总复习_计算方法

1、计算方法复习一、 期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。解答题共7个题，分数约占70。期末考试主要考核：l 基本概念；l 基本原理；l 基本运算。必须带简易计算器。总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%二、 考核知识点、复习要求第1章 误差(一) 考核知识点l 误差的来源类型；l 绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；l 绝对误差的传播。 (二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误 差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。第2章 方程求根 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，

2、和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。4. 收敛阶和收敛速度第3章 线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法，超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充

3、分条件。4. Cond(A)的概念和性质第4章 函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点l 插值函数，插值多项式；l 拉格朗日插值多项式;插值基函数；l 牛顿插值多项式；差商表;l 分段线性插值、线性插值基函数l 最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。6. 了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式

4、拟合的方法。第5章 数值积分与微分(一)考核知识点l 数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；l 插值型求积公式，牛顿科特茨求积公式，科特茨系数及其性质，l (复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式；l 高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯勒让德求积公式； (二) 复习要求1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。2. 了解牛顿¾科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯¾勒让德求积公式求定积分的近似值。4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。第6章

5、 常微分方程的数值解法(一)考核知识点欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；龙格库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1. 掌握欧拉法和改进的欧拉法(梯形公式、预报校正公式和平均形式 公式)，知道其局部截断误差。2. 知道龙格¾库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格¾库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格¾库塔法的局部截断误差。华中科技大学计算方法历年考题汇编附录1：20062007学年 第一学期 计算方法课程考试试卷(A卷) 附录2：20062007学年 第一学期 计算方法课程考试试卷(B卷)附录3：20052006学年计算方法试题附录4：20042005学

6、年计算方法试题(2004年11月26日)附录5：20032004学年计算方法课程考试试卷 三、重、难点分析例1 证明计算的牛顿切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解 (1) 因计算等于求正根，代入牛顿法迭代公式得 (2) 设，因 所以 选用上面导出的迭代公式计算得 例2 用迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用迭代法因，故在上将，同解变形为 则 取 应用迭代公式 ，计算得 例3 用列主元消元法的方程组 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 例4将矩阵A进行三角分解（

7、Doolittle分解,Crout分解,LDU分解） 其中说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。 解： 则矩阵的Doolittle分解为 因为对角阵，则所以矩阵的LDU分解为 矩阵的Crout分解为例5 用LU分解求解方程组 注意：消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组。解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为 （2）解方程组（3）解方程组 所以 例6 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。 解 ， 例7 证明 证明 因为 所以 例8 已知

8、矩阵，求矩阵A的三种常用范数。解 ，例9 已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解 （1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。（3）取， 由迭代公式计算得 ， ， ， ， 则 =（， ，）例10 用高斯塞德尔迭代法解方程组 （1）证明高斯塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯塞德尔法迭代公式（3）取，求出解 （1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯塞德尔迭代收敛。（2）对，从第个方程解出，得高斯塞德尔法迭代公式为（3） ， ， ， ， 则=（， ，）例11 已知用线性插值计算，并估计

9、误差。解 取插值节点x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为 故有 误差为 例12 已知函数数数值表 1 2 3 1 3 7用抛物插值法求近似值。解 作差商表：一阶差商二阶差商112323741 代入牛顿插值多项式得： 故 例13 已知的函数表 x012y8-7.5-18 求在0，2内的零点近似值。解 因为yi关于x严格单调减少，用反插值法求f(x) 零点的近似值比较简单，具体作法如下：先作反函数表 x8-7.5-18y012将节点x0=8,x1=-7.5，x2=-18及对应函数值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多项式（2.2），再令x=0,得 于是得f(x)在0，2内零点

10、值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在a,b上严格单调情况下，才能使用反插值方法，否则可能得出错误结果。例14 已知数表：1233.87.210利用最小二乘求线性关系式。解 设最小一次式为，由系数公式得： 于是有法方程组 解法方程组得 所以最小二乘一次式 例15 求下列矛盾方程组的最小二乘解。 解 令 由 得法方程组 解得 所以最小二乘解为 例16 已知插值基函数，证明 ：当时，证明：令 ， 则有 因为，所以。例17 在区间上，求以为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得 所以求积公式为例18 求积公式的代数精确度为（ ）。 解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。 令，

11、代入内插求积公式得l 左边=，右边， 所以 左边=右边l 再令，代入内插求积公式得 左边=，右边= 所以 左边右边所以此公式具有3次代数精度。例19 用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。解 （1） 梯形公式 因为 ，代入梯形公式得 则 （2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得 因为 ， ， 所以 例20 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于解 （1） 辛卜生公式 因为，代入辛卜生公式得 4（2） 复化辛卜生公式 因为解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得 例21 设为内插求积公式系数求证: 证明：设 ，因为 所以 。例22 用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值

12、问题，在（0.1）0.2近似解解 （1）用欧拉法计算公式，计算得 （2）用预估校正法计算公式计算得 ，3020062007学年 第一学期 计算方法课程考试试卷(A卷) (开卷)院(系)_专业班级_学号_ 姓名_考试日期: 2007年1月30日 考试时间: 下午 2:305:00题号一二三四五六七八九十总分得分得 分评卷人解答内容不得超过装订线一. 填空题 (每小题 4分，共 28份) 1已知矩阵 ，则 。2 若用正边形的面积作为其外接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是 。3三次方程的牛顿迭代格式是 。4若求解某线性方程组有迭代公式，其中，则该迭代公式收敛的充要条件是 。5设，则满足条件的二

