数字图像处理

1、 课程名称： 数字图像处理 论文题目： 基于MATLAB的数字图像处理的典型应用二维图像变换 专业： 班级： 姓名： 学号： 摘 要数字图像处理是指将图像信号转换成并通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。其中，通过傅里叶变换、离散余弦变换等方法，实现图像处理的简化、图像的压缩、图像的增强等目的的二维图像变换，对于更好地实现图像处理意义重大，且符合实际。因此，掌握二维图像变换的几种重要方法是非常有必要的。其中，通过编写程序并在MATLAB环境下运行，得到相应的效果图，便是掌握图像变换基本原理和性质的重要方法。关键字 ：二维离散傅里叶变换；二维离散余弦变换；基

2、本原理；性质；操作及效果图目 录1.图像变换21.1概述21.2分类22.二维离散傅里叶变换22.1 离散傅里叶变换概述22.2二维离散傅里叶变换32.2.1二维傅里叶变换的定义32.2.2. MATLAB提供的快速傅立叶变换函数32.2.3二维离散傅里叶变换的几点重要性质及MATLAB实现53.二维离散余弦变换 83.1二维离散余弦变换概述 83.2 MATLAB提供的二维离散余弦变换函数94.二维沃尔什变换105.二维哈达玛变换116.总结11参考文献11基于MATLAB的数字图像处理的应用实例二维图像变换1. 图像变换1.1概述图像变换是为达到图像处理的某种目的而使用的数学方法。具体来说

3、，就是将原定义在图像空间的图像按一定规则以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。在图象处理的广泛应用领域中，图像变换起着非常重要的作用，具体表现在图象分析、图象增强及图象压缩等方面。1.2分类图像变换可分为可分离变换和统计变换两大类，由于条件和所学知识限制，这里只介绍可分离变换。可分离变换又可具体分为离散傅里叶变换(DFT)、离散余弦变换（DCT）、沃尔什变换Walsh和哈达玛变换Hadamard四类。其中，离散傅里叶变换和离散余弦变换属于正弦性变换，而沃尔什变换和哈达玛变换属于方波型变换。由于现在我们所看到的图像大都为

4、二维的，所以这里重点介绍二维离散傅里叶变换和二维离散余弦变换。2. 二维离散傅里叶变换2.1 离散傅里叶变换概念及特点二维离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。它是图像滤波、图像复原、图像重建以及图像形状分析等应用的理论基础。其特点为：1.实现了信号由时域到频域的转换；2.既能反映信号的特性又只有有限的样本，适合计算机、DSP等的处理；3.离散傅里叶变换表示的函数特征都可以通过相应离散傅立叶反变换重建，不会造成信息的损失。4.存在多种离散傅立叶快速算法2.2 二维离散傅里叶变换2.2.1二维离散傅里叶变换的定

5、义：假设f（x,y）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：u=0,1M-1v=0,1N-1  离散傅立叶反变换的定义如下： x=0,1M-1y=0,1N-1F（u,v）称为f（x,y）的离散傅立叶变换系数。这个式子表明，函数f（x,y）可以用无数个不同频率的复指数信号和表示，而在频率（w1，w2）处的复指数信号的幅度和相位是F（w1，w2）。例如，函数f（x,y）在一个矩形区域内涵数值为1，而在其他区域为0。2.2.2. MATLAB提供的快速傅立叶变换函数 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特

6、性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的，大大的缩短了运算量。基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散FFT算法可以用两个一维FFT算法来实现。 其相关函数如下：（1）fft2：用于计算二维快速傅立叶变换，返回图象I的二维fft变换矩阵，输入图象I和输出图象B大小相同。其语法格式为：B = fft2(I)（2）ifft2：用于计算图象的二维傅立叶反变换，返回图象I的二维傅立叶反变换矩阵，输入图象I和输出图象B大小相同。其语法格式为：B = ifft2(I)（3）fftshift：用于将变换后的图象频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，将I的一、三象限和二、四象限进行互换后得到的图像。其语法格式为

7、： B = fftshift(I)MATLAB实现：对“autumn.tif”图像先转换为灰度图像，然后进行DFT变换，并进行频谱中心化（二维傅里叶变换的频移性）。I=imread('autumn.tif');J=rgb2gray(I);G=fft2(J);A1=real(G);A2=imag(G);B1=sqrt(A1.2+A2.2);B1=(B1-min(min(B1)/max(max(B1)-min(min(B1)*255;H=fftshift(G);A3=real(H);A4=imag(H);B2=sqrt(A3.2+A4.2);B2=(B2-min(min(B2)/m

8、ax(max(B2)-min(min(B2)*255;subplot(1,3,1),imshow(I),title('原图');subplot(1,3,2),imshow(B1),title('频谱图');subplot(1,3,3),imshow(B2),title(频谱中心化); 2.2.3二维离散傅里叶变换的几点重要性质及MATLAB实现 （1）二维傅里叶变换具有相加性：两幅图像相加相加后傅里叶频谱等于两幅图像各自的傅里叶频谱相加。Ff1(x,y)+f2 (x,y)=Ff1(x,y)+Ff2(x,y), Ff1 (x,y)f2 (x,y) Ff1 (x,y

9、)Ff2 (x,y).（2）二维傅里叶变换具有旋转不变性： 令：x=rcosq, y=rsinq, u=cosf, v= sinf. f(x,y)-f(r, q ),F(u,v)-F( , f) 旋转定理：若f(r, q) Û F( , f) 有 f(r, q + q 0) Û F(, f+ q 0) 该式表明，如果空间域函数f(x,y)旋转0角度后，相应的傅立叶变换F(u,v)在频域中也旋转同一0角，反之，F(u,v)在频域中旋转0角，其反变换f(x,y)在空间域中也旋转0角。MATLAB实现：对“girl.png”图像进行操作，验证相加性和旋转不变性。I=imread(

