0cos, 0)(21 kNFFFFFFBxDxBxx4 .68)20sin1501 .17(0sinsin, 021kNFkNF1005012kNFDx1 .17 kNFDy3 .60 kNFFFFFFFByByDyy3 .181, 0cos)(, 021 kNFWFFDzDzz10, 0, 0TSINGHUA UNIVERSITY 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题的解法 TSINGHUA UNIVERSITY

30、 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由平衡方程可以解出全部未知数。这类问题，称为平衡方程可以解出全部未知数。这类问题，称为静定静定问题问题，相应的结构称为静定结构，相应的结构称为静定结构。 工程上，为了提高结构的强度和刚度等工程要求，工程上，为了提高结构的强度和刚度等工程要求，常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的数目。这时，仅知约束力的个数大于独立平衡方程的数目。这时，仅仅由静力学

31、平衡方程无法求得全部未知约束力。这类仅由静力学平衡方程无法求得全部未知约束力。这类问题称为问题称为静不定问题或超静定问题静不定问题或超静定问题，相应的结构称为，相应的结构称为静不定结构或超静不定结构静不定结构或超静不定结构。 TSINGHUA UNIVERSITY 静不定问题中，未知量的个数静不定问题中，未知量的个数Nr与独立的平与独立的平衡方程数目衡方程数目Ne之差，称为之差，称为静不定次数静不定次数（degree of statically indeterminate problem）。与静不定次）。与静不定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，因而数对应的约束对于结构保持静定是多余的，

32、因而称为称为多余约束多余约束。 静不定次数或多余约束个数用静不定次数或多余约束个数用i表示，由下式表示，由下式确定：确定： i =NrNe 静定和静不定问题的概念静定和静不定问题的概念 刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题 Nr : 未知量的个数未知量的个数Ne : 平衡方程数目平衡方程数目TSINGHUA UNIVERSITY 刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题的解法 由两个或两个以上的刚体所组成的系统，称为由两个或两个以上的刚体所组成的系统，称为刚刚体系统体系统（rigid multibody system）。）。 刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统的整刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考

33、察系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统），不能确体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统），不能确定全部未知力。定全部未知力。 为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概为了解决刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系系统若整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。 根据这一重要概念，根据这一重要概念，只要正确理解只要正确理解整体平衡与整体平衡与局部平衡局部平衡的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。就可以解出全部未

34、知力。刚体系刚体系：由两个或两个以上的刚体由两个或两个以上的刚体用约束联结起来系统。用约束联结起来系统。称为称为刚体系统刚体系统（rigid multibody system）。）。刚体系统平衡问题的特点是：刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。当然，仅仅当然，仅仅考虑整体平衡是可以求出一部分约束力的。考虑整体平衡是可以求出一部分约束力的。 刚体系统平衡，则组成这一系统的每个刚体也必然是平刚体系统平衡，则组成这一系统的每个刚体也必然是平衡的。因此，只要正确理解整体平衡与局部平衡的概念，全衡的。因此，只要正确理解整体平衡与局

35、部平衡的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。 重要概念重要概念整体平衡，局部必然平衡整体平衡，局部必然平衡 刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题的解法 求解刚体系平衡问题的基本途径求解刚体系平衡问题的基本途径：1 1、分别考虑每一刚体的受力情况，建立平衡方程，然后、分别考虑每一刚体的受力情况，建立平衡方程，然后 联立求解。这一方法叫做联立求解。这一方法叫做“单体加单体单体加单体”的方法。的方法。2 2、考虑整个系统和其中某些单个刚体的平衡条件，求出、考虑整个系统和其中某些单个刚体的平衡条件，求出 未知量。这种方法叫做未知

36、量。这种方法叫做“整体与单体结合整体与单体结合”的方法。的方法。 具体选择哪一种方法，要根据题意，灵活应用。尽量避免具体选择哪一种方法，要根据题意，灵活应用。尽量避免解联立方程。解联立方程。 刚体系统平衡问题的解法刚体系统平衡问题的解法 例题例题：如图四种结构，如图四种结构，B B点连接方式和所加外力各有差别，点连接方式和所加外力各有差别，已知已知FP和和l，求约束力。，求约束力。如图两种情形，如图两种情形，B B处都是铰链连接。处都是铰链连接。如图是第三种和第四种情形，如图是第三种和第四种情形，B B处和横杆固定。处和横杆固定。第一种情形第一种情形0MA 0l2FdFpBC pBCF22F

