2022年指数函数典型例题详细解析

1、优秀教案欢迎下载指数函数例题解析第一课时【例 1】 （基础题）求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x213321xx解(1)定义域为 x|x r 且 x2 值域 y|y 0 且 y1 (2)由 2x+2 10，得定义域 x|x 2，值域为 |y|y 0(3)由 33x-10，得定义域是 x|x 2 ， 0 33x13，值域是 0y31.指数函数y=ax （a0 且 a1）的定义域是r，值域是（ 0，+）2. 求定义域的几个原则：含根式（被开方数不为负）含分式，分母不为形如a0,(a 0) 3. 求函数的值域:利用函数y=ax 单调性函数的有界性(x20;ax0)换元法 .如

2、 :y=4x+6 2x-8(1x2) 先换元 ,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围 ) 【例 2】 （基础题）指数函数yax，ybx，y cx，ydx的图像如图 262 所示，则a、 b、c、d、1 之间的大小关系是 aab 1cd bab 1dc c ba1d c dcd 1ab 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 ba 1dc【例 3】 （基础题） 比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：2481632

3、35894512( )(3)4.54.1_3.73.6精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解(1)y221()x，函数， ，该函数在，上是增函数，又，222242821621338254912284162123135258389493859解 (2)0.6110.6 ， ，451245123232( )()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数 y14.5x，y23.7x的图像如图263，取 x 3.6，得 4.53.6

4、 3.73.6 4.54.13.73.6说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2 中的 (1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1 作桥梁，如例2 中的 (2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点， 即为 4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的 (3)例题 4（中档题）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载【例4】解比较大小与 且 ， 当

5、 ， ， ，aaaaan nnnnnnnnnn n11111111(a0a1n1)0a1n10()() ，当 时， ， ， ，aaan naaan nnnnnn nnnnn1111111111()()()1a1n101【例 5】 （中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(1)y(2)y22x ，()121x(3)y2|x-1|(4)y|13x| 解 (1)y(264)(0)(11)y1的图像如图 ，过点，及 ，是把函数的图像向左平移个单位得到的()()1212121xx解(2)y 2x2 的图像 (如图 265)是把函数y2x的图像向下平移2 个单位得到的精品学习资料 可选择p d f - -

6、 - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解(3)利用翻折变换，先作y 2|x|的图像，再把y2|x|的图像向右平移1 个单位，就得y2|x-1|的图像 (如图 266)解(4)作函数 y3x的图像关于x 轴的对称图像得y 3x的图像，再把y 3x的图像向上平移1 个单位，保留其在x 轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到(如图 2 67) 例 6（中档题）：用函数单调性定义证明：当a1 时，y = ax是增函数 . 精品学习资料 可选择p d f - - - -

7、- - - - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载【解析】设 x1，x2 r 且 x1x2，并令x2 = x1 + h (h0，hr)，很独特的方式则有)1(11112hxxhxxxaaaaaa，a1，h0，1, 01hxaa，012xxaa，即故 y = ax (a1)为 r 上的增函数，同理可证 0a1 时， y = ax21xxaa是 r 上的减函数 . 【例6】解求函数 的单调区间及值域令 ，则 是关于的减函数，而yux5x6yuux5xx25x622()()3434u 在 ，上是减函数，在， 上是增函数函数的单调增区间

8、是，单调减区间是， 6xxyx25x6()()()5252345252又，函数，在， 上是减函数，所以函数的值域是，ux5x6yuy2x25x6()()()(xu5214143414340108324例题 7 中档题）指数函数与二次函数的复合函数 (由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载变式 1 求函数 y=（21）xx22的单调区间，并证明之.解法一 （在解答题）：在 r 上任取 x1、x2，且 x1x2，则12yy

9、=12122222)21()21(xxxx= （21）（ x2x1）（x2+x12）【 （21） 为底数，红色部分为指数】，x1x2， x2x10. 当 x1、x2（ ， 1时， x1+x220.这时（ x2x1） （x2+x12） 0，则12yy1. y2y1，函数在（，1上单调递增. 当 x1、x2 1，+）时， x1+x2 20，这时（ x2 x1） （x2+x12） 0，即12yy1. （此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）y2y1，函数在 1，+上单调递减 . 综上，函数y在（ ，1上单调递增，在1， +）上单调递减 . 合作探究：在填空、选择

10、题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.解法二 、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设：xxu22则：uy21对任意的211xx，有21uu，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载又uy21是减函数21yyxxy2221在), 1是减函数对任意的121xx，有21uu又uy21是减函数21yyxxy2221在), 1是增函数在该问题中先确定内层函数（xxu22）和外层函数（uy21）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调

11、性. 变式 2 已知0a且1a，讨论232)(xxaxf的单调性 . 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数417)23(2322xxx，当x23时是减函数，x23时是增函数，而)(xf的单调性又与10a和1a两种范围有关，应分类讨论 . 【解析】设232uxx2317()24x，则当x23时，u是减函数，当x23时，u是增函数，又当1a时，uay是增函数，当10a时，uay是减函数，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载所以当1a时，原函数232)

12、(xxaxf在),23上是减函数，在23,(上是增函数 . 当10a时，原函数232)(xxaxf在),23上是增函数， 在23,(上是减函数 . 【小结】 一般情况下， 两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域. 第二课时例题 8： （疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元 ,再利用二次函数图象与性质(注意新元u 的范围 ) 【例7】解求函数 的单调区间及它的最大值，令 ， ， ，又 是 ， 上的减函数，函数y1(x0)yux00u1ux0)y()( )() ()()( )()()141212

13、121121234121212222xxxxxxxu3401212121212121412在 ，上为减函数，在，上是增函数但由得 ，由 ，得 ，函数 单调增区间是， ，单调减区间，u1)0 x110 x1y11)01( )( )( )( )xxxx当 x0 时，函数y 有最大值为1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（0，1/2】时，此时外层二次 f（u)为减函数，即 x 在【1，正无穷大）， ，则复合函数为增（画草图分

14、析法）点评： （1）指数函数的有界性（值域） ：x20; ax0 （2）上述证明过程中，在两次求x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。变式：求（3）1241xxy的值域. 解1421xxyrxy22(2 )2 21(21) ,xxx且1,02yx. 故1241xxy的值域为 1|yy. 【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性. 例题 9 （中档题）分式型指数函数【例8】 已知f(x)(a1)aaxx11精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

15、- - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间 (， )上是增函数解(1)定义域是 rf(x)f(x)，aaaaxxxx1111函数 f(x)为奇函数(2)yy1a1y1x函数 ， ，有 ，aayyyyxx1111110即 f(x)的值域为 (1，1)(3)设任意取两个值x1、x2(，)且 x1x2f(x1)f(x2) ， ， ，故在上为增函数aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x )f

16、(x )f(x)r1212变式1设 a 是实数，)(122)(rxaxfx试证明对于任意 a,)(xf为增函数；证明：设21, xxr,且21xx则12()()f xf x反函数法，用指数函数值域精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载1222()()2121xxaa1221122(22 )22212(21)(21)xxxxxx由于指数函数y=x2在 r 上是增函数 ,且21xx, 所以2122xx即2122xx0 得12x+10, 22x+10 所以)()(21xfx

17、f0 即)()(21xfxf因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(xf为增函数例题 10（中档题）抽象函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例题 10 变式 1（疑难题）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 31 页

18、- - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载第三课时复合函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f -

19、- - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载精品学习资料 可选择p d