实变函数复习题

1、邢台学院数学系实变函数复习手册前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。为以后学习其他课程打下良好的基础。第一章 集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。为以后引入L积分打下了基础。§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。§2 集合的运算深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。§3 对等

2、与基数1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。2、了解基数概念，会比较两个集的基数大小。§4 可数集合与自然数集合N对等的集合称为可数集合。1、任何无限集包含一个可数子集。2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则是可数集合。3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。4、有理数全体是一可数集，代数数全体是一可数集。§5 不可数集合1、实数集全体R不是可数集。其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。2、任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体的基数是c。3、不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。练习题一

3、、选择题：1、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体自然数 B、0,1之间的实数全体 C、上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体实数 B、全体整数 C、全体小个子 D、3、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体实数 B、全体整数 C、 D、全体胖子4、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体实数 B、全体整数 C、 D、全体瘦子5、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体小孩子 B、全体整数 C、 D、全体实数6、下列对象不能构成集合的是（ ）A、全体实数 B、全体大人 C、 D、全体整数7、设，为全体实数，则（ ）A、 B、 C、 D、8、设，则（ ）A、 B、

4、 C、 D、9、设，则（ ）A、 B、 C、 D、10、设，则（ ）A、 B、 C、 D、11、设，（ ）A、 B、 C、 D、12、设，（ ）A、 B、 C、 D、13、设，则（ ）A、 B、 C、 D、14、设，则（ ）A、 B、 C、 D、15、设，则（ ）A、 B、 C、 D、16、设，则（ ）A、 B、 C、 D、17、设，则（ ）A、 B、 C、 D、18、设，则（ ）A、 B、 C、 D、19、设A、B、C是三个集合，则（ ）A、B B、A C、 D、20、设A、B、C是三个集合，则（ ）A、 B、 C、 D、21、设A、B、C是三个集合，则（ ）A、 B、 C、 D、22、设A

5、、B、S是三个集合，且，则（ ）A、 B、 C、 D、23、设A、B、S是三个集合，（ ）A、 B、 C、 D、24、设A、B、C是三个集合，则（ ）A、 B、 C、 D、二、选择题1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若，则 2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若A是一可数集，则 3、若，则 4、若，B是一可数集，则 5、若，则 6、若是一集合列，且， 7、若是任意集族，其中I是指标集，则 8、若是任意集族，其中I是指标集，则 9、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则 10、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则 11、若是任意一个集合列，则 12、若是任意一

6、个集合列，则 三、判断题（ ）1、。（ ）2、任意两个集合A、B，都有，或。（ ）3、任意集合都有子集。（ ）4、。（ ）5、。（ ）6、。四、简答题1、构造自然数全体到偶数全体的一一映射。2、构造到R的一一映射。3、构造到的一一映射。4、构造能被3整数整除的正整数到正整数全体的一一映射。5、构造到的一一映射。6、构造奇数全体到偶数全体的一一映射。五、证明题1、任意无穷集合包含一可数子集。2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则是可数集。3、若A和B都是可数集合，则是可数集。4、有理数全体成一可数集。5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。6、空间中，是一个可数集

7、合。第二章 点集本章讨论了特殊的集合空间中的点集中的一些基本概念及性质，主要讨论了开集及闭集的结构。为以后引入L积分打下了基础。§1 度量空间 n维欧式空间熟记距离、领域、点列的收敛、直径、有界集、n维空间中的区间及区间的体积的定义；会判断二元函数为距离。§2 聚点 内点 界点熟记并深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、边界、导集、闭包的定义。§3 开集 闭集 完备集深刻理解开集、闭集的性质；记住自密集、完备集的定义。§4 直线上的开集、闭集及完备集的构造理解构成区间的定义、了解康脱集的构造。练习题一、选择题1、集合E的全体内点所成的集合称为E的

