人教A数学一轮复习指导节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例PPT课件

1、考纲要求考情分析1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题.1.本节是高考的必考内容之一，利用导数研究函数的单调性、求极值、求最值以及解决生活中的优化问题已成为高考的热点2.从考查形式上看，各种题型都可能出现，其中选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、极值的考查；解答题侧重于导数与函数、不等式的综合应用，一般难度较大

2、，属于中高档题目.第1页/共76页第2页/共76页 一、函数的单调性第3页/共76页 1f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？ 提示：f(x)0(或f(x)0)仅是函数f(x)在这个区间内为增函数(或减函数)的充分条件而非必要条件，如f(x)x3在(，)上为增函数，但f(x)3x20，即必要性不成立第4页/共76页 二、函数的极值 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 f(x)0f(x)0极小值点极小值第5页/共76页

3、2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的 ，f(b)叫做函数yf(x)的 极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 f(x)0f(x)0极大值点极大值极值点极值第6页/共76页 3求函数极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是f(x)的一个极小值 (2)如果在x0附近左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是f(x)的一个极大值 (3)如果f(x)在点x0的左右两侧符号相同，那么f(x0)不是函数的极值单调递减单调

4、递增单调递增单调递减第7页/共76页 2已知函数yf(x)，若f(x)在xa处有f(a)0，则点a一定是函数的一个极值点吗？ 提示：不一定只有当函数在点a两侧的单调性不同时a才是函数的极值点第8页/共76页 三、函数的最值 1如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 ，那么它必有最大值和最小值 2求函数yf(x)在a，b上最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值连续不断的曲线第9页/共76页 3极值点一定是最值点吗？ 提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局

5、部对函数值的比较；函数的最值是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点第10页/共76页 四、生活中的优化问题 1生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大(小)值的强有力的工具优化问题第11页/共76页 2解题的基本思路第12页/共76页 3用导数解决实际问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去 (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f(x)0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道

6、这就是最大(小)值，就是问题的最优解 (3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域第13页/共76页第14页/共76页第15页/共76页 2(文)设f(x)x312x，则f(x)的极值情况是() A极大值是f(2)，极小值是f(2) B极大值是f(2)，极小值是f(2) C只有极大值，无极小值 D只有极小值，无极大值第16页/共76页 解析：由条件知f(x)3x2123(x24)3(x2)(x2)故当x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当2x2时，f(x)0，g(x)0，g(x)1e2.第25页/共76页 (1)(理)构造函数，

7、判断函数的单调性，利用最值证明不等式 (1)(文)确定定义域，利用导数f(x)0，(x)单调递增， (x)(0)0，第33页/共76页第34页/共76页第35页/共76页第36页/共76页 (2)导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： 求f(x) 确认f(x)在(a，b)内的符号 作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数第37页/共76页 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立求解第38页/共76页 【活学活用】 1已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

8、 (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由第39页/共76页 解：(1)由已知f(x)3x2a， f(x)在(，)上是单调增函数， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立 又3x20，只需a0. 又当a0时，f(x)3x20， 即f(x)x31在R上是增函数，a0.第40页/共76页 (2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立， 得a3x2，x(1,1)恒成立 1x1，3x23，只需证a3. 当a3时，f(x)3(x21)， 在x(1,1)上，f(x)0， 即f(x)在(1,1)上为减函数，a3. 故存在实数

9、a3，使f(x)在(1,1)上单调递减.第41页/共76页 【考向探寻】 1求函数的极值与最值 2含参数的函数的极值、最值问题第42页/共76页第43页/共76页第44页/共76页题号分析(1)利用根的分布解题或由f(x)0求得x，令0 x1求得b范围(2)根据函数的单调情况求解；将问题转化为maln xx恒成立，进而只需求aln xx的最小值即可，为此构造一次函数h(a)aln xx解题.第45页/共76页第46页/共76页第47页/共76页第48页/共76页第49页/共76页 (1)求函数极值的一般思路第50页/共76页 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间内的函数值得出来的，函数

10、的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内一点处取得，最值则可以在端点处取得，有极值未必有最值，有最值未必有极值，极值可能成为最值第51页/共76页本例(2)中对于含有双参数的问题，在解题中要明确谁是主参数，以进一步将问题转化为常见函数的问题来解决第52页/共76页 【活学活用】 2(理)已知f(x)axln x，x(0，e，其中e是自然常数，aR. (1)当a1时，讨论f(x)的单调性、极值； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由第53页/共76页第54页/共76页第55页/共76页第56页

11、/共76页 2(文)已知函数f(x)x33ax1(a0) (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围第57页/共76页第58页/共76页 (2)f(x)在x1处取得极值， f(1)3(1)23a0， a1， f(x)x33x1，f(x)3x23. 由f(x)0解得x11，x21. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1.在x1处取得极小值f(1)3. 直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点， 结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(3,1).第59页/共76页 【考向探寻】 利

12、用导数求表示实际问题的函数的最值第60页/共76页第61页/共76页第62页/共76页第63页/共76页第64页/共76页利用导数解决生活中的优化问题 (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的取值范围 (2)要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去 (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点第65页/共76页第66页/共76页第67页/共76页第68页/共76页 已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.第69页/共76页第70页/共76页 而在本题中，当f(x)x33x23x9时，f(x)3x26x33(x1)2，此时，尽管有f(1)0成立，但是在x1的左右两侧的导数的符号均为正同号，也就是说，x1不是函数f(x)x33x23x9的极