大学物理基础 量子力学3

1、6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性一切实物粒子都有具有波粒二象性。一切实物粒子都有具有波粒二象性。 德布罗意将光的波粒二德布罗意将光的波粒二象性应用到实物粒子，提出象性应用到实物粒子，提出物质波的概念。这种波不是物质波的概念。这种波不是电磁波、机械波，是对微观电磁波、机械波，是对微观粒子运动的统计描述。粒子运动的统计描述。1929年获诺贝尔物理学奖。年获诺贝尔物理学奖。6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 一、物质波假设一、物质波假设动量为动量为 P 的

2、粒子波长的粒子波长Phmvh频率与能量关系频率与能量关系hE两式中左边反映波动性，右边反映粒子性。两式中左边反映波动性，右边反映粒子性。考虑相对论效应考虑相对论效应vmh06.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 一、物质波假设一、物质波假设例：例：电子静止质量电子静止质量 m0= =9.110-31Kg，以以v=6. .0 106m/s 速度运动。质量速度运动。质量 m= 50Kg的人，以的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试比较的速度运动，试比较电子与人的德波波长。电子与人的德波波长。解：解：电子电子vmhe63134106101 .91063.6-

3、m102 .110-15501063.634-m108 .837-人人6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 一、物质波假设一、物质波假设电子的德波波长与电子的德波波长与 X 射线接近，而人的射线接近，而人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。性不必考虑，只考虑其粒子性。 X 射线照在晶体上可以产生衍射，电射线照在晶体上可以产生衍射，电子打在晶体上也能观察电子衍射。子打在晶体上也能观察电子衍射。 1927年年 C. .J. .戴维森与戴维森与 G. .P. .革末作电革末作电子衍射实验，验证电

4、子具有波动性。子衍射实验，验证电子具有波动性。6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证KGBDUV54U 50,电流有一峰值，此实电流有一峰值，此实验验证了电子具有波验验证了电子具有波动性，动性，探测电流也不是正比探测电流也不是正比于于U。U50V546.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证d22电子加速电子加速eUvme221eUmvmee2)(2eUmPe2电子束在两晶面反射电子束在两晶面反射加强条件加强条件2cos2sin22dk2sindkdsin6.6.

5、德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证Ph由由eUmhe2,sinkdeUmkhde2sineUmdkhe2sineUmPe26.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证eUmdkhe2sin镍单晶镍单晶,m1015.210-dKg1011.931-emV54Uk777.0sin,1k,1sin 51与实验值与实验值 50相差很小，这表明电子相差很小，这表明电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确具有波动性，实物粒子具有波动性是正确的。的。6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二

6、象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证 1927年年 G. .P. .汤姆汤姆逊（逊（J. .J. .汤姆逊之子）汤姆逊之子） 也独立完成了电子衍也独立完成了电子衍射实验。与射实验。与 C. .J. .戴维戴维森共获森共获 1937 年诺贝年诺贝尔物理学奖。尔物理学奖。CsUKG6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 二、德波的验证二、德波的验证 物质波振幅的平方与粒子在该处邻近物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率成正比。出现的概率成正比。粒子观点粒子观点电子密处，概率大。电子密处，概率大。电子疏处，概率小。电子疏处

7、，概率小。波动观点波动观点电子密处，波强大。电子密处，波强大。电子疏处，波强小。电子疏处，波强小。电子出现的概率反映该处的波强。电子出现的概率反映该处的波强。波强波强振幅振幅A2粒子密度粒子密度概率概率 机械波是机械振动在空间传播，德波机械波是机械振动在空间传播，德波是对微观粒子运动的统计。是对微观粒子运动的统计。6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 三、德波的统计解释三、德波的统计解释电子轨道周长为波长电子轨道周长为波长的整数倍，轨道稳定。的整数倍，轨道稳定。,2nrn,mvhmvnhrn2nmvrL2nh3 ,2 ,1n6.6.德布罗意波实物粒子的波

8、粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 四、推导量子化条件四、推导量子化条件电子波动反映到原子电子波动反映到原子中，为驻波。中，为驻波。当受到扰动时，波很当受到扰动时，波很稳定，象金、银等金稳定，象金、银等金属化学性质很稳定。属化学性质很稳定。例：例：求静止电子经求静止电子经 15000V 电压加速后的电压加速后的德波波长。德波波长。解：解：静止电子经电压静止电子经电压U加速后的动能加速后的动能eUmv2216.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 四、推导量子化条件四、推导量子化条件eUmv221由由mvP代入代入meUP2由由Ph15000106

9、 .1101 .921063.6193134-meUh2m10111-电子的德波波长很短，用电子显微镜衍射电子的德波波长很短，用电子显微镜衍射效应小，可放大效应小，可放大200万倍。万倍。6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 四、推导量子化条件四、推导量子化条件6.6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / / 四、推导量子化条件四、推导量子化条件7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 经典力学中，物体位置、动量确定后，经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后的运动位置就可确定。但微观粒物体以后的运动位置就可确定。但微观粒子

