多目标决策灰色关联投影法

1、多目标决策灰色关联投影法多目标决策灰色关联投影法pagepage1 1多目标决策灰色关联投影法多目标决策灰色关联投影法page2page2主要内容主要内容一：基本原理一：基本原理二：应用举例二：应用举例引言引言pagepage3 3一：基本原理一：基本原理一一个待评价的系统本身就是一个个待评价的系统本身就是一个灰色系统灰色系统，因为系统中既有已，因为系统中既有已被了解的的被了解的的白色信息白色信息，又有尚未发现的，又有尚未发现的黑色信息黑色信息，而更多的是一，而更多的是一般定性了解的般定性了解的灰色信息灰色信息。对这样的系统进行综合评价实际上是一。对这样的系统进行综合评价实际上是一个个灰色多目

2、标决策问题灰色多目标决策问题。有关灰色多目标决策与评价理论，已有。有关灰色多目标决策与评价理论，已有不少的研究成果。下面介绍不少的研究成果。下面介绍灰色关联投影法灰色关联投影法，它是从，它是从矢量投影的矢量投影的角度角度出发，解决多目标决策与评价问题。出发，解决多目标决策与评价问题。灰色系统灰色系统（grey systematology grey systematology ）是由华中科技大学控制科学与工程）是由华中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师系教授，博士生导师邓聚龙邓聚龙于于19821982年提出的。年提出的。 按国际惯例，在控制论中，信息多少常以颜色深浅来表示：按国际惯例，在控

3、制论中，信息多少常以颜色深浅来表示： 信息充足、确定（已知）的为信息充足、确定（已知）的为白色白色， 信息缺乏、不确定（未知）的为信息缺乏、不确定（未知）的为黑色黑色， 部分确定与部分不确定的为部分确定与部分不确定的为灰色灰色。原理原理pagepage4 4一：基本原理一：基本原理1 1、属性值（指标值）、属性值（指标值）多指标决策域集合：多指标决策域集合： 方案方案1 1，方案，方案2 2，. .，方案，方案nn12n,A AA因素指标的集合：因素指标的集合： 指标指标1 1，指标，指标2 2，. .，指标，指标mmV 12m,V VV方案方案 对指标对指标 的属性值（指标值）为的属性值（指

4、标值）为iAjVijy(1,2, ;1,2,)in jmA1V2VmV1A11y12ymy12A21y22ymy2 nA1ny2nynmy原理原理pagepage5 5一：基本原理一：基本原理2 2、指标的分类、指标的分类 （1 1）“效益效益”型指标型指标：属性值：属性值越大越好越大越好的指标。如资金值率，劳的指标。如资金值率，劳动生产率等。动生产率等。 （2 2）“成本成本”型指标型指标：属性值：属性值越小越好越小越好的指标。如流动资金占用的指标。如流动资金占用率，流动资金的周转天数等。率，流动资金的周转天数等。原理原理pagepage6 6一：基本原理一：基本原理3 3、最佳决策方案和决

5、策矩阵的确定、最佳决策方案和决策矩阵的确定 记最佳决策方案记最佳决策方案 的因素指标为的因素指标为 ，且满足：，且满足：当因素指标当因素指标 为为效益型效益型时，取时，取0A0 jy012njmax,jjjyyyy，当因素指标当因素指标 为为成本型成本型时，取时，取012njmin,jjjyyyy， 则称则称增广矩阵增广矩阵 为方案集为方案集 A A 对指标集对指标集V V 的决策矩阵，即的决策矩阵，即: :(1)()ijnmYy (01,2, ;1,2,)in jm，010201112112mmnnnmyyyyyyYyyy原理原理pagepage7 7一：基本原理一：基本原理无量纲化处理无量

6、纲化处理：为了消除量纲和量纲单位不同所带来的的不可公：为了消除量纲和量纲单位不同所带来的的不可公度性，决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理。度性，决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理。初值化处理初值化处理：对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除，从：对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除，从而得到一个新数列的方法叫初始化处理。该数列有而得到一个新数列的方法叫初始化处理。该数列有共同的起点共同的起点，无量，无量纲，其数据均大于零。纲，其数据均大于零。Y决策矩阵决策矩阵(1)()ijnmYy (01,2, ;1,2,)in jm，进行初值化生成进行初值化生成 ，()ijYy当指标为当指

