定积分习题课

1、上页下页铃结束返回首页1 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 习习 题题 课课一、主要内容框图一、主要内容框图；二、典型例题二、典型例题.上页下页铃结束返回首页2问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容框图一、主要内容框图上页下页铃结束返回首页3二、典型例题二、典型例题例例1、利用定积分的几何意义计算、利用定积分的几何意义计算dxxx2224122222

2、4)2(412yxxxy解：由.441412222的园的面积个半径为等于故积分：dxxx44414122222dxxx上页下页铃结束返回首页4)()(),(. 2的是连续，下列等式不成立设例xgxfbababadxxgdxxfdxxgxfA)(2)()(2)()(bababadxxgdxxfdxxgxfB)(2)()(2)()(bababadxxgdxxfdxxgxfC)()()()()(),()()()()(bacdxxfdxxfdxxfDbcbaca其中：是正确的选择。，我们知只有解：利用定积分的性质)(C上页下页铃结束返回首页5)(. 3是下列不等式中，成立的例1122112216sin

3、16)(dxxxxdxxxxA1sin)(20dxxxB20sin1 )(dxxxC20sin2)(dxxxDdxxxdxxxx11221122sin1sin16解：由：dxxxdxxxx11221122116) 1 , 1(sin112222xxxxx及：不选)(A上页下页铃结束返回首页6)2, 0(sinxxx而：)2, 0(, 1sinxxx.)(,2sin2020不选故 Ddxdxxx)2, 0(, 0)tan(cos)sin(2xxxxxxx)2, 0(,222sinsinxxx202012sindxdxxx).(C故正确的选择为上页下页铃结束返回首页7.()(, 0)(),()(.

4、 4）的原函数的是不是下列函数中，上连续，在设例xfxfxfxadttfA)()(bxdttfB)()(2)(21)(xadttftCbadttfD)()(0)(badttf解：由于：).(D故正确的选择为上页下页铃结束返回首页8.(-. 5）莱布尼茨公式的是下列积分中，能用牛顿例dxxxA20) 12)(12(1)(dxxxB02) 12)(12(1)(dxxxC21) 12)(12(1)(dxxxA22) 12)(12(1)(内连续，在区间解：由于2 , 1 ) 12)(12(1xx莱布尼兹公式，故能用牛顿).(C所以，正确的选择为上页下页铃结束返回首页9aadxxx02)0()1ln(2

5、) 1 (. 6 计算定积分：例aadxxx0)0()1ln(2)2(xdxxarctan)3(10adxxx022)1ln()1 () 1 ( 原式解：)(22 xx思考：为什么不写成：aadxxxxx022022 )1)ln(1 ()1ln()1 (分部积分axdxaa0222)1ln()1 (的好处吗？看出表示：)1 (22xx上页下页铃结束返回首页10222)1ln()1 (aaaadxxx02)1ln() 1()2(原式aadxxxxx0202 )1)ln(1()1ln() 1(adxxaa02) 1()1ln() 1(axxaa022)2()1ln() 1(aaaa2)1ln()

6、1(22上页下页铃结束返回首页11xdxxarctan)21()3(102原式dxxxxx)arctan)(21(arctan21102102dx10214214上页下页铃结束返回首页20tan117dxx例dxxxxdxx2020cossincostan11解：dxxxxxxx)2cos()2sin()2cos(cossincos2120dxxxxxxxsincossincossincos212020421dx上页下页铃结束返回首页* *例例8 8 计算计算解解.tan11202012dxxIdxxxxI20201220122012sincoscosdxxxxxxx2020122012201

7、2201220122012)2(sin)2(cos)2(cossincoscos21dxxxxxxx20201220122012201220122012cossinsinsincoscos2120421dx上页下页铃结束返回首页14例例9. 求求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因为因为 1,0 x时时,xxneex10所以所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx上页下页铃结束返回首页15解：解：例例10. 求求1sin1) 1(sin12sin1sinlimnnnnnnnnnnn1sin1) 1(sin12s

8、in1sinlimnnnnnnnnnnnsin) 1(sin2sinsin) 1(limnnnnnnnnnnnkhnnhkhfhnn10)(lim) 1(lim0sin1xdx2上页下页铃结束返回首页16nnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknkn11sin已知已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知利用夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin11limnnn思考题思考题. 求求上页下页铃结束返回首页17例例11. 设函数设函数 f(x)

9、 连续连续, 且且 解解: 令令则则20arctan21)2(xdttxtfx已知已知, 1) 1 (f求求的值的值.,2txuxxxduufuxdttxtf20)()2()2(xxxxduuufduufx22)()(241xx)()2(4)(2)2(4)(22xxfxxfxxfxxfduufxx)()(22xxfduufxx43)(21dxxfxdttxtfdxd0)2(上页下页铃结束返回首页18例例12. 求求.d12ln02xex解解: 令令21,xte则则21ln(1),2xt 2dd ,1txtt原式原式32220d1ttt23)32(ln32201(1)d1tt 32011ln |21ttt 上页下页铃结束返回首页19例例13. 求求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04s