10、，具有显著的波动性，不能同时确定坐子，具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波粒二象性包含更深标和动量。实物粒子波粒二象性包含更深层的物理含义。层的物理含义。7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 一、电子单缝衍射一、电子单缝衍射oxyxPxa入射电子在入射电子在 x 方向无方向无动量，不确定范围为动量，不确定范围为 a=x，电子通过单缝后，电子通过单缝后，坐标不能确定，具坐标不能确定，具有有 x方向动量方向动量 Px，使大部分电子落在两个一级暗纹之间，动使大部分电子落在两个一级暗纹之间，动量在量在 x 方向不确定度为方向不确定度为Px 。由由kasin暗纹暗纹7.7.海

11、森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 一、电子单缝衍射一、电子单缝衍射sina1k时时asinxxa为位置不确定范围，为位置不确定范围，或不确定度。或不确定度。oxyxaP，PPxsinPPxxsinPPx动量不确定度动量不确定度7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 一、电子单缝衍射一、电子单缝衍射PPxxPPxxhhhPxxoxyxPxaP 1927年海森伯提出：对于微观粒子不年海森伯提出：对于微观粒子不能能同时同时用确定的位置和确定的动量来描述。用确定的位置和确定的动量来描述。x动量的不确定度动量的不确定度xP位置的不确定度位置的不确定度7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关

12、系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系hPxx如果考虑衍射图样的次级条纹如果考虑衍射图样的次级条纹由于微观粒子的波动由于微观粒子的波动性，位置与动量不能性，位置与动量不能同时同时有精确值。有精确值。x越小（位置越精确），衍射现象越显越小（位置越精确），衍射现象越显著，著， Px 越大，动量不确定度越大。越大，动量不确定度越大。在同一时刻在同一时刻hPxxoxyxPxaP 不确定关系是物质不确定关系是物质的波粒二象性引起的。的波粒二象性引起的。7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系例：例：若电子与质量若电子与质量 m = 0.01

13、 Kg 的子弹，的子弹，都以都以 200 m/s 的速度沿的速度沿 x 方向运动，速方向运动，速率测量相对误差在率测量相对误差在 0.01% 内。求在测量内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度不确定度 x 。解：（解：（1）电子位置的不确定度）电子位置的不确定度电子动量不确定度电子动量不确定度01.0PPx%01.0vme%01.02001011.931-132smkg108 .1-7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系hPxxxPhxm107 .32-（2）子弹位置的不确定度）子弹位置的

14、不确定度01.0PPx%01.0mv%01.020001.014smkg100 .2-子弹动量不确定度子弹动量不确定度7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系hPxxxPhxm103 .330-原子直径原子直径 10-10m，电子电子m103-x是原子大小的几亿倍。电子用轨道描写是原子大小的几亿倍。电子用轨道描写毫无道理。毫无道理。m1030-x子弹子弹很小，仪器测不出，很小，仪器测不出，用经典坐标、动量完全能精确描写。对用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不能用经典力学来描写。微观粒子不能用经典力学来描写。7.7.海森伯不确定关系海森伯

15、不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系4htE 1974年，美籍华人丁肇中与另一组年，美籍华人丁肇中与另一组科学家，在美国布鲁克海文国家实验室科学家，在美国布鲁克海文国家实验室和斯坦福大学高能加速器上做实验，发和斯坦福大学高能加速器上做实验，发现新粒子。静质量很大，在很短时间内现新粒子。静质量很大，在很短时间内很快衰变为更小的粒子，用能量不确定很快衰变为更小的粒子，用能量不确定关系确定寿命，能量不确定度为关系确定寿命，能量不确定度为 0.063MeV。 J7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系Eht419434106 .

16、1103 .641063.6-s100 .120-丁肇中获丁肇中获1976年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。7.7.海森伯不确定关系海森伯不确定关系 / / 二、海森伯不确定关系二、海森伯不确定关系 实物粒子实物粒子 的的波粒二象性波粒二象性L.V.德布罗意德布罗意 电子波动性的电子波动性的理论研究理论研究19-6 德布罗意波德布罗意波实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性一、德布罗意一、德布罗意(Louis de Broglie)波波 在光的波粒二象性启发下，在光的波粒二象性启发下，青年物理学家德布罗意青年物理学家德布罗意于于1924年提出了年提出了物质波的假设物质波的假设。他认为：。他

17、认为：“任何运动任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离相互分离。” 他预言：他预言：运动的实物粒子的能量运动的实物粒子的能量 、动量、动量 、与、与它相关联的波的频率它相关联的波的频率 和波长和波长 之间满足如下关系：之间满足如下关系： EP hEk/hP )2( h独创性独创性)2( k（下一页）下一页） 静质量为静质量为 的的0m hE hP德布罗意关系式德布罗意关系式 与实物粒子相联系的波称为与实物粒子相联系的波称为德布罗意波德布罗意波或或物质波物质波， 称为称为德布罗意波长德布罗意波长。 非相对论粒子非相对论粒子相对