7、标为效益型效益型时：时： 当指标为当指标为成本型成本型时：时：0ijijjyyy 0 jijijyyy 显然，显然，理想方案理想方案01(1,2,)jyjm 4 4、指标值的初值化处理、指标值的初值化处理即：即：原理原理pagepage8 8一：基本原理一：基本原理每一个方案是由每一个方案是由 m m个因素指标所确定的，它构成个因素指标所确定的，它构成V V 维因素指标空维因素指标空间间 中的一个离散的方案点，进行多目标决策，中的一个离散的方案点，进行多目标决策，就是比较空间中各方案就是比较空间中各方案点与理想方案点的关联度。点与理想方案点的关联度。记记 为子因素关于母因素的关联度，则为子因素

8、关于母因素的关联度，则 以以 为母因素，以为母因素，以 为子因素，就可以得到其他方案与理想方案为子因素，就可以得到其他方案与理想方案的关联度。的关联度。0 jyijy5 5、其它方案与理想方案的关联度、其它方案与理想方案的关联度ijr0000minminmaxmaxmaxmaxjijjijnmnmijjijjijnmyyyyryyyy 常数常数 称为分辨系数，它的作用在于调整比较环境的大小，即将称为分辨系数，它的作用在于调整比较环境的大小，即将比较环境缩小改变，当比较环境缩小改变，当 时，环境消失；时，环境消失； 时，环境时，环境“原封不动原封不动”地保持着，地保持着，通常通常，取，取 。=0

9、=1=0.5原理原理pagepage9 9一：基本原理一：基本原理 由由 个个 数（用数（用 代替）组成的矩阵为多目标灰色关联度判代替）组成的矩阵为多目标灰色关联度判断矩阵断矩阵 。 6 6、灰色关联度判断矩阵、灰色关联度判断矩阵 (1)nmrF010203011121311112131212223221222321231231111mmmmmnnnnmnnnnmffffffffffffFffffffffffffffff很显然，在这里很显然，在这里 。01020=1mfffijf原理原理pagepage1010一：基本原理一：基本原理 设评价指标间的加权向量为设评价指标间的加权向量为 , ,

10、的确定方法有主的确定方法有主客观赋权法两大类，这里不再详述。客观赋权法两大类，这里不再详述。7 7、加权灰色关联决策矩阵、加权灰色关联决策矩阵12,TmWw wwW11112131221222321231111mmmnnnnmwffffwFF Wffffwffff 1231 1121231311212223232112233mmmmmnnnmnmwwwww fw fw fw fw fw fw fw fw fw fw fw f原理原理pagepage1111一：基本原理一：基本原理 将每个决策方案看成一个将每个决策方案看成一个行向量行向量（矢量），则称每个决策方案（矢量），则称每个决策方案 与理

11、想方案与理想方案 之间的夹角之间的夹角 为为灰色关联投影角灰色关联投影角。夹角余弦越大，表明。夹角余弦越大，表明决策方案决策方案 与理想方案与理想方案 之间的变化方向愈一致。夹角余弦为之间的变化方向愈一致。夹角余弦为: :8 8、灰色关联投影角、灰色关联投影角iA*AiiA*A2*11*22221111cos()()mmjijjijjjjiimmmmijjijjjijjjjjw fwfwA AAAww fww f原理原理pagepage1212一：基本原理一：基本原理将模的大小与夹角余弦的大小综合考虑，就可以全面准确的反应将模的大小与夹角余弦的大小综合考虑，就可以全面准确的反应各个决策方案各个

12、决策方案 与理想方案与理想方案 之间的接近程度。称决策方案之间的接近程度。称决策方案 在理想在理想方案方案 上的投影值为灰色关联投影值上的投影值为灰色关联投影值 ，则有，则有9 9、灰色关联投影值、灰色关联投影值iA*AiA*AiDcosiiiDA2*1*21mijjjiimijjfwA AAAAw2121mjijmjjjwfw原理原理pagepage1313一：基本原理一：基本原理灰色关联投影值灰色关联投影值 综合的反映了决策方案综合的反映了决策方案 与理想方案与理想方案 之间的之间的接近程度。称接近程度。称 为灰色关联投影权值，其中：为灰色关联投影权值，其中：1010、灰色关联投影权值矢量

