时间序列分析在上证综合指数预测中应用

1、时间序列分析在上证综合指数预测中应用（ 经济统计学 数学与信息管理系 东华理工大学长江学院 ）摘要 上证综指即“上证综合指数”（上海证券综合指数），英文是：Shanghai（securities）composite index. 通常简称：“Shanghai composite index”（上证综指） 。“上海证券综合指数”它是上海证券交易所编制的，以上海证券交易所挂牌上市的全部股票为计算范围，以发行量为权数综合。上证综指反映了上海证券交易市场的总体走势。上证综指，以反映这批股票的市场走势，为投资者提供新的投资尺标。对其进行深入研究具有非常重要的意义。股票价格涉及很多不确定因素,且各个因素之

2、间的相关关系错综复杂, 因此要从理论上彻底弄清楚股市的变化机理十分困难。然而股市是一个运动的、特殊的系统, 它必然存在着规律。以上证综合指数为例,利用EVIEWS软件分别对其开盘价格、收盘价格和交易数量建立ARMA模型,提出了价格序列的一步向前静态预测方法,用于序列的建模及短期预测,希望为企业和投资者在进行相关决策时提供有益的参考。文中准备使用时间序列ARMA模型对上证综合指数进行定量分析,以1991年7月31日到2011年6月30日的上证综合指数开盘价格、收盘价格、交易数量为原始数据,通过对数据进行平稳、零均值化处理,模型识别和模型定阶,再使用最小二乘法估计参数后,最终建立了模型,并对模型检

3、验证明有效后,对未来数据进行了短期预测。关键词上证综合指数；时间序列；模型；1 引言股票价格的形成及波动不仅受制于各种经济、政治因素,而且受投资心理和交易技术等的影响。股票价格的影响因素很多,股票随业绩调整是股市不变的原则。但事实上,股票价格不仅与上市公司企业内部财务状况有着密切的相关关系,还与整个股票市场状况乃至整体经济运行状况有关。上证综合指数则是集中了有代表性的多种股票的研究,基本认为其反映了中国股市的高低,个别公司股票价格的异常反应对大盘指数的影响则是有限的。因此用技术手段研究股价波动,选择上证综合指数做研究对象更合适。相应的,对于投资组合的操作和机构或基金投资也有指导意义。由于影响股

4、票价格波动的因素众多,使得其预测难于实现。确切地说,要对股票价格做出准确预测是不可能的,但我们总试图寻找不同的方法,不同的模型来刻画它。而用传统的回归分析模型来进行预测,不仅复杂而且费用较高,因为要找出真正影响预测对象变化的因素并非易事,而且由于股票市场的变化,其预测精度并不比时间序列分析方法更精确,而时间序列分析方法模型一般简单,成本较低,特别适用于表面上毫无规律可循的数据。因此,我们用时间序列分析中的或来对上证综指的指标建立模型。1. 1ARMA模型种类介绍1.1.1 自回归模型P 阶自回归模型记作 ,满足下面的方程:其中：参数c为常数,是自回归模型系数；P为自回归模型的阶数; 是均值0，

5、方差为的白噪声序列。1.1.2 移动平均模型q 阶移动平均模型记作，满足下面的方程：其中:参数C为常数;是自回归模型系数; q为自回归模型的阶数; 是均值为0，方差为 的白噪声序列。1.1.3自回归移动平均模型一般性的自回归移动平均模型记作，满足下面方程其中，P为自回归模型的阶数为模型的待定系数；q为模型的阶数为莫醒醒的待定系数；为误差，为平稳时间序列；显然此模型是和的混合形式, 称为混合模型, 常记作 。当 时, ； 当时,。1.1.4 自回归求和移动平均模型对于单整序列能够通过d次差分将非平稳序列转化为平稳序列。2 建模流程2.1 对序列进行平稳性检验 平稳性检验一般我们有三个步骤：时序图

6、初步确定它的走向，如果没有明显的上升或者下降，就说明它可能是平稳的；再对序列作的相关分析，判断该序列是否为平稳的非白噪声序列；最后再作单位根检验，最终确定序列的平稳性。若为非平稳序列，对该序列进行处理使其符合ARMA模型建模条件即处理后的序列式平稳的白噪声。一般如果序列不满足平稳性条件,可以通过差分变换(单整阶数为d, 则进行d阶差分)其他变换, 如对数差分变换使序列满足平稳性条件；2.2 模型识别通过views软件会出现的时间序列特征的一些统计量(如自相关系数（AC）和偏自相关系数(PAC)的值。根据样本数据的自相关系数（AC）和偏自相关系数(PAC)来确定AR MA的阶数p和q,选恰当的A