18、论粒子相对论粒子c 0mp 0mh速率速率动量动量 c可与可与 比较比较2201cmp - - 2201cmh - - （下一页）下一页）在速度较小的情况下：在速度较小的情况下：电子经加速电势差电子经加速电势差 U 加速后，其速度由下式决定：加速后，其速度由下式决定：代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为：代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为：eUm 2021Uemh02 将将等代入得到：等代入得到：hme,00AU2 .12 如如V100U 0A22.1nm122.0 （下一页）下一页）物质波的波函数物质波的波函数一个沿一个沿x轴正向运动，能量为轴正向运动，能量为E，动量为动量为P

19、的自由粒子对的自由粒子对应于沿应于沿x轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为：)2cos(),(xtAtx-利用尤拉公式：利用尤拉公式：ixexix- sincos其中：其中：1- - i为虚数单位。为虚数单位。可将波函数写成复数形式：可将波函数写成复数形式：)(iexp)expi()2exp-i(EtpxAtkxAxtA)t ,x(- - - - - - E,kph,k22（下一页）下一页）C.J.戴维孙戴维孙 通过实验发通过实验发现晶体对电现晶体对电子的衍射作子的衍射作用用GK狭缝狭缝电电流流计计镍镍集集电电器器U电子射线电子射线单单晶晶二、二、 电

20、子衍射实验（物质波的实验验证）电子衍射实验（物质波的实验验证） 1927年戴维孙年戴维孙（C.J.Davisson）和革末和革末（L.H.Germer）用加速后的电子投射到晶体上进行用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。电子衍射实验。（下一页）下一页）根据衍射理论，衍射最大值：根据衍射理论，衍射最大值：)3, 2, 1k(ksind2 Uemh02 电子的波长：电子的波长：所以衍射电子束强度达最大值时所以衍射电子束强度达最大值时 所满足的方程：所满足的方程： )3, 2, 1k(eUm2hksind20 （下一页）下一页）两者波长值很接近，说明德布罗意的假说是正确的。两者波长值很接近，说

21、明德布罗意的假说是正确的。U =54V晶格常数晶格常数9.110-11d=+m=o50戴维孙戴维孙革末实验中安排革末实验中安排:利用布拉格公式利用布拉格公式:)3, 2, 1k(ksind2 根据德布罗意假说根据德布罗意假说,由加速电势差算得的波长为由加速电势差算得的波长为:oA6711670.nm. 得到波长为得到波长为:oA6511650.nm. （下一页）下一页） 1927年海森伯（年海森伯（W.Heisenberg）分析了几个理想分析了几个理想实验后提出了测不准关系。实验后提出了测不准关系。衍射图样衍射图样xpypp 电子束电子束x缝缝a 2uW.W.海森堡海森堡 u创立量子力创立量子

22、力学，并导致学，并导致氢的同素异氢的同素异形的发现形的发现1932诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖X方向电子的位置不准确量为：方向电子的位置不准确量为： 在电子衍射花样中两个一级极小值之间都有电子在电子衍射花样中两个一级极小值之间都有电子分布。一级极小值位置和缝宽分布。一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：之间的关系为：a sinax sinppx X方向的分动量方向的分动量 的测不准量为：的测不准量为：xpxp 因为因为, 所以所以ph xxpxpx hphp xpypp 考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：经严格证明此式应改写为：经

23、严格证明此式应改写为：hxpxxpx2h这就是著名的海森伯测不准关系式。这就是著名的海森伯测不准关系式。xxpxpxhphpypyzpz同理：同理：关于测不准关系式的讨论关于测不准关系式的讨论 1. 测不准关系式说明用经典物理学量测不准关系式说明用经典物理学量动动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制制 , 因为微观粒子不可能同时具有确定的动量及位因为微观粒子不可能同时具有确定的动量及位置坐标。置坐标。 3. 对于微观粒子的能量对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留及它在能态上停留的平均时间的平均时间t之间也有下面的测不准关系：之间也有下面

24、的测不准关系： 2. 测不准关系式可以用来判别对于实物粒子测不准关系式可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。学来描写。 原子处于激发态的平均寿命一般为原子处于激发态的平均寿命一般为由此可以说明原子光谱为什由此可以说明原子光谱为什么有一定宽度，实验已经证么有一定宽度，实验已经证实这一点。实这一点。 tEst810- - JtE2610- - 于是激发态能级的宽度为：于是激发态能级的宽度为：hEEmnmn- - EEn EEm 时间与能量的不确定度关系时间与能量的不确定度关系htE 所以对宏观粒子坐标及动量可以同时确定。所以对宏观粒子坐标及动量可以同时确定。1. 宏观粒子的动量及坐标能否