13、、灰色关联投影权值矢量iDiA*A221jjmjjwwwjw 则灰色关联投影值为：则灰色关联投影值为：1miijjjDfw根据这些投影值的大小，就可以对多目标做出科学的排序。根据这些投影值的大小，就可以对多目标做出科学的排序。1,2,in（）应用该法进行多目标决策的一般步骤应用该法进行多目标决策的一般步骤pagepage1414二：应用举例二：应用举例FAA根据评价目的确定评价指标体系后，计算步骤如下根据评价目的确定评价指标体系后，计算步骤如下: : step1 step1：根据已知的方案集：根据已知的方案集 和指标集和指标集 ，首先找出最佳方案，首先找出最佳方案 的因的因素指标素指标 ，然后

14、列出方案集，然后列出方案集 和指标集和指标集 的决策矩阵的决策矩阵 ； step2 step2 ：对决策矩阵：对决策矩阵 进行初值化处理得到进行初值化处理得到 ； step3 step3 ：计算出子因素与母因素的关联度；：计算出子因素与母因素的关联度； step4 step4 ：由关联度，构造多目标灰色关联判断矩阵：由关联度，构造多目标灰色关联判断矩阵 ； step5 step5 ：由原有评价指标间的权向量构造灰色关联投影权值：由原有评价指标间的权向量构造灰色关联投影权值 ； step6 step6 ：计算各个决策方案：计算各个决策方案 在理想方案在理想方案 上的投影值为灰色关上的投影值为灰色

15、关联投影值联投影值 。 step7 step7 ：根据灰色关联投影值：根据灰色关联投影值 的大小进行排序。的大小进行排序。V0 jyVYYYiA*AiDjw iD应用举例应用举例pagepage1515二：应用举例二：应用举例下面以下面以中国经济年鉴中国经济年鉴的统计资料为基础，进行综合经济效益的统计资料为基础，进行综合经济效益评价比较。实例中只采用了四座城市的统计数据。评价比较。实例中只采用了四座城市的统计数据。表表1 1 全国科技进步综合排名全国科技进步综合排名 方案集方案集 =北京，上海，天津，云南北京，上海，天津，云南 ， 指标集指标集 =资金利润率，销售利润率，全员劳动生产率，综合能

16、耗，资金利润率，销售利润率，全员劳动生产率，综合能耗，物耗，技改占固定资产投资比例物耗，技改占固定资产投资比例 。其中：除了。其中：除了综合能耗综合能耗和和物耗物耗两个指标两个指标属属成本型指标成本型指标，其他四个指标都是，其他四个指标都是效益型指标效益型指标。VA资金利资金利润率润率销 售 利销 售 利润率润率全 员 劳全 员 劳动 生 产动 生 产率率 综合综合 能耗能耗 物耗物耗技改占固技改占固定资产投定资产投资比例资比例北京北京 29.0929.0924.0524.051.941.944.554.5567.4067.4067.6067.60上海上海 36.9736.9722.9022.

17、902.602.602.432.4367.9067.9054.5554.55天津天津 29.1329.1320.4020.401.971.973.603.6068.7068.7064.0064.00云南云南 23.9223.9227.2077.927.9258.1058.1055.2055.20应用举例应用举例pagepage1616二：应用举例二：应用举例1 1）根据下表数据，最佳方案）根据下表数据，最佳方案 的因素指标为：的因素指标为：表表1 1 全国科技进步综合排名全国科技进步综合排名资金利资金利润率润率销 售 利销 售 利润率润率全 员 劳全 员 劳动 生 产动