37、0MB 0lFlFpAy pAyFF 0Fx045cos BCAxFFpAxF2F ld22 BCBC杆受一个力偶，因此杆受一个力偶，因此B B、C C两处的约束力也应该组成一两处的约束力也应该组成一个力偶与之平衡，因此个力偶与之平衡，因此B B、C C两处的约束力大小相等、方向相两处的约束力大小相等、方向相反，于是可以将其分解为与杆平行和垂直的两个分量；而反，于是可以将其分解为与杆平行和垂直的两个分量；而ABDABD杆上杆上A A、B B两处都有两个约束力。两处都有两个约束力。第二种情形第二种情形FAxFByFBxFAyM=FP lFBy FBx FCxFCy第二种情形M=FP l 图示结构

38、图示结构 ，若，若 FP 和和 l 已知，确定四种情形下的已知，确定四种情形下的约束力约束力FAxFByFBxFAy考察考察ABD ABD 杆杆 的平衡的平衡 MB ( F ) = 0 : MA ( F ) = 0 :FBy= 0FAy= 0Fx = 0 : FBx+ FAx=0 FBx= -FAx 图示结构图示结构 ，若，若 FP 和和 l 已知，确定四种已知，确定四种情形下的约束力情形下的约束力M=FP lFByFBxFCxFCy考察考察BC杆杆 的平衡的平衡Fx = 0 : FBx - FCx= 0 FCx= FBx= FBxFy = 0 : FBy- FCy=0 FCy= FBy=FB

39、y=0 MB ( F ) = 0 : l FCx+ M = 0FCx= -FP = FBxFBx= -FAxFAy= 0FBy= 0M=FP l第二种情形第二种情形FAx = - FBx= FP更简单的方法更简单的方法（分析分析BC和和ABD杆受力杆受力） 这个问题是否有更简单的方法？比如说，这个问题是否有更简单的方法？比如说，B B、C C两处的两处的约束力是水平方向的，这样就能直接把它求出来，这种想约束力是水平方向的，这样就能直接把它求出来，这种想法是否正确？法是否正确？ 关于平衡对象的选择关于平衡对象的选择 关于平衡对象选择的问题，刚才我们选择了两个平衡对关于平衡对象选择的问题，刚才我们

40、选择了两个平衡对象，能不能就以整体为平衡对象呢？请思考这个问题。象，能不能就以整体为平衡对象呢？请思考这个问题。 能不能以整体能不能以整体 为研究对象为研究对象第三种情形第三种情形 A A处有一个约束力，处有一个约束力，C C处有两个约束力，考虑处有两个约束力，考虑整体平衡，整体平衡， 0l2FlF0MPCxA 0l2FlF0MPAC 00PCyyFFFPCxF2F PCyFF PAF2F ACBDllFPlFCyFAFCx第四种情形第四种情形 MC(F) = 0 : FA= FPFAl - - M=0 Fx = 0 FA= - - FC = FPlM=FP lllACBDFAFC例题例题:

41、第一种情形第一种情形，如图结构，求如图结构，求A A、D D处的约束力，为简处的约束力，为简单起见，画出如图受力简图。如果考虑整体平衡，能求出几单起见，画出如图受力简图。如果考虑整体平衡，能求出几个约束力？要求出所有约束力，还必须考虑什么？个约束力？要求出所有约束力，还必须考虑什么？已已 知：知：FP、l、r 求求 ：A、D 二处约束力二处约束力 以整体作为平衡对象，用平面问题的三个平衡方程能以整体作为平衡对象，用平面问题的三个平衡方程能求出求出A A端的三个约束力，但无法求出端的三个约束力，但无法求出D D处的约束力；因此还处的约束力；因此还要考察其它刚体，要考察其它刚体，DEDE是二力杆是

42、二力杆，两端约束力都未知，因此，两端约束力都未知，因此考虑考虑BECBEC杆，杆，B B处有两个约束力，处有两个约束力，E E处有一个约束力，能通过处有一个约束力，能通过三个平衡方程求出，从而求得三个平衡方程求出，从而求得D D处的约束力。处的约束力。第二第二种情形 如图结构，绳子的固定与第一种情形不同，因此外如图结构，绳子的固定与第一种情形不同，因此外加的约束力也不同，但是考虑整体平衡，还是能把加的约束力也不同，但是考虑整体平衡，还是能把A A端的端的三个约束力求出来。三个约束力求出来。 和第一种情形一样，再单独考虑和第一种情形一样，再单独考虑BECBEC杆，不同杆，不同之处在于之处在于C