7、RMA模型进行拟合；表1 模型的主要特征可列表如下模型自相关函数拖尾截尾（q步）拖尾偏自相关函数截尾（p步）拖尾拖尾2.3 估计模型的未知参数在初始估计中选择尽可能少的参数估计模型的未知参数, 并检验参数的显著性,以及模型本身的合理性诊断；2.4 诊断与检验显著性检验和残差的随机性检验的诊断分析, 以证实所得模型确实与观察到的数据特征。如果模型通不过检验就继续第二个步骤，重新选择模型在拟合；2.5 模型优化 如果拟合模型通不过检验，仍然转向步骤1，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的模型中选择最优模型；2.6 模型预测利用拟合的模型，预测序列的将来走势。模型建模的流程图 如图1

8、所示：模型变化接受模型不准确准确的平稳非白噪声序列计算ACF、PACFARMA模型的识别估计模型中的未知参数作预测预测准确图1 建模流程 3 模型具体在上证综合指数预测中的应用3.1 数据的提取及预处理3.1.1 数据提取本文选取上海证劵综合指数作为研究对象,从深交所网站提取1991年7月31日到2011年6月30的日上证综合指数中开盘价格、收盘价格、成交数量为原始数据共240个交易月的数据为研究样本进行分析。此样本基本上可以反映这几年度上海股票总体走势,记此样本数据序列分别为k、s、m下面对数据进行平稳、0均值处理。3.1.2 平稳化序列（1）首先对原序列开盘价k进行观察,如图2所示,发现序

9、列存在明显的趋势性,为非平稳序列。图2 上证综合指数开盘价序列的时序图计算原序列k的相关（AC）、偏相关（PAC）系数如图3 图3开盘价的相关（AC）、偏相关（PAC）系数图和单位根检验图上图可以看出选择滞后, 发现自相关系数没有迅速收敛, 证实数据不平趋。自相关系数随延迟期数的增加，衰减向零的速度相当缓慢，且后期有反向递增趋势的单位根检验上面的，则接受原假设, 是非平稳的，需要对原始序列进行一阶差分,生成新的序列dk,差分方法为:差分后的序列dk自相关系数和偏自相关系数计算结果,如图4 图4开盘价的一阶差分的相关（AC）、偏相关（PAC）系数图和单位根检验自相关系数在0值附近,在2阶和4阶处

10、有截尾趋势,说明序列平稳。但白噪声检验相应的伴随概率都小于0.5,因此序列为平稳非白噪声序列。我们可以对序列dk采用ARMA方法建模研究。（2）对原序列收盘价s进行观察,如图5所示,发现序列存在明显的趋势性,为非平稳序列。图5 上证综合指数收盘价序列的时序图计算原序列收盘价s的相关（AC）、偏相关（PAC）系数如图6 图6收盘价的相关（AC）、偏相关（PAC）系数图 图7 收盘价的单位根检验上图6可以看出选择滞后, 发现自相关系数没有迅速收敛, 证实数据不平趋。自相关系数随延迟期数的增加，衰减向零的速度相当缓慢，且后期有反向递增趋势。图7 收盘价的单位根检验上面的，则接受原假设, 是非平稳的，

11、需要对原始序列进行一阶差分,生成新的序列ds,差分方法为:差分后的序列ds自相关系数和偏自相关系数计算结果,如图8 图8收盘价的一阶差分的相关（AC）、偏相关（PAC）系数与单位根检验图自相关系数在0值附近,在2阶处有截尾趋势,说明序列平稳。但白噪声检验相应的伴随概率都小于0.5,因此序列为平稳非白噪声序列。我们可以对序列ds采用ARMA方法建模研究。（3）对原序列交易数量M进行观察,如图9所示,发现序列存在明显的趋势性,为非平稳序列。图 9交易数量综合指数序列交易数量的时序图计算原序列M的相关（AC）、偏相关（PAC）系数如图10 图10交易数量的相关、偏相关系数图 图11交易数量的单位根检