8、（ ）A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包2、集合E的全体聚点所成的集合称为E的（ ）A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包3、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的（ ）A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包4、EE所成的集合是（ ）A、开核 B、边界 C、外点 D、E的全体孤立点5、E的全体边界点所成的集合称为E的（ ）A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包6、设点P是集合E的边界点，则（ ）A、P是E的聚点 B、P是E的孤立点 C、P是E的内点 D、P是的边界点7、设,则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、8、设，则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、

9、9、设，则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、10、设，则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、11、设，则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、12、设，则下列哪一个是G的构成区间（ ）A、 B、 C、 D、13、若，则下列命题错误的是（ ）A、 B、 C、 D、14、若，则下列命题正确的是（ ）A、 B、 C、 D、15、若，则下列命题错误的是（ ）A、 B、 C、 D、16、设是的余集，则下列命题正确的是（ ）A、 B、 C、 D、17、设，则下列命题正确的是（ ）A、 B、 C、 D、18、下列命题错误的是（ ）A、是闭集 B、是闭集 C、是

10、闭集 D、是闭集19、若A是闭集，B是开集，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断20、若A是开集，B是闭集，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断21、若是一开集列，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断22、若是一开集列，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断23、若是一闭集列，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断24、若是一开集列，则是（ ）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断二、填空题1、欧式空间中，任意两点的距离 2、空间中，任意两元素

11、的距离 3、空间中，任意两元素的距离 4、欧式空间中，任意两点的距离 5、欧式空间中，任意两点的距离 6、欧式空间中，任意两点的距离 7、设，则 8、设，则 9、设，则 10、设，则 11、设，则 12、设，则 13、设，则 14、设C是康托完备集， 15、设C是康托完备集，则C的直径 16、两个非空集合A，B距离的定义为 17、一个非空集合A的直径的定义为 18、设，则 三、判断题（ ）1、若一个点不是E的聚点，则必然也不是E的内点。（ ）2、E的外点全体和E的余集是相同的。（ ）3、E的内点必然属于E。（ ）4、E的孤立点必然属于E。（ ）5、E的边界点一定不属于E。（ ）6、E的聚点必然

12、属于E。第三章 测度论本章主要是讨论中点集的可测性与可测集的测度（度量）问题，它是建立新积分的理论基础。学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。§1 约当测度第一，要弄清确界的概念；第二，了解约当测度，并知道中全体无理点集是约当不可测的。§2 外侧度第一，重点掌握L外测度的定义及其三条基本性质，并会用定义讨论一些简单集合（如有限集，可数集）的外侧度；第二，知道任意区间I的外侧度为。§3 可测集第一，需重点掌握L内测度及其性质 ，L可测集的两种定义方法；第二，深刻理解课本定义3，并会用它证明一些集合的可测性，如定理1，定理2等；第三，会用内外测度相等论证一些集合的可

13、测性；第四，掌握可测集的运算性质，知道L可测集类是环（主要指对运算的封闭性）；第五，一定要知道可测集的极限运算和测度运算的换序条件，一定要注意差运算和测度运算换序的条件（包含和测度有限），需理解可测集的测度有限与集合有界的关系。§4 可测集（续）本节首先给出了常见的L可测集（如零测集、区间、开集、闭集、康脱尔集及其条集）及其测度的计算方法；说明J可测集皆L可测；并从集，集到波雷尔集均可测，得到了可测集和集，集，波雷尔集的关系，揭示了L可测集的结构。开集类、闭集类型集类，型集类波雷尔集类可测集类=中的一切子集类§5 不可测集知道存在L不可测集练习题一、选择题1、若( )A、0

14、 B、1 C、2 D、32、下述结论（ ）正确A、 B、 C、 D、3、若（ ）A、0 B、1 C、2 D、34、下列说法不正确的是（ ）A、E的测度有限，则E必有界 B、E的测度无限，则E必无界C、有界点集的测度有限 D、的测度无限5、是康托尔（cantor）集，则（ ）A、0 B、1 C、2 D、36、设A是B的真子集，则（ ）A、 B、 C、 D、7、G表示康托尔（cantor）集在中的余集，则（ ）A、0 B、1 C、2 D、38、设都可测，则（ ）A、可测 B、不可测 C、可能可测也可能不可测 D、以上都不对9、（ ）A、1 B、2 C、3 D、410、A可测，B是A的真子集，则（