43、C端多了一个水平力，其它并没有什么端多了一个水平力，其它并没有什么差别。差别。第三种情形第三种情形 如图，在如图，在BECBEC杆上增加了均匀分布的载荷，只要把均匀杆上增加了均匀分布的载荷，只要把均匀分布载荷简化为一个集中力，即如图所示，以下的所有分分布载荷简化为一个集中力，即如图所示，以下的所有分析都是和第二种情形相似的。析都是和第二种情形相似的。q载荷集度载荷集度分析过程分析过程 TSINGHUA UNIVERSITY 结构由杆结构由杆AB与与BC在在B处铰接而成。结构处铰接而成。结构A处处为固定端，为固定端，C处为辊轴支座。结构在处为辊轴支座。结构在DE段承受均段承受均布载荷作用，载荷集

44、度为布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力处作用有外加力偶，其力偶矩为偶，其力偶矩为M。若。若q、l、M等均为已知，试等均为已知，试求求A、C二处的约束力。二处的约束力。 例例 题题TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：1. 1. 受力分析，选择平衡对象受力分析，选择平衡对象 考察结构整体，在固定端处有考察结构整体，在固定端处有3个约束力，设为个约束力，设为FAx、FAy和和MA；在辊轴支座处有；在辊轴支座处有1个竖直方向的约束力个竖直方向的约束力FRC 。FAxFAyMAFRC 这些约束力称为系统的这些约束力称为系统的外约束力外约束力（external constraint f

45、orce）。仅仅根据整体的）。仅仅根据整体的3个平衡方程个平衡方程，无，无法确定所要求的法确定所要求的4个未知力个未知力。因而，除了整体外，还需。因而，除了整体外，还需要其他的平衡对象。为此，必须将系统拆开。要其他的平衡对象。为此，必须将系统拆开。 B 将结构从将结构从B处拆开，则铰链处拆开，则铰链B处的约束力可以用相互垂处的约束力可以用相互垂直的两个分量表示，但作用在两个刚体直的两个分量表示，但作用在两个刚体AB和和BC上同一处上同一处B的约束力，互为作用与反作用力。这种约束力称为系统的的约束力，互为作用与反作用力。这种约束力称为系统的内约束力（内约束力（internal constrain

46、t force）。内约束力在考察结）。内约束力在考察结构整体平衡时并不出现。受力图中构整体平衡时并不出现。受力图中ql为均布载荷简化的结为均布载荷简化的结果。果。MAFRCFAxFAyFBxFByFBxFByFAxFAyMAFRCTSINGHUA UNIVERSITY解：解： 根据整体结构的受力图根据整体结构的受力图 ( (为了简便起见，当取整为了简便起见，当取整体为研究对象时，可以在原图上画受力图体为研究对象时，可以在原图上画受力图) )，由平衡，由平衡方程方程 0 xF0AxFFAxFAyMAFRCTSINGHUA UNIVERSITY3. 3. 局部平衡局部平衡 杆杆AB的的A、B二处作

47、用有二处作用有5个约束力，其中已求得个约束力，其中已求得FAx=0，尚有，尚有4个未知，故杆个未知，故杆AB不宜最先选作平衡对象。不宜最先选作平衡对象。 杆杆BC的的B、C二处共有二处共有3个未知约束力，可由个未知约束力，可由3个独立平衡方程确定。因此，先以杆为平衡对象。个独立平衡方程确定。因此，先以杆为平衡对象。MAFAxFAyFBxFByFRCFBxFByBTSINGHUA UNIVERSITY先考察先考察BC杆的平衡，由杆的平衡，由 0FBMR202ClFlMqlR24CMqlFl 求得求得BC上的约束力后，再应用上的约束力后，再应用B处两部分约束力处两部分约束力互为作用与反作用关系，考察杆互为作用与反作用关系，考察杆AB的平衡，即可求得的平衡，即可求得A处的约束力。处的约束力。FRCB 也可以在确定了也可以在确定了C处的约束力之后