北师大版数学必修二1.2.3(二) (4)

1、1.3.1空间几何体的表面积明目标、知重点1.了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联系，并能用侧面展开图解决相关问题；2.了解柱、锥、台的表面积的计算公式，会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积1直棱柱的侧面积(1)侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱(2)直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此直棱柱的侧面积是S直棱柱侧ch.(3)正棱柱是指底面为正多边形的直棱柱2正棱锥的侧面积(1)如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等(2)棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开

2、图的面积就是棱锥的侧面积如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h，它的侧面积是S正棱锥侧ch.3正棱台的侧面积正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c，c，斜高为h，则其侧面积是S正棱台侧(cc)h.4旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rr)l表面积：S(r2r2rlrl)情境导学已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1a，

3、ABb，P是BB1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积探究点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征性质是什么？答直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上思考2在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？答正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积思考3下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图，归纳出

4、直棱柱的侧面面积公式吗？答S直棱柱侧面积ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积思考4下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？答S正棱锥侧面积nahch，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半思考5如何求多面体的表面积？答一般地，我们可以把多面体展成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积例1设正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3，求此正三棱锥的全面积解设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图，过点O作OEAB，与AB交于点E，连结SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，×

5、3a×ha2×2.ah.SOOE，SO2OE2SE2.322h2.h2，ah6.S底a2×629，S侧2S底18.S全S侧S底91827.反思与感悟解决正棱锥的计算问题要借助四个直角三角形，即棱锥SAEO的四个侧面，它们包含了正棱锥的所有量，即高、斜高、侧棱长、外接圆半径和内切圆半径跟踪训练1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积解先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D.因为BCa，SDa.所以SSBCBC·SDa×aa2.因此，四面体的表面积S4×a2a2.探究点二正棱台的表面积思考1什么是正棱台？

6、答正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台思考2正棱台的侧面展开图是怎样的图形？答正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形思考3下图是正四棱台的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面积公式吗？答S正棱台侧面积n(aa)h(cc)h.思考4正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？答可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出思考5棱台的表面积或全面积如何求？答棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和例 已知正四棱台上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心

7、，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连结OE、O1E1，则OEAB×126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE21223232×17，所以E1E3.所以S侧4××(B1C1BC)×E1E2×(126)×3108.反思与感悟解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决跟踪训练2在例2中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识

8、求解吗？解如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1A1B13，OEAB6，则有，即.所以PO1O1O12.在RtPO1E1中，PEPOO1E1223232×17，在RtPOE中，PE2PO2OE22426262×17，所以E1EPEPE1633.所以S侧4××(BCB1C1)×E1E2×(126)×3108.探究点三圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法思考1如何根据圆柱的展

9、开图，求圆柱的表面积？答圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有：S圆柱侧2rl，S圆柱表2r(rl)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长思考2如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？答圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形面积为×2rlrl，S圆锥侧rl，S圆锥表r(rl)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长思考3如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？答圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如右图，解得：xl.S扇环S大扇形S小扇形(xl)

10、15;2Rx·2r(Rr)xRl(rR)l，所以，S圆台侧(rR)l，S圆台表(r2rlRlR2)思考4圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？答如图所示：S柱2r(rl)S台(r2r2rlrl)S锥r(rl)例3一个直角梯形上底、下底和高之比为24，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台(如图所示)，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比解由题意，可设直角梯形上底、下底和高为2x,4x，x，它们分别是圆台的上、下底面半径和高在图中，过点B作BCOA于C，则在RtABC中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BCOOx，所以AB3x.因此，S上S下S侧(2x)2(

11、4x)2(2x4x)×3x289.即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为289.跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留)解如图所示设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c·SA2×10，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，S表面积S侧S上S下(r1r2)·ABrr(1020)×20×102×2021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.1一个几何体的三视图如

12、图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是_cm2.答案8016解析该几何体是四棱锥与正方体的组合，S表面积42×548016.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为_答案解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，表面积S×2×××12××1×2.3一个高为2的圆柱，底面周长为2.该圆柱的表面积为_答案6解析先求出圆柱的底面半径，再应用圆柱的表面积计算公式求解设圆柱的底面半径为r，高为h.由2r2得r1，S圆柱表2r22rh246.4表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是

13、一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案38解析将三视图还原为直观图后求解根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S2×(4312)2238.呈重点、现规律1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借

14、助相似的相关知识求解3S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2)一、基础过关1用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为_答案解析易知2r4，则2r，所以轴截面面积×2.2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为_答案解析设底面半径为r，侧面积42r2，全面积为2r242r2，其比为：.3若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于_答案3解析圆台的母线长为，S圆台侧(12)·3.三视图如图所示的几何体的全面积是_答案7解析图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为1，下底为

15、2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，表面积S表面2S底S侧面×(12)×1×2(112)×17.5如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是_答案60°解析设母线为l，底面半径为r，则l2r.，母线与高的夹角为30°.圆锥的顶角为60°.6一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为_cm2.答案12 800解析该组合体的表面积为2S主视图2S左视图2S俯视图12 800( cm2)7斜棱柱的底面是等腰三角形ABC，ABAC10，

16、BC12，棱柱顶点A1到A、B、C的距离相等，侧棱长是13，求它的侧面积解如图，取BC的中点D，则BCAD.设A1O底面ABC，则O在AD上，BCA1A，BC BB1，侧面B1C1CB是矩形，取AB的中点E，AA1A1B，ABA1E.AE5，A1A13.A1E12，S侧12×10×213×12396.二、能力提升8已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则AB等于_答案118解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2rl，则lr，所以B(r)2×r2，Ar2r2r2，得AB118.9一个几何体的三视图如图，该

17、几何体的表面积为_答案360解析由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为8×10×22×8×210×2×2232，上面长方体的表面积为8×6×22×8×22×6×2152，又长方体表面积重叠一部分，几何体的表面积为2321522×6×2360.10一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案488解析由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2

18、的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以S表422×4×(24)×4×24××2488.11已知直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2，求它的侧面积解设直平行六面体的底面边长为a，侧棱长为l，如图，S侧4al.过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形，即AC，BD.ACBD，22a2，即22a2.4a2l2QQ，2al.S侧4al2.12正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长解如图，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10) cm，在RtE1FE中，EF5 cm.E1F12 cm，斜高E1E13 cm.S侧4×(