13、次插值公式 。6已知求积公式至少具0次代数精度，则 。7改进的Euler方法应用于初值问题的数值解 。得 分评卷人二. (10分) 为数值求得方程的正根，可建立如下迭代格式,试利用迭代法的收敛理论证明该迭代序列收敛，且满足.得 分评卷人三. (20分) 给定线性方程组（1）试用Gauss消去法求解其方程组； (2) 给出求解其方程组的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并说明其二种迭代格式的收敛性。得 分评卷人解答内容不得超过装订线四. (12分) 已知y=sinx的函数表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166试造出差商表，利用二次Newt

14、on插值公式计算sin(1.609) （保留5位有效数字），并给出其误差估计。得 分评卷人五. (14分) 用Romberg算法计算积分（精确到）。得 分评卷人六. (16分) 给出线性-方法，（1） 计算其方法的截断误差；（2） 当=？时，其方法为2阶相容；（3） 当该方法应用于初值问题时（其中为实常数），其在处的数值解20062007学年 第一学期 计算方法课程考试试卷(B卷) (开卷)院(系)_专业班级_学号_ 姓名_考试日期: 2007年1月30日 考试时间: 下午 2:305:00题号一二三四五六七八九十总分得分得 分评卷人解答内容不得超过装订线七. 填空题 (每小题 4分，共 28

15、份) 1已知矩阵 ，则 。2 若用正边形的面积作为其内接圆面积的近似值，则该近似值的相对误差是 。3方程的牛顿迭代格式是 。4若求解某线性方程组有迭代公式，其中，则该迭代公式收敛的充要条件是 。5设，则满足条件的二次插值公式 。6已知求积公式至少具1次代数精度，则 。7隐式中点方法应用于初值问题的数值解 。得 分评卷人八. (10分) 证明：对任何初值，由迭代公式所生成的序列均收敛于方程的根。得 分评卷人九. (20分) 给定线性方程组（1）试用Gauss消去法求解其方程组； (2) 给出求解其方程组的Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式，并说明其二种迭代格式的收敛性。得

16、分评卷人解答内容不得超过装订线十. (12分) 已知，插值节点试构造Lagrange插值公式计算的近似值（保留4位有效数字），并给出其实际误差。得 分评卷人十一. (14分) 用Romberg算法计算积分（精确到）。得 分评卷人十二. (16分) 给出单支-方法，（4） 计算其方法的截断误差；（5） 当=？时，其方法为2阶相容；（6） 当该方法应用于初值问题时（其中为实常数），其在处的数值解20052006学年计算方法试题班级 _ 学号_ 姓名 _ 成绩_题号一二三四五六七八九十总分得分一. 填空题（每空3分，共18分）1. 已知矩阵，则 = 。2. 方程的Newton迭代格式为 。3. 已知

17、 ，且可分解为，其中为对角线上元素全等于1的下三角矩阵，则 。 4. 已知且，则其拉格朗日插值余项满足估计式 。5. 已知求积公式 ，则 。6. 解常微分方程初值问题的梯形公式 是 阶方法。二. (10分) 试导出计算的Newton迭代公式，并由此公式计算，要求精确到。三. (12分) 给定线性方程组 分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。 四. (15分) 利用余弦函数在处的值导出其二次Lagrange插值多项式, 并以此近似计算，且给出该近似值的相对误差。五. (15分) 某学生在大学一、二年级各个学期的平均成绩如下：学期 1234平均成绩 63.

18、270.576.678.4试求出一条最佳的直线以反映其平均成绩的上升趋势，并估计出他在大学三、四年级各个学期的平均成绩。六. (15分) 用Romberg算法计算(步长从1逐步减半到)。七. (15分) 试导出求解初值问题的2步3阶公式 ,并给出其绝对稳定域。 20042005学年计算方法试题(2004年11月26日)班级_ 学号_ 姓名 _ 成绩_题号一二三四五六七八九十总分得分一. (20分)1. 用简单迭代法求方程 在附近的具有4位有效数字的近似根,并证明收敛性。2. 试导出计算的Newton迭代公式，使公式中既无开方，又无除法运算。二.(10) 1. 给定线性方程组 分别写出Jacobi和Gauss-Seidal迭代格式；并考察迭代格式的收敛性。 三.(15) 设有线性代数方程组，其中 ，。1. 用列选主元Gauss消去法求解此方程组。2. 用LU分解法求解此方程组。四.(15) 1. 用二次Lagrange插值公式利用100,121,144的开方求；2. 已知函数表 ,求其插值多项式，并写出误差估计式。五.(10分) 已知实验数据 试用最小二乘法求出拟合直线。六(15分). 1.确定下列公式中的待定系数，使其代数精度尽可能的高，并指出所构造公式具有几次代数精度。2. 用Romberg算法求(步长从1取到)。七.(15分) 1. 用改进Euler法求解初值问题，取，