初等几何研究试题答案(6)李长明版

1、6、 关于共线点与共点线1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) E.H分别是AB.AD的中点， F,G分别是BC.CD的中点EH=BD FG=BD EH FG 四边形EFGH是平行四边形 OH=OF H.J分别是AD.AC的中点，F.I分别是BG.BD的中点 HJ=CD IF=CD HJIF JHO=FIO JHO=FIO , HJ=FI,HO=FOJHOIFO HOJ=FOII.O.J三点共线 四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线2.已知：E，F分别在正方形ABCD的两边BC,CD上，是EAF=45&#

2、176;，但AC不是EAF的角平分线，自E,F作AC的垂线，垂足分别是P,Q求证：BPQ的外心与B，C共线证明： FQACABE=AQF又EAF=45°BAE=QAFABEAQF可得同理可得，AEPAFD即=利用切割线定理之逆定理，因BPQ的外心在BC上，等价于AB,APQ是切，割线BPQ的外心在BC上3.在RtAB为斜边，CH为斜边上 的高，以AC为半径作A，过B作A的任一割线交A于D、E，交CH于F(D在B、F之间),又作ABG=ABD，G在A上，G与D在AB异侧。 求证：（1）A、H、D共圆。 （2）E、H、G共线。 （3）FD、FE、BD、BE四线段成比例证明：如图所示：连结

3、AE、AD（1）BC2=BH·BA(摄影定理） BC2=BD·BE(割线定理） BD·BE=BH·BA A、H、D、E四点共圆 (2）ABD=ABG GBH=DBH(对称性） 又A、H、D、E四点共圆HH FEA=DHB(对角等于内对角） AHE=EDA（同弧所对的角） 又AE=AD AEF=ADF AEF=DHB=GHB=ADE=AHE GHB=AHE（对顶角） E、H、G三点共线(3)ABD=ABG 由对称知:HB平分DHG(GHB=DHB) 又 CH垂直AB E、H、G三点共线 HC平分DHE HC、HB是DHE的内外角平分线 =4.设P是正方形A

4、BCD内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP绕B点朝着BC旋转90BP至Q.求证：A、P、 Q 共线.证明：连接CQ,PA:PB:PC= 1:2:3设AP=1 则 BP=2 CP=3 BP绕B点朝着BC旋转90°PBQ=90°BP=BQ=2 BPQ=BQP=45° PQ=BP2+BQ2=22 又四边形ABCD是正方形AB=BC ABC=PBQ= 90°即ABP+PBC=CBQ +PBC=90°ABP=CBQ ABPCBQ(由可得到)PA=QC=1又PQ2+QC2=(22)2+12=32=PC2PQC=90°,BQC=PQC+

5、BQP=90+45°=135°又APB=180°-45°=135°BQC=APB=135°即A、P、Q共线（APB、BQP是邻补角）5.在ABC中，D,E,F分别在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求证：ADF的外心O在DEF的角平分线上。21证明：DEF=180O-1-2=180O-(180O-2B)-1=180O-(180O-2B)-(180O-2C)=2(B+C)-180O=180O-2A又DOF=2AD.E.F.O四点共圆O是外心FO=DOFEO=DEOO在DEF的角平分线上。6.在ABC中，A、B的平分线分别交

6、于对边于D、E，C的外角平分线交于对边延长线于F，求证：D、E、F共线。证： AD平分ABDDCABAC BE平分BCEEABCBA CF平分C的外角AFBFCACB 由可得：BDDC*CEEA*AFBF-1根据梅涅劳斯定理得：D、E、F共线7，若三角形的三边两两不等。求证：三外角平分线与对边的交点共线。 ACFDEB证明：如图所示： D为C外角平分线与AB延长线的交点，E为B外角平分线与AC延长线的交点，F为A外角平分线与BC延长线的交点。 BE为B外角平分线，CD为C外角平分线，AF为A外角平分线有、由梅涅劳斯定理知，D、E、F 共线。8. 在ABC与ABC中，三双对应顶点的连线AA、BB

7、、CC交于一点S ，设三双对应边BC、BC,CA、CA和AB、AB分别交于P、Q和R .求证：PQ和R共线 .SBQACRPA'B'C'证明：如图 在SBC和截线PC'B'中根据梅氏定理可得： 在SCA与截线QA'C'中根据梅氏定理可得： 在SAB与截线RA'B'中根据梅氏定理可得： 将上式相乘可得： 根据梅氏定理可得P、Q、R 三点共线。9.EFGH的顶点在ABCD各边，求证：对角线AC,BD,EG, FH共点证：连接BE,DG在ABCD中，B=D，ADBCBGE=DEG在EFGH中，EH=FG, EHFG,FGE=HE

8、GFGB=HEDFBGHDEBG=DE四边形BGDE为平行四边形，BD,EG为对角线同理四边形AFCH为平行四边形，AC,FH为其对角线AC,BD,EG, FH共点10.有两个正方形ABCD与AB1C1D1，B与B1不重合。求证：直线BB1、CC1和DD1共点。CBAP21·3'B12'C1D11'·3D证明： 设BB1、CC1交于P，在连结AC、AC1，则有、共圆ABB'ACC'A、B'、C'、P共圆又A、B、C、PP是两正方形外接圆的交点P在DD'上直线BB1、CC1和DD1共点。11. I为ABC的内心，

9、X、Y分别为内切圆与AB、BC的切点，D、E分别为BC、CA的中点.求证：AI、XY与ED共点.IABCDYXEP思路：利用内切特性，证两线交点在第三线上。证 设AB=c，AC=b，BC=a，DE与XY交于P，如图所示。现应证P在A的角平分线上，为此，只需计算出 即可。而计算PE，又分步如下：由切线等长性可知 同理又再由即知AP平分12.四边形ABCD外切于圆O，ACBD并交于E，P、Q、R、S顺次为边AB、BC、CD、DA上的切点，连结PR、QS，求证：（1）四边形ABCD以其一条对角线为对称轴（2）PR与QS都过E.ABCDPQRSEO1432证明：设lAB、 lBC、 lCD 、lDA分

10、别表示四边形ABCD各边之长，则由四边形ABCD外切于圆。可知lAB+ LCD= lBC+ lAB (1)再由四边形垂直又有LAB*+lCD*=lBC*+lAB* (2)(1)*-(2)再除以2，得lABlCD=lBClAB (3)(1) (3)两式表明：lAB lCD lBC lDA都是 X*+px+q=0的一对根，故只有如下两种情况LAB=lBC, lCD=lAB或lAB=lAD,lCD=lBC前者表明BD为对称轴，如右图所示，后者断定AC是对称轴，由此得证证（2）1=2=3=4QS过点E同理：PR也过点E13.ABC的内切圆I分别切三边BC，CA和AB于A1，B1和C1，线段AI,BI,和CI分别与I交于A2，B2，C2.求证：直线A1A2，B1B2，C1C2共点。 B2 A1 C1B1CAB1 IA2证明：连接A1，B1和C1圆I内切于ABC,AI，BI,CI分别平分A,B,C,即AI,BI,CI分别平分弧B1C1，C1A1，B1A1A1A2，B1B2，C1C2是A1B1C1的内角平分线A1A2，B1B2，C1C2共点。14、等圆O1与O2交于AB，O为AB的中点，过O引O1的弦CD交O2于P，过O引O2的弦EF交O1于Q