10、' girl.png ');I=rgb2gray(I); subplot(421);imshow(I);title('原图');J = fft2(I);J = fftshift(J);subplot(422);imshow(log(1+abs(J),);title('傅立叶变换后的图像');G=imrotate(I,45,'bilinear','crop');subplot(423);imshow(G);title('原图旋转45度');H = fft2(G);H= fftshift(H);subp

11、lot(424);imshow(log(1+abs(H),);title('旋转后傅立叶变换后的图像');M=I+G;subplot(425);imshow(M);title('相加');N = fft2(M);N= fftshift(N);subplot(426);imshow(log(1+abs(N),);title('相加后傅立叶变换后的图像');K=J+H;subplot(428);imshow(log(1+abs(K),);title('傅立叶频谱相加的图像'); （3）二维傅里叶变换具有平移性：说明将F(u,v)乘以一

12、指数项，相当于把其反变换后的空域中心移到新的位置，图像平移不影响傅立叶变换的幅值。f(x-x0,y-y0) ÛF(u,v)exp- j2p(ux0+vy0)/N.|F(u,v)expj2p(ux0+vy0)/N|=|F(u,v)|MATLAB实现：对“cameraman.tif” 图像进行操作，验证平移性。I=imread('cameraman.tif');subplot(221);imshow(I);title('原图');J = fft2(I);J = fftshift(J);subplot(222);imshow(log(1+abs(J),);t

13、itle('傅立叶变换后的图像');I=double(I);I_moveresult=zeros(size(I);H=size(I);Move_x=50;Move_y=50;I_moveresult(Move_x+1:H(1),Move_y+1:H(2)=I(1:H(1)-Move_x,1:H(2)-Move_y);subplot(223);imshow(uint8(I_moveresult);title('原图平移');M = fft2(I_moveresult);N = fftshift(M);subplot(224);imshow(log(1+abs(N)

14、,);title('平移后傅立叶变换后的图像'); （4）尺度变换：设a,b是两标量，若 f(x,y) Û F(u,v)，有： af(x,y) Û aF(u,v), f(ax,by) Û 1/|ab|F(u/a,v/b). a,b>1时：空域比例尺度的压缩，对应于频域比例尺度的展宽，且幅值减小（原来的1/|ab|）。 MATLAB实现：对简单图像进行操作。d=zeros(256,256); d(118:138,130:137)=1; subplot(421);imshow(d);title('原图');B = fft2(d);

15、C = fftshift(B);subplot(422);imshow(log(1+abs(C),);title('“傅立叶变换后的图像”');t=zeros(256,256); t(108:148,130:137)=1; subplot(423);imshow(t);title('沿x方向扩展');M = fft2(t);N = fftshift(M);subplot(424);imshow(log(1+abs(N),); title('“在u方向压缩”');s=zeros(256,256); s(118:138,127:140)=1; sub

16、plot(425);imshow(s);title('沿y方向扩展');P = fft2(s);Q = fftshift(P);subplot(426);imshow(log(1+abs(Q),); title('“在v方向压缩”');x=zeros(256,256); x(108:148,127:140)=1; subplot(427);imshow(x);title('沿x，y方向都扩展');Y = fft2(x);Z = fftshift(Y);subplot(428);imshow(log(1+abs(Z),);title('“在

17、u,v方向压缩”'); 3、二维离散余弦变换3.1二维离散余弦变换概述离散余弦变换（DCT）是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换,但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，既可以利用FFT的快速算法也可以利用基于代数分解的快速算法，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。假设f（x,y）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维离散余弦变换的定义如下：二维离散余弦变换在对JPEG等图像压缩中具有广泛的应用。3.2 MATLAB提供的二维离散余弦变换函数由于二维DCT的可分离性，所以二维DCT

18、可以用一维DCT来实现，并利用一维FDCT来实现二维FDCT。其相关函数如下：（1）dct2：用于较大矩阵的二维离散余弦变换，常见调用方法：B=dct2（A）B=dct2（A，m，n）B是返回的DCT的变换系数，m，n分别是返回的DCT变换系数的矩阵的行数和列数。（2）idct2：二维离散余弦逆变换，是dct2的逆变换，常见调用方法： B=idct2（A）B=idct2（A，m，n）B是返回的DCT的变换系数。MATLAB实现：对“cameraman.tif” 图像进行操作。I = imread('cameraman.tif');subplot(131),imshow(I),t

19、itle('原图');J = dct2(I);subplot(132),imshow(log(abs(J),);title('余弦变换后的图像');J(abs(J) < 10) = 0;K = idct2(J);subplot(133),imshow(K,);title('反余弦变换后的图像'); 4.二维沃尔什变换沃尔什变换：在矢量空间用沃尔什函数对图像阵列进行的变换，属于正交变换。由于walsh变换的实质是将任意函数变换为取值为+1或-1的基函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号比傅立叶变换更有效，且存储量小、计算速度更快，而计算只需加减和偶尔的右移操作。因此，它在图像传输、通信技术及数据压缩技术中广泛使用。沃尔什变换的定义：给定一个NXN像素块Pxy（N必须是2的幂），二维WHT定义为：   5.二维离散哈达玛变换哈达玛变换与沃尔什变换相似，其正变换核和反变换核相同，为： 这里M=2 m ，N=2n 。则对应的二维哈达玛变换对可表示为：