12、验上两图可以看出选择滞后, 发现自相关系数没有迅速收敛, 证实数据不平趋。自相关系数随延迟期数的增加，衰减向零的速度相当缓慢，且后期有反向递增趋势。图11交易数量的单位根检验上面的，则接受原假设, 是非平稳的，需要对原始序列进行一阶差分,生成新的序列dm,差分方法为:差分后的序列dm自相关系数和偏自相关系数计算结果,如图12 图12交易数量的一阶差分的相关（AC）、偏相关（PAC）系数与单位根检验图自相关系数在0值附近,在4和6阶处有截尾趋势,说明序列平稳。但白噪声检验相应的伴随概率都小于0.05,因此序列为平稳非白噪声序列。我们可以对序列dm采用ARMA方法建模研究。3.1.3零均值化序列原

13、始序列一阶差分后的新序列dk均值为10.88042,非0,需要对原序列进行0均值化处理。记序列X =dk-10.88042。这个序列X便是0均值的平稳非白噪声序列,如图13图13开盘价一阶差分的条形图原始序列一阶差分后的新序列ds均值为10.95515,非0,需要对原序列进行0均值化处理。记序列X =ds-10.95515。这个序列X便是0均值的平稳非白噪声序列。如图14图14 收盘价一阶差分的残差图原始序列一阶差分后的新序列dm均值为非0,需要对原序列进行0均值化处理。记序列X =dm-68066。62。这个序列X便是0均值的平稳非白噪声序列。如图15：图15交易数量一阶差分的条形图3.2

14、模型的识别与检验3.2.1 开盘价模型的建立根据1阶差分的开盘价序列的自相关图ACF和偏自相关图PACF的特点，判断阶数进行建模，剔除C和AR(1)由于P值均大于0.05，故接受原假设，即二者系数显著为零，所以剔除通不过检验的:建立模型如下图16开盘价的模型拟合模型通过检验，充分考虑各种可能，建立了拟合模型，从所有通过检验的模型中选择了最优模型。赤池信息准则：，其中L是对数似然值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。施瓦茨准则：，使用时也要求SC值越小越好。开盘价的模型适用性检验，结果如图17图 17 开盘价建立模型的适用性检验通过对模型的适用性检验，拟合模型中

15、的残差白噪声检验显示的残差序列属于白噪声序列，模型AR(2)显著有效，对序列适应性更强。因此，选用该模型作为最终拟合模型。开盘价的模型的预测效果，如图18图18模型对开盘价的模型的预测开盘价的拟合曲线对比，如图19图19：原序列开盘价和预测的线图3.3.2 收盘价模型的建立根据1阶差分的收盘价序列的自相关图ACF和偏自相关图PACF的特点，判断阶数进行建模剔除C和AR(1)由于P值均大于0.05，故接受原假设，即二者系数显著为零，所以剔除通不过检验的:建立AR(2)模型如图20图20 收盘价序列的模型拟合模型通过检验，充分考虑各种可能，建立了拟合模型，从所有通过检验的模型中选择了最优模型。拟合

16、模型通过检验，充分考虑各种可能，建立了拟合模型，从所有通过检验的模型中选择了最优模型。赤池信息准则：，其中L是对数似然值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。施瓦茨准则：，使用时也要求SC值越小越好。开盘价的模型适用性检验，结果如图21图 21 收盘价建立模型的适用性检验通过对收盘价模型的适用性检验，拟合模型中的残差白噪声检验显示的残差序列属于白噪声序列，模型AR(2)显著有效，对序列适应性更强。因此，选用该模型作为最终拟合模型。收盘价的模型的预测效果，如图22图22 模型对收盘价的模型的预测开盘价的拟合曲线对比，如图23图 23：原序列开盘价和预测的线图3.3

17、.3 交易数量模型的建立根据1阶差分的交易数量序列的自相关图ACF和偏自相关图PACF的特点，判断阶数进行建模剔除C由于P值均大于0.05，故接受原假设，即二者系数显著为零，所以剔除通不过检验的:建立ARMA(2,3)模型如图24图24 交易数量序列的模型拟合模型通过检验，充分考虑各种可能，建立了拟合模型，从所有通过检验的模型中选择了最优模型。拟合模型通过检验，充分考虑各种可能，建立了拟合模型，从所有通过检验的模型中选择了最优模型。赤池信息准则：，其中L是对数似然值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。施瓦茨准则：，使用时也要求SC值越小越好。开盘价的模型适用性

