大学高等数学2(4)-隐函数及参数方程导数

1、1第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数参数方程求导相关变化率2定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为隐函数隐函数(implicit function).显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin

2、 yxy开普勒方程开普勒方程显式显式? ?显化显化. .32. 隐函数求导隐函数求导隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到并注意到将方程两边对将方程两边对 x 求导求导.变量变量 y 是是 x 的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化，隐函数不易显化或不能显化， 如何求导如何求导4例例解解.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程)!(xyy 其中其中隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

3、 相关变化率相关变化率, 0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,xxy)( xxe )( xye )( )0( 注意到注意到 y 是是x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,ye复合函数求导法复合函数求导法:yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx0 y0 x0 y0 x:dxd5隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解, 0sin yxey设设.xy 求求法一法一隐函数求导法隐函数求导法.ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos;法二法二 反函数

4、求导法反函数求导法 xyeysin :dxd yx,sincosyeyy yxxy 1yyxeye cosyyye)sin( 6例例.,)23,23(,333线通过原点线通过原点并证明曲线在该点的法并证明曲线在该点的法切线方程切线方程的的求过点求过点设曲线方程设曲线方程xyyx 解解23xxyxyy 22. 1 切线方程切线方程),23(23 xy. 03 yx,2323 xy, xy 23y y3 yx 3y 法线方程法线方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率通过原点通过原点. 23,23 23,23:dxd7例例.)1 , 0(,

5、 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解34xy 212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)1 , 0(41 y )1 , 0(:dxd:dxd8.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 或解或解04433 yyyxyx,4433xyxyy 得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率;41 )1 , 0(y )

6、1 , 0(y .161 :dxd,)4(?23xy 9.)2, 2(2282222处垂直相交处垂直相交在点在点与曲线与曲线试证曲线试证曲线yxyx 证证, 8222 yx, 042 yyx )2, 2(y,222xy ,2xy )2, 2(y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率两曲线在该点两曲线在该点切线斜率乘积为负切线斜率乘积为负 1 .21 . 2,)2, 2(是两曲线的交点是两曲线的交点:dxd )2, 2(2yx10隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率确定，确定，由由已

7、知已知016)(2 xxyexyyy )0(y则则解解yey yx 6y6 x2 , 0 , 0 x0 y2 :ddx:ddxyey y y 6y 62 0 ye y yx 6, 0)0( y11.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3. 对数求导法对数求导法(1) 许多因子相乘除、开方的函数（连乘积）许多因子相乘除、开方的函数（连乘积）.,)4(1)1(23xexxxy 如如.sin xxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 适用于适用于方方 法法方程两边取对数方程两边取对数, 再利用隐函数再利用隐函数求导法。求导法。12例例解

8、解 yln:ddxy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 xexxxy23)4(1)1()1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数142)1(3111 xxx13例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxysinlnln :ddx yy1)1sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率xx lnsin xx

9、 lncosxx1sin 14注注复合函数，再求导。复合函数，再求导。xxysin xxxylnsin xx ln(cos )sinxx ,lnsinxxe 化幂指函数为化幂指函数为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)0( x15例例.,22yxyxxx 求求设设解解,21yyy ,21xxy ,2ln2xxey 1ln y 11yy21xxy xxxexln xxy22ln2 xxy22ln2.21yyy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,ln22xxxx )()( xx

10、eln),1(ln x)ln( xx xx2lnxx,ln2xx ,)( xx .ln2xxx ),ln1(xxx 16有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. .例例)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数：两边取对数： yln两边对两边对x求导：求导： yybalnxa baxaxxbbay baxln lnlnxbalnlnaxb 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率xb xbxabaln17.,1. 12sinyxxyx 求求设设解答解答)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2x

11、xx yy隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数等式两边取对数:ddxxx lncos xxsin 212xx 2sin1xxyx )12sinln(cos2xxxxxx 18.,. 2yyxxy 求求设设解答解答xyxy ln.lnln22xxyxyyyxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,lnlnyxxy :ln:ddx,lnyyxy 19二、由参数方程所确定函数的导数 )()(tytx 若若如如 ,22tytx,42xy xy21 隐函数及由参数方程所确定

12、的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称为由称为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数. 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数 t ，,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy20,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd ,)()(tt txtyxydddddd ,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx tyddxtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率),(1xt 单调连续的单调连续的反函数反函数由

13、由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则:txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 21例例解解txtyxydddddd ,cos1sintt taatacossin 22cos1sindd ttttxy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,2时时当当 t 所求切线方程所求切线方程：)12( axay).22( axy),12( ax. ay 22设由方程设由方程 )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(x

14、yy 求求.ddxy方程组两边对方程组两边对t 求导求导: : xydd.)cos1)(1(ytt txdd t2,cos12yt , 22 tycos tydd 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解txddtyddtyddtydd23例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 曲线的切线斜率？曲线的切线斜率？ )()(dd yxxy cos2sinsin2co

15、s2aa 1 法线斜率为法线斜率为1，切点：，切点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程：故法线方程：axay2222 . 0 yx参数方程。参数方程。24,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx xyxxydddddd22 xyt ddddxtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 )()(ddttt txdd25 33ddxy注注求二阶或更高阶导数不必死套公式求二阶或更高阶导数不必死

16、套公式,只要理解其含义。只要理解其含义。 22ddddxyxtxydddd22 txydddd22 xtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率txdd26例例解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd ttacossin32 ,tant )dd(dddd22xyxxy )tan( tttatsincos3sec22 .sin3sec4tat 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)sin(cos32tta

17、 )cos(3 ta27.dd,2022 tyttxyeeetx求求设设解解);1(ddtetxt , 0dd tyeeyt, 1dd0 ttx.ddytety 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 22ddxy tety1dd)(1tx 2)1(t ye )(ty )1(t ye 022dd txy. 011 )(1txt 0)0(, 0)0( yx xydd.)1(tey 1dd0 tty)1(teetyt 28)(, )(tyytxx 为可导函数为可导函数yx ,有函数关系有函数关系tytxdd,dd的关系的关系-相关变化率解法三

18、步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)29例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t.500tanh :求求导导两两边边对对 t 2sec(1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为),(t 的仰角为