14.江西中考特色专题：平行四边形中的设计作图与几何探究问题

1、江西中考特色专题： 平行四边形中的设计作图与几何探究问题类型一 平行四边形中的设计作图1. （2016 吉林中考）图，图都是 8X8的正方形网格，每个小正方形的 顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1,在每个正方形网格中标注了 6 个格 点，这 6个格点简称为标注点.图图（1）请在图，图中，以 4 个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；（2）_ 图中所画的平行四边形的面积为.2.如图，已知/AOBOA=OB 点 E 在 0B 上，且四边形 AEBF 是平行四边形， 请你只用无刻度的直尺在图中画出/ AOB 的平分线（保留作图痕迹，不写作法），3. （2017 吉州区期末

2、）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE二 EC 试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）.（1）在图中，画出/ DAE 的平分线；（2）在图中，画出/ AEC 的平分线.图类型二 代几结合问题5.在?ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 O 点，AO6，BD= 2,设 AB 的长为 x，将 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）6.如图，在？ABCD 中，/安期末）如图，在？ABCD 中，AC 为对角线，AC=BC AE4.（2017 吉是厶 ABC 的中线.（1）在图中用无刻度的直尺画出厶ABC 的高 CHADC 的高图B= 120,动点

3、P 从点 B 出发，沿 BC，CD DA 运动至点 A 停止.设点 P 运动的路程为xcm,APAB 的面积为 ycmf，y 关于 x 的 函数的图象如图所示，则图中 H 点的横坐标为（）A. 11 B . 14 C . 8+3 D . 8 + 3 37.(2016 无锡中考)如图，已知？OABC 勺顶点 A, C 分别在直线 x = 1 和 x=4 上, O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为_.8.已知直线 y = 2x + 4 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A, B, y 轴上点 C 的坐标为(0 , 2)，找一点 P,使得以 P, A, B, C 为顶点的四边形是平行四边形，则

4、点P的坐标为_ .9.在平面直角坐标系中，？OABC 勺边 OC 落在 x 轴的正半轴上，且点 C(4,0) , B(6, 2)，直线 y = 2x+ 1 以每秒 1 个单位的速度向下平移，经过 _秒该直线可将？OABC 勺面积平分.10. 如图，在四边形 ABCD 中 AD/ BC AD= 8, BO 16,点 P 以每秒 1 个单 位长度的速度从点 A 出发，沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2 个单位长度的 速度从点C 出发，沿 CB 向点 B 运动，点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动， 设运动时间为t 秒.(1) 当 t 为多少时，四边形 ABQD1 平行四边形?当

5、 t 为多少时，四边形 ABQP1 平行四边形?A P D鶯第 6 题图类型三 几何探究问题11. （2016 常州中考）如图，在 APB 中，A 吐 2,/ APB= 90，在 AB 的第 12 题图12. 如图，在?ABCD 中，分别以 AB AD 为边向外作等边厶 ABE 和等边 ADF延长CB交AE于点G,点G落在点A, E之间， 连接EF, CF, CE则以下四个结论： CGLAE厶 CDFAEBC/ CDFZEAF厶 ECF 是等边三角形.其中一 定正确的是_ （填序号）.13. （2016 牡丹江中考）在?ABCD 中， 点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两 个动点，AP

6、/ CQ AD= BD.（1）如图，求证：BP+ BQ= BC;同侧作正厶 ABD 正厶 APE 和正 BPC 则四边形 PCDBH积的最大值是第 11 题图请直接写出图，图中 BP, BQ BC 三者之间的数量关系，不需要证明; 在（1）和 的条件下，若 D* 1, D 吐 3,则 BO_.14. （201 6 龙东中考）已知点 P 是平行四边形 ABCD 寸角线 AC 所在直线上的 一个动点（点 P 不与点 A，C 重合），分别过点 A，C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E, F,点 O 为 AC 的中点.图图P图（1）当点 P 与点 O 重合时，如图，易证 OB OF 不需证明）;

7、直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当/ OF 吕 30时，如图、图的位 置，猜想线段 CF, AE OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜 想，并选择一种情况给予证明.（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半）参考答案与解析(2) 62解：如图，0P 是/ AOB 勺平分线理由如下：由四边形 AEBF 是平行四边 形可得 A 吐 BP.又因为0A=OB 则 OP 是等腰三角形 OAB 底边 AB 上的中线，所以 0P是/ AOB 的平分线.4.解： ABC 的高 CH 如图所示. ADC 的高 AK 如图所示.1 解：如图，图所示.图图3解：如图所示，AC 即为所求.5.

8、C6. B 解析：作CMLAB 于 M.当点 P 在 CD 上运动时， PAB 的面积不变，由1图得 BO4cm / ABC= 120, /-ZCBMk 60, /-ZMCb30,/ BMhBC1i=2cm / CM= 2 .3cm.tAABC 的面积=qAB，CM=空人取空人取23= 6 3, / AB= 6cm/OHh4 + 6 + 4= 14(cm)，/点 H 的横坐标为 14.故选 B.7. 5 解析：当点 B 在 x 轴上时，对角线 OB 长最小.如图所示，直线 x = 1 与 x 轴交于点 D,直线 x = 4 与 x 轴交于点 E,根据题意得ZAD3ZCE= 90， OD= 1,

