专题20：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之手拉手模型-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题20：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之手拉手模型一、单选题1如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（ ）对.a1b2c3d42如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ）abcd3如图，和都是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）a以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合b以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合c沿所在直线折叠后，与重合d沿所在直线折叠后，与重合二、填空题4在锐角三角形abc中，ah是边bc的高，分别以ab，ac为边向外作正方形abde和正方形acfg，连

2、接ce，bg和eg，eg与ha的延长线交于点m，下列结论：bg=ce；bgce；am是aeg的中线；eam=abc其中正确的是_5如图所示，等边的顶点在轴的负半轴上，点的坐标为，则点坐标为_；点是位于轴上点左边的一个动点，以为边在第三象限内作等边,若点.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点在点左边轴负半轴任何位置，之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是_6如图，c在线段ab上，在ab的同侧作等边三角形acm和bcn，连接an，bm，若mbn38°，则anb_三、解答题7如图，c为线段ae上一动点（不与点a，e重合），在a

3、e同侧分别作正三角形abc和正三角形cde（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），ad与be交于点o，ad与bc交于点p，be与cd交于点q，连结pq试说明：（1）ad=be； （2）填空aoe= °；（3）cp=cq；8如图，在abc和ade中，bac=dae=90°，点p为射线bd，ce的交点（1）问题提出：如图1，若ad=ae，ab=acbd与ce的数量关系为 ；bpc的度数为 （2）猜想论证：如图2，若ade=abc=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由如果不正确请写出正确结论（3）拓展延伸：在（1）的条件中，

4、若ab=3，ad=1，若把ade绕点a旋转，当eac=90°时，直接写出pb的长 9在abc中,ab=ac,点d是直线bc上一点(不与b c重合)，以ad为一边在ad的右侧作ade，使ad=ae，dae=bac，连接ce(1)如图1,当点d在线段bc上,如果bac=90，则bce= 度；(2)如图2，说明：abdace说明：ce+dc=bc设bac=，bce=当点d在直线bc上移动，则，之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论10如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，连结，与交于点，与交于点（1）求证：；（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面

5、积11探究等边三角形“手拉手”问题（1）如图1，已如abc，ade均为等边三角形，点d在线段bc上，且不与点b、点c重合，连接ce，试判断ce与ba的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知abc、ade均为等边三角形，连接ce、bd，若dec60°，试说明点b，点d，点e在同一直线上；（3）如图3，已知点e在abc外，并且与点b位于线段ac的异侧，连接be、ce若bec60°，猜测线段be、ae、ce三者之间的数量关系，并说明理由12给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的

6、名称；（2）如图，将abc绕顶点b按顺时针方向旋转60°得到dbe，连接ad，dc，ce，已知dcb=30°求证：bce是等边三角形；求证：dc2+bc2=ac2，即四边形abcd是勾股四边形参考答案1c【解析】本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判定方法（sss、sas、asa、aas），进行证明解：ebcacd，gcefcd，bcgacf理由如下：bc=ac，ec=cd，acb=ecd，ace是共同角ebcacdcd=ec，fcd=ecg，gec=cdfgcefcdb

7、c=ac，gbc=fac，fca=gcbbcgacf故选c2a【解析】【分析】把绕点c逆时针旋转90°得，此时e，b，f'三点共线，证明 得，设df=x，在rt中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在rt 中，由勾股定理得结果【详解】解： 正方形, 把绕点c逆时针旋转90°得， 此时e，b，三点共线，则，连接ef ， ，ecf=45°， ce=ce， （sas）， 在rt中， ae=ab-be=2 设df=x，则af=4-x ， 在rt中， 解得： 在rt中， 解得： 故选：a【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三

8、角形，利用方程思想是解答此题的关键3b【解析】【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断【详解】解：a根据题意可知ae=ab，ac=ad，eac=bad=135°，eacbad，旋转角eab=90°，正确；b因为平行四边形是中心对称图形，要想使acb和dac重合，acb应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与dac重合，错误；c根据题意可eac=135°，ead=360°eaccad=135°，ae=ae，ac=ad，eacead，正确；d根据题意可知bad=135°，ead=360

9、6;badbae=135°，ae=ab，ad=ad，eadbad，正确故选b【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点4【解析】【分析】根据正方形的性质和sas可证明abgaec，然后根据全等三角形的性质即可判断；设bg、ce相交于点n，ac、bg相交于点k，如图1，根据全等三角形对应角相等可得aceagb，然后根据三角形的内角和定理可得cngcag90°，于是可判断；过点e作epha的延长线于p，过点g作gqam于q，如图2，根据余角的性质即可判断；利用aas即可证明abheap，可得epah，同理可证gqah，从而得到ep

10、gq，再利用aas可证明epmgqm，可得emgm，从而可判断，于是可得答案【详解】解：在正方形abde和acfg中，abae，acag，baecag90°，bae+baccag+bac，即caebag，abgaec（sas），bgce，故正确；设bg、ce相交于点n，ac、bg相交于点k，如图1，abgaec，aceagb，akgnkc，cngcag90°，bgce，故正确；过点e作epha的延长线于p，过点g作gqam于q，如图2，ahbc，abh+bah90°，bae90°，eap+bah90°，abheap，即eamabc，故正确；ah