18、 生 产率率 综合综合 能耗能耗 物耗物耗技改占固技改占固定资产投定资产投资比例资比例北京北京 29.0929.0924.0524.051.941.944.554.5567.4067.4067.6067.60上海上海 36.9736.9722.9022.902.602.602.432.4367.9067.9054.5554.55天津天津 29.1329.1320.4020.401.971.973.603.6068.7068.7064.0064.00云南云南 23.9223.9227.2077.927.9258.1058.1055.2055.20036.97,27.20,

19、2.60,2.43,58.10,67.60A （）0A应用举例应用举例pagepage1717二：应用举例二：应用举例下面就可以列出方案集下面就可以列出方案集 对指标集对指标集 的决策矩阵的决策矩阵 ; ;AV36.9727.202.602.4358.1067.6029.0924.051.944.5567.4067.6036.9722.902.602.4367.9054.5529.1320.401.973.6068.7064.0023.9258.1055.20Y资金利资金利润率润率销 售 利销 售 利润率润率全 员 劳全 员 劳动 生 产动 生 产率率 综合综合 能耗

20、能耗 物耗物耗技改占固技改占固定资产投定资产投资比例资比例北京北京 29.0929.0924.0524.051.941.944.554.5567.4067.4067.6067.60上海上海 36.9736.9722.9022.902.602.602.432.4367.9067.9054.5554.55天津天津 29.1329.1320.4020.401.971.973.603.6068.7068.7064.0064.00云南云南 23.9223.9227.2077.927.9258.1058.1055.2055.20Y应用举例应用举例pagepage1818二：应用举例

21、二：应用举例资金利资金利润率润率销 售 利销 售 利润率润率全 员 劳全 员 劳动 生 产动 生 产率率 综合综合 能耗能耗 物耗物耗技改占固技改占固定资产投定资产投资比例资比例北京北京 29.0929.0924.0524.051.941.944.554.5567.4067.4067.6067.60上海上海 36.9736.9722.9022.902.602.602.432.4367.9067.9054.5554.55天津天津 29.1329.1320.4020.401.971.973.603.6068.7068.7064.0064.00云南云南 23.9223.9227.2027.201.1

22、71.177.927.9258.1058.1055.2055.202 2）利用公式）利用公式 或或 求求 , ,对决策矩阵对决策矩阵 进行初值化处进行初值化处理得到理得到 。0ijijjyyy 0 jijijyyy ijyYY1111110.78690.88420.74620.53410.8620110.8419110.85570.80700.78790.75000.75770.67500.84580.94670.647010.45000.306810.8166Y 应用举例应用举例pagepage1919二：应用举例二：应用举例3 3）根据公式）根据公式 , ,得到灰色关联判断矩阵得到灰色关联

23、判断矩阵 。F0000minminmaxmaxmaxmaxjijjijnmnmijjijjijnmyyyyryyyy1111110.61920.74950.57720.42650.7153110.6868110.70600.64230.62040.58100.58850.51610.69200.86680.495410.38660.333310.6539F1111110.78690.88420.74620.53410.8620110.8419110.85570.80700.78790.75000.75770.67500.84580.94670.647010.450010.8106.68630Y

24、 应用举例应用举例pagepage2020二：应用举例二：应用举例4 4）根据专家的评价，可以得到一组加权系数）根据专家的评价，可以得到一组加权系数0.096,0.114,0.15,0.16,0.128,0.112W （）5 5）根据公式）根据公式 ，得到得到灰色关联投影权值灰色关联投影权值。221jjmjjwww(0.0293,0.0413,0.0714,0.0813,0.0520,0.0398)W 6 6）根据公式）根据公式 ，得到各个决策方案的投影值。，得到各个决策方案的投影值。1miijjjDfw(0.2019,0.2726,0.1966,0.1885)jD 7 7）根据投影值，得到排序：）根据投影值，得到排序：上海上海 北京北京 天津天津 云南云南。灰色关联投影法优点灰色关联投影法优点pagepage2121二：应用举例二：应用举例1 1、从计算可以看出，灰色关联投影法本质上是一种简单加性加数、从计算可以看出，灰色关联投影法本质上是一种简单加性加数方法，该方法中的加权系数是与原加权系数的平方成正比的一组新的加方法，该方法中的加权系数是与原加权系数的平方成正比的一组新的加权系数，通过新的算法，使重要的指标的加权