18、检验，结果如图25图 25交易数量建立模型的适用性检验通过对收盘价模型的适用性检验，拟合模型中的残差白噪声检验显示的残差序列属于白噪声序列，模型ARMA(3，3)显著有效，对序列适应性更强。因此，选用该模型作为最终拟合模型。收盘价的模型的预测效果，如图26图26 模型对交易数量的模型的预测开盘价的拟合曲线对比，如图27图 27：原序列交易数量和预测的线图3.3模型预测静态预测是只滚动的进行向前一步预测,即每预测一次,用真实值代替预测值,加入到估计区间,再进行向前一步预测。对序列做向前7步的静态预测,做开盘价（k）、收盘价（s）交易数量（m）和预测结果序列KF、SF、MF的对比图,如图图形所示,

19、可以看出静态预测效果不错。我们可以对比一下它的相对误差公式：，绝对误差公式：，其中指序列的预测值，y指序列的原始值的值，表2就是我通过抽样的方式选取的几个月度开盘价数据的原始值、预测值、绝对误差、相对误差如表：表2 开盘价的实际值与预测值的对比图2010-112010-122011-012011-022011-032011-042011-052011-06原始值2986.892810.5402825.332795.072906.282932.482911.512737.606预测值2882.4252995.9012879.052785.8012798.3852899.4972957.40829

20、17.383绝对误差104.465185.36153.729.269107.89532.98345.898180.3228相对误差3.4%6.5%1.9%0.3%3.7%1.1%1.57%6.5%平均相对误差都小于5，从而可以认为预测结果较准确，模型建立得较好。从图26 可以看出模型的残差序列是平稳的, 说明模型通过了适应性检验; 其次模型的拟合值与实际值保持大体一致, 说明模型的预测结果可靠性也很高.模型的短期预测能力是比较好的. 下面是（开盘价）KF经过向前7步预测,K的未来几期预测值分别为表3：表 3 2011年7月 一2012年1月年开盘价的预测值月份2011-072011-08201

21、1-092011-102011-112011-122012-01预测值2732.3602693.2572692.2032683.5382683.3242681.3592681.311(2)下面表是表4就是我通过抽样的方式选取的几个月度收盘价数据的原始值、预测值、绝对误差、相对误差情况如表：表4收盘价的实际值与预测值的对比图2010-112010-122011-012011-022011-032011-042011-052011-06原始值2820.182808.082790.692905.052928.112911.512743.472762.080预测值2982.9062898.314276

22、9.7222787.7652900.8682955.7592817.0852739.457绝对误差162.72690.23420.967117.28527.26444.2573.61522.6234相对误差5.77%3.213%0.751%4.037%0.931%1.52%2.68%0.8191%相对误差都小于10，从而可以认为预测结果较准确，模型建立得较好。从图26 可以看出模型的残差序列是平稳的, 说明模型通过了适应性检验; 其次模型的拟合值与实际值保持大体一致, 说明模型的预测结果可靠性也很高.模型的短期预测能力是比较好的. 下面是（开盘价）SF经过向前7步预测,S的未来几期预测值分别为

23、表5：表 5 2011年7月 一2012年1月年收盘价的预测值月份2011-072011-082011-092011-102011-112011-122012-01预测值2721.4522725.9512716.1282717.2162714.8142715.0772714.496(3)下面表是表6就是我通过抽样的方式选取的几个月度交易数量数据数据的原始值、预测值、绝对误差、相对误差情况如表：表6 交易数量的实际值与预测值的对比图2010-112010-122011-012011-022011-032011-042011-052011-06原始值3534002021196624172827301756491229410334230986001785114416269522预测值3422550430563528179033661820924127583534228306401711379916318053绝对误差11145169366894620636644329182680026796073734548431相对误差3.154%4.42%3.591%3.668%6.211%1.16%4.1305%0. 298%平均相对误差都小于5，从而可以认为预测结果较准确，模型建立得较好。从图26 可以看出模型的残差序列是平稳的, 说明模型通过了适