11、b=p=90°，ab=ae，abheap（aas），epah，同理可得gqah，epgq，在epm和gqm中，epmgqm（aas），emgm，am是aeg的中线，故正确综上所述，结论都正确故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键5 【解析】【分析】过点a作x轴的垂线，垂足为e，根据等边三角形的性质得到oe和ae，再根据三线合一得到ob即可；再连接bd，过点d作x轴的垂线，垂足为f，证明oacbad，得到cad=cbd=60°，利用30°所对的直角边

12、是斜边的一半以及点d的坐标得到bf和df的关系，从而可得关于m和n的关系式.【详解】解：如图，过点a作x轴的垂线，垂足为e，abo为等边三角形，a，oe=1，ae=，be=1，ob=2，即b（-2，0）；连接bd，过点d作x轴的垂线，垂足为f，oab=cad，oac=bad，oa=ab，ac=ad， oacbad（sas），oca=adb，agd=bgc，cad=cbd=60°，在bfd中，bdf=30°，d（m，n），df=-m，df=-n，b（-2，0），bf=-m-2，df=bf，-n=（-m-2），整理得：.故答案为：，.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30&

13、#176;的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，有一定难度.682°【解析】【分析】根据等边三角形的边相等，角相等，易证acn和mcb全等，则anc和mba相等，mba60°mbn60°38°22°，然后可求出anb【详解】解：acm和bcn是等边三角形，acmc，cbcn，acm+mcnbcn+mcn，即acnmcb在acn和mcb中，acnmcb（sas）ancmbamba60°mbn60°38°22°，anc22°anb22°

14、+60°82°故答案为：82°【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题是典型的“手拉手”模型，应熟练掌握其中全等三角形的证明.7（1）见解析；（2）120；（3）见解析【解析】【分析】（1）由于abc和cde是等边三角形，可知ac=bc，cd=ce，acb=dce=60°，从而证出acdbce，可推知ad=be；（2）由（1）推出cad=cbe，利用三角形内角和定理可求得bop=acp=60°，从而求得aoe的度数；（3）由acdbce得cbe=dac，加之acb=dce=60°，ac=bc，得到cqbcpa（asa），从而证明c

15、p=cq【详解】（1）abc和cde为等边三角形，ac=bc，cd=ce，bca=dce=60°，acd=bce，在acd与bce中，acdbce(sas)，ad=be；（2）acdbce，cad=cbe，apc=bpo，bop=acp=60°，aoe=18060°=120°，故答案为：120；（3）acdbce，cad=cbe，acb=dce=60°，bcq=60°，在cqb和cpa中，cqbcpa（asa），cp=cq【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问

16、题8（1）相等，90°；（2）结论不成立，结论成立；（3）或【解析】【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到，依据同角的余角相等得到，然后依据“”可证明，最后，依据全等三角形的性质可得到；由三角形内角和定理可求的度数；（2）先判断出，即可得出结论；（3）分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，故答案为：相等；故答案为： （2）（1）中结论不成立，；结论成立，理由：在中，在中，；（3）解：如图，当点在上时，同（1）可证又，如图，当点在延长线上时，同（1）可证，综上所述，的长为或【点睛】本题是三角形综

17、合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键9（1）90°；（2）详见解析； 详见解析；（3）相等或互补【解析】【分析】（1）要求bce的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出abdace，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出abdace即可；问要求bce的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出abdace，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质

18、可得出结论；问在第问的基础上，进行分析解答即可【详解】解：（1）90°理由：bac=dae，bac-dac=dae-dac即bad=cae在abd与ace中，abdace（sas），b=aceb+acb=ace+acb，bce=b+acb，又bac=90°bce=90°；故答案为：90（2）bac=dae，bac-dac=dae-dac即bad=cae在abd与ace中， ，abdace（sas）；bac=dae，bac-dac=dae-dac即bad=cae在abd与ace中， ，abdace（sas），b=aceb+acb=ace+acb，bce=b+acb，

19、又bac=90°bce=90°，+=180°；相等或互补,理由：（1）当点d在射线bc的反向延长线上时，=dae=bac，dab=eac，在adb和aec中， ，adbaec（sas），abd=ace，abd=bac+acb，ace=bce+acb，bce=b+acb，又bac=90°bce=90°，+=180°（2）当点d在线段bc和bc延长线上时，是+=180°，在bc的反向延长线上时，是=，综上所述，+=180°或=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用

20、，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键10（1）详见解析；（2）18【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出bc=bd，ab=bf，cbd=abf=90°，求出abd=cbf，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出bad=bfc，ad=fc=6，求出adcf，根据三角形的面积求出即可【详解】解：（1）四边形、是正方形，即在和中，；图1 图2（2），【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出abdfbc是解此题的关键11（1）ceab，理由见解析；（2）见解析；（3）beae+ec理由见解析【解析】【分析】（1）结论：ceab证明badcae（sas）可得结论（2）利用全等三角形的性质证明adbaec120°，证明adb+ade180°即可解决问题（3）结论：beae+ec在线段be上取一点h，使得bhce，设ac交be于点o利用全等三角形的性质证明aeh是等边三角形即可【详解】（1）解：结论：ceab理由：如图1中，abc，ade都是等边三角形，abac，adae，bacdaeb60°，badcae，badcae（sas），bace60°，bacace60°，abce（2）证明：如图2中，由（1）可知，abdace，adbae