9、OE= 4.v四边形 OAB(是平行四边形，/ OA= BC,OA/ BC/ZAO=ZCBE.ZAO=ZCBE在AOD 和 CBE 中，ZAD=ZCEBAODACBE(AAS) / OD= BE= 1,OA= BC,解析：v直线 y= 2x+ 4,当 y= 0 时,B(0, 4) ,/ OB= 4, OA= 2.v点 C 的坐标为(0 , 2) ,/ O(= 2，/ BC= OB- O(= 2.当 AC 为对角线时，点 P 的坐标为(一2, 2);当 AB 为对角线时，点 P 的坐标为(一 2 , 2);当 BC 为对角线时，点 P的坐标为(2 , 6).综上所述，以 P , A, B , C

10、 为顶点的四边形是平行四边形时,点 P 的坐标为(一 2, 2)或(一 2 , 2)或(2, 6).9. 6 解析：连接 AC, BQ 交于点 D,如图所示.当直线 y = 2x+ 1 经过点 D 时，该直线可将？OABC 的面积平分.v四边形 AOCB 是平行四边形，/ BD= OD.vB(6 ,2),/D(3 , 1).设直线 y = 2x+ 1 平移后的直线为 y= 2x + b ,:过D(3 , 1) , / 2X3+ b= 1，/b= 5，/ y= 2x 5, /直线 y= 2x + 1 要向下平移6 个单位，/时间为 6 秒./ A(- 2, 0),2)或(2 , 6)10. 解：

11、（1）当四边形 ABQD 为平行四边形时，AD= BQ= 8.v点 Q 速度为 2 个 单位/ 秒，二 CQ= 2t , BQ= BC CQ= 16-2t ,二 16 2t = 8,解得 t = 4,即当 t为 4 秒时，四边形 ABQD 是平行四边形; 当四边形 ABQ 助平行四边形时，A 吐 BQ.v点 P, Q 的速度分别为 1 个单16位/秒、2 个单位/秒，二 A 吐 t , BQ= 16 2t，二 t = 16 2t，解得 t =石，即当311. 1 解析：延长 EP 交 BC 于点 F,vZAPB= 90, / APEZBPG 60,1ZEPG 150,：ZCPF= 180150

12、=30=寸CPB 二 PF 平分ZBPC 又111vPB= PC, PF 丄 BC.设 Rt ABP 中，AF= a, B 吐 b,贝 U CF= 2。吐BP= ?b, a2+ b2= 22= 4. APE 和厶 ABD 都是等边三角形， AE= AP,AD= ABZEA=ZDAB=60,即ZEAD+ ZDAP= ZPAB+ ZDAP,EAD= ZPAB, EADAPAB(SAS) ED= PB= CP,同理可得厶 APBADCB(SAS) EP= AP1=CD 四边形 CDEP!平行四边形，四边形 CDE 啲面积为 EP- CF= a b=1 1ab.又v(ab)2=a22ab+b20, 2

13、aba+b2=4, 2ab1,即四边形 PCDE面积的最大值为 1.167秒时，四边12. 解析：在等边厶 ABE 中，顶角平分线、底边上的中线、高是 同一条线段，如果 CGLAE 贝UG 是 AE 的中点，/ AB 30,/ ABC= 150, 而题目缺少这个条件， CGLAE 不能求证，故错误； ABE ADF 是等边 三角形， FD= AD, BE= AB.四边形 ABCD 是平行四边形，二 AD= BC，A 吐 DC / ABC=ZCDA：FD= BC，BE=DC.v/FDA=ZABE= 60,/ CDIZEBC / CDFAEBC 故正确；v/FAE= /FAD/DAB+/BAE=

14、60+(180 /CDA 片 60 =300 /CDA/FDG360/FDA-/ADG36060/ADG 300/CDA/CDG/EAF 故正确；由可得/ CBG/EAFG/CDF.vBCGAD= AF， BEGAE,AEAFAEBC/AEFG/BEC/AEF+/FEB=/BE(+/FEB =/ AEG60,/FECG60 .由可得厶 CDFAEBC 二 CF= CE, / ECF 是等边三角形，故正确；.正确的有.13. (1)证明：v四边形 ABCD 是平行四边形，二 AD/ BC, ADGBC,二/ADB =/CBD.vAP/ CQ 二/ API CQB ADPACBQ： DP= BQ.

15、vADGBD ADGBC,二 BDGBC.vBDGBP+DR / BP+ BCGBC.(2) 解：图：BQ- BPGBC,图：BP BCG BC 解析：图同可证ABPACDQ 二 B 吐 DQ / BCGAD= BDGBQ- DQGBQ- BP;图同理得ADPACBQ 二 PDGBQ / BCGADGBDGBP PDGBP BQ.(3) 解：2 或 4 解析：图,BCGBF+ BQGDQ PDG1 + 3 = 4；图,BCGBQ-BPGPD DQ= 3 1G2,ABCG2 或 4.14. 解：(2)图中的结论为 CFG0 曰 AE,图中的结论为 CFGOE- AE.选图中的结论，证明如下：延长 EO 交 CF 于点 G.vAE1 BP, CF 丄 BP, AE/ CF,/EAO=/GCOv 点 O 为 AC 的中点，二 AO=。在厶 EOAftAGOC 中,丁/ EAO=/ GCOAOGCOEOAAGOC / EO= GO AE=CG 在 RtEFG 中，vEO=/AOG /COGOG 二 OB O 亡 GO.vZOF 吕 30,二/ OF& 90 30= 60,：AOFG 是 等边三角形， OF= GF.vOE= OF OE= FG.vCF= FG+ CQ 二 CF= O