15、）A、 B、 C、 D、以上都不对11、（ ）A、1 B、2 C、3 D、412、L可测集类，对运算（ ）不封闭。A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和13、外侧度不具有（ ）A、非负性 B、单调性 C、次可数可加性 D、恒正性14、下述哪种集测度肯定不为零（ ）A、可数集 B、非空开集 C、不可数集 D、闭集15、以下论述哪个不和E可测等价（ ）A、B、C、D、二、填空题1、，对每一列覆盖的开区间，定义 2、设是一列递增的可测集合，则 3、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“型集类”。那么A，B，C，D的关系是 4、I是区间，则 5、设，E有界，I为

16、任一包含E的开区间，则 6、称为测度的 7、若，这称为外测度的 8、若集合G能表示成 ，则称G为集。9、设都有 则称可测的。10、若集合F能表示成 则称集。11、设是一列递减可测集合，且 12、L可测集和波雷尔集相差一个 13、设都是可数集，则 三、判断题，并说出理由（ ）1、若可测，则和都可测。（ ）2、两个集合的某数相等，则它们的外测度相等。（ ）3、设都可测，则也可测，且。（ ）4、无限集的外测度一定不为零。（ ）5、若可测集是可测集的子集，且。（ ）6、若E可测，A可测，且。（ ）7、设E为测度有限的集，则E是有界可测集。四、证明题1、证明：集合E可测的充要条件是对于任意，总有.2、证

17、明：对，可测的充要条件是可测。3、证明：可数点集的外测度为零。4、设是个互不相交的可测集合，。证明：5、若，则可测。6、设可测，为任意集合，证明：。五、简答题1、请指出可测集和集的关系。2、请叙述测度的可列可加性。3、从基数的角度请举出三种零测度集的例子。第四章 可测函数为了以后建立新积分理论的需要，本章引进一个新的函数类可测函数类。为此先给出一般点集上函数的基本概念（如有限、无限）和性质，并在此基础上讨论了可测集上的可测函数的问题，学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。§1 可测函数及其性质本节首先通过集合的可测性定义了可测函数及其逻辑形式，列出了连续、单调、简单函数的可测性，需

18、重点掌握这些概念的定义，并会用这些理论进行简单论述，如集合限定转换和表示；还讲述了可测函数的运算（四则和极限），这使可测函数类变得很大；第三个重点是可测函数与简单函数的关系，这是可测函数的又一描述；学生一定要知道和的定义；第四个重点是几乎处处概念，学生要认识到这是与测度有关的。§2 叶果洛夫（EropoB）定理本节主要通过叶果洛夫定理阐述了函数列的点态收敛与一致收敛的关系，要会证叶果洛夫定理的逆定理，要掌握证明时的思想方法。§3 可测函数的构造本节主要通过鲁金定理揭示了可测函数与连续函数的关系。我们常常应用鲁金定理把有关可测函数的问题转化为连续函数来处理，使问题得以简化。需

19、会证鲁金定理的逆。§4 依测度收敛本节首先讲述了依测度收敛的概念，学生要会用该理论证明函数列的测度收敛和测度不收敛，其关键是对集的具体化；第二讲述了各种收敛的关系，学生一定要掌握这些关系及相应的反例。练习题一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A、有限 B、无界C、，在有限 D、，在有界2、函数列在上（ ）于0,。A、一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本一致收敛3、设E是中的不可测集，则下列函数在上可测的是（ ）A、 B、 C、 D、4、若可测，则它必是（ ）A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限5、下述论断正确的是（ ）A、无界 B、有限C、有界 D、有

20、限6、函数列在上（ ）于0。A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、一致收敛7、设，其中是的不可测集，则下列函数在可测的是（ ）A、 B、 C、 D、8、一个函数在其定义域中的（ ）处都是连续的。A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点9、下列说法正确的是（ ）A、在无界 B、有限C、有界 D、在有限10、函数列在上（ ）于0。A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、一致收敛11、设是上的不可测集，,则下列函数在可测的是（ ）A、 B、 C、 D、12、设为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A、若在上收敛于一个有限的可测函数，则一致收敛于B、若在上收敛于一个有限的可测函数，则基本

21、上一致收敛于C、若在上收敛于一个有限的可测函数，则D、若在上基本上一致收敛于，则收敛于13、下列说法正确的是（ ）A、在上无界 B、在上有限C、上有限D、上有界14、函数列在上（ ）于0。A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、一致收敛15、设，其中是上的不可测集，则（ ）在可测。A、 B、 C、 D、16、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A、它们是同一概念 B、有限的可测函数是连续函数 C、有限的可测函数是基本上连续的函数 D、有限的可测函数是连续的函数17、下列说法正确的是（ ）A、有限 B、无界C、有限 D、有界18、函数列在上（ ）于0。A、收敛 B、基本一致收敛

22、 C、一致收敛 D、一致收敛19、设，其中是上的不可测集，则（ ）在上是可测的。A、 B、 C、 D、20、关于简单函数与可测函数，下述结论不正确的是（ ）A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限时可测函数 C、简单函数与可测函数是同一概念 D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念21、下列说法正确的是（ ）A、无界 B、有限C、有限 D、有界22、函数列在上（ ）于0。A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、一致收敛23、设是中的不可测集，则下列函数在上可测的是（ ）A、 B、 C、 D、24、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收

23、敛不一定收敛C、若在上收敛于有限的可测函数，则D、若，则存在子列收敛于25、下列函数在上几乎处处为正的是（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题1、设是定义在可测集上的实函数，若，有 ，则称在上可测。2、的定义为 。3、上的连续函数及单调函数都是 。4、叶果洛夫定理反映了 与 的关系。5、可测集上的连续函数都是 。6、可测函数列的极限 。7、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的 。8、几乎处处是与 有关的概念。9、上的简单函数，指的是对进行有限不交可测分解后，每一个可测子集上都取 的函数。10、鲁金定理反映了 与 的关系。11、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果 。12、函

24、数列在不一致收敛于且不 收敛于1。三、判断题，并说出理由（ ）1、若，于，在可测集上可测，则也在上可测。（ ）2、若在可测集上可测，则也可测。（ ）3、若且，于。（ ）4、若在可测集上可测，则在的任意可测子集上也可测。（ ）5、若在可测集上可测，则在的任意子集上可测。（ ）6、若都可测，则在可测集上也可测。（ ）7、设为可测集，在上可测，则可测。（ ）8、黎曼函数可测。四、证明题1、设在上是有限的可测函数，则对于任何，存在连续函数，使。2、设函数列在上依测度收敛于，且，于，则在上成立。3、设函数列在有界集上基本一致收敛于，证明在上收敛于。4、证明：若，则在上成立。5、设，试证。6、设，证明：。

25、五、简答题1、请说明：在上函数列，不测度收敛于。2、用可测函数的定义说明狄里克雷函数，在可测。3、若在可测集上可测，则在上也可测。第五章 积分论在数学分析中遇到的函数大部分是连续函数，它们在有界闭区间上是黎曼可积函数的。但黎曼可积函数不能满足科学发展的需要。在1902年法国数学家Lebesgue成功地引入了一种新的积分，即L积分，大大地扩充了可积分函数的范围，成为分析数学的不可缺少的工具。在本章中将详细给出L积分的定义及性质。§1 黎曼函数了解黎曼积分的定义和三个R可积的充要条件。本节不作为考核内容。§2 勒贝格积分的定义掌握有界函数在有界可测集上L积分的定义、性质及充要条件；了解R积分与L积分的关系；利用定理4求一些函数的L积分。§3 勒贝格积分的性质熟练掌握L积分的性质§4 一般可积函数掌握非负可测函数和一般可测函数L积