备考2022数学专题14 角平分线问题（解析版）

1、专题14 角平分线问题1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为oc是aob的平分线，所以1=2=aob，或aob=21=22.类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）以点o为圆心，任意长为半径画弧，交oa、ob于c、d两点；分别以c、d为圆心，大于cd长为半径画弧，两弧交于点p；过点p作射线op，射线op即为所求  3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言：op平分aob，apoa，bpob，ap=bp.（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角

2、的平分线上。符号语言： apoa，bpob，ap=bp，点p在aob的平分线上.注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，ad是abc的角平分线，或badcad且点d在bc上.说明：ad是abc的角平分线baddacbac (或bac2bad2dac) .（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用（1）为推导线段相

3、等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用【例题1】（2020襄阳）如图，abcd，直线ef分别交ab，cd于点e，f，eg平分bef，若efg64°，则egd的大小是（）a132°b128°c122°d112°【答案】c【分析】根据平行线的性质得到bef180°efg116°，根据角平分线的定义得到beg=12bef58°，由平行线的性质即可得到结论【解析】abcd，efg64°，bef180°efg116°，eg平分bef交cd于点g，beg=12bef58°

4、，abcd，egd180°beg122°【对点练习】（2020长春模拟 ）如图，在abc中，cd平分acb交ab于点d，过点d作debc交ac于点e若a=54°，b=48°，则cde的大小为（）a44° b40° c39° d38°【答案】c【解析】根据三角形内角和得出acb，利用角平分线得出dcb，再用平行线的性质解答即可a=54°，b=48°，acb=180°54°48°=78°，cd平分acb交ab于点d，dcb=78°=39°，

5、debc，cde=dcb=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。【例题2】（2020随州）如图，点a，b，c在o上，ad是bac的角平分线，若boc120°，则cad的度数为 【答案】30°【解析】先根据圆周角定理得到bac=12boc60°，然后利用角平分线的定义确定cad的度数bac=12boc=12×120°60°，而ad是bac的角平分线，cad=12bac30°【对点练习】（2019四川自贡）如图，在rtabc中，acb90°，ab10，bc6，cdab，abc的平

6、分线bd交ac于点e，de 【答案】【解析】由cdab，dabe，dcbe，所以cdbc6，再证明aebced，根据相似比求出de的长acb90°，ab10，bc6，ac8，bd平分abc，abecde，cdab，dabe，dcbe，cdbc6，aebced，ceac×83，be，debe×【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。【例题3】（2020金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为ac，bd（点a与点b重合），点o是夹子转轴位置，oeac于点e，ofbd于点f，oeof1cm，acbd6cm，cedf，ce：ae2

7、：3按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点o转动（1）当e，f两点的距离最大时，以点a，b，c，d为顶点的四边形的周长是 cm（2）当夹子的开口最大（即点c与点d重合）时，a，b两点的距离为 cm【答案】（1）16 （2）6013【分析】（1）当e，f两点的距离最大时，e，o，f共线，此时四边形abcd是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题（2）如图3中，连接ef交oc于h想办法求出ef，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题解：（1）当e，f两点的距离最大时，e，o，f共线，此时四边形abcd是矩形，oeof1cm，ef2cm，abcd2cm，此时四边形abcd的周长为2+2+6+616（cm）

8、，故答案为16（2）如图3中，连接ef交oc于h由题意cecf=25×6=125（cm），oeof1cm，co垂直平分线段ef，oc=ce2+oe2=(125)2+12=135（cm），12oeec=12coeh，eh=1×125135=1213（cm），ef2eh=2413（cm）efab，efab=cecb=25，ab=52×2413=6013（cm）故答案为6013【对点练习】已知：点p是mon内一点，paom于a，pbon于b，且papb求证：点p在mon的平分线上 【答案】见解析。【解析】证明：连结op在rtpao和rtpbo中， pa=pb op=op

9、 rtpaortpbo（hl）12op平分mon即点p在mon的平分线上【点拨】全等三角形性质、角平分线定义。一、选择题1（2020乐山）如图，e是直线ca上一点，fea40°，射线eb平分cef，geef则geb（）a10°b20°c30°d40°【答案】b【分析】根据平角的定义得到cef180°fea180°40°140°，由角平分线的定义可得ceb=12cef=12×140°=70°，由geef可得gef90°，可得ceg180°aefgef180&

10、#176;40°90°50°，由gebcebceg可得结果【解析】fea40°，geef，cef180°fea180°40°140°，ceg180°aefgef180°40°90°50°，射线eb平分cef，ceb=12cef=12×140°=70°，gebcebceg70°50°20°2（2020福建）如图，ad是等腰三角形abc的顶角平分线，bd5，则cd等于（）a10b5c4d3【答案】b【解析】根据

11、等腰三角形三线合一的性质即可求解ad是等腰三角形abc的顶角平分线，bd5，cd53.如图，在abc中，c=90°，ad平分bac，过点d作deab于点e，测得bc=9，be=3，则bde的周长是( )a.15 b.12 c.9 d.6【答案】b 【解析】在abc中，c=90°，accdad平分bac，deab，de=cdbc=9，be=3，bde的周长为be+bd+de=be+bd+cd=be+bc=3+9=124如图，面积为24的abcd中，对角线bd平分abc，过点d作debd交bc的延长线于点e，de6，则sindce的值为（）abcd【答案】a【解析】连接ac，过

12、点d作dfbe于点e，bd平分abc，abddbc，abcd中，adbc，adbdbc，adbabd，abbc，四边形abcd是菱形，acbd，obod，debd，oced，de6，oc，abcd的面积为24，bd8，5，设cfx，则bf5+x，由bd2bf2dc2cf2可得：82（5+x）252x2，解得x，df，sindce故选：a5.已知：如图，点p在线段ab外，且pa=pb，求证：点p在线段ab的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）a作apb的平分线pc交ab于点cb过点p作pcab于点c且ac=bcc取ab中点c，连接pcd过点p作pcab，垂足为c【答案

13、】b【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论a利用sas判断出pcapcb，ca=cb，pca=pcb=90°，点p在线段ab的垂直平分线上，符合题意；c利用sss判断出pcapcb，ca=cb，pca=pcb=90°，点p在线段ab的垂直平分线上，符合题意；d利用hl判断出pcapcb，ca=cb，点p在线段ab的垂直平分线上，符合题意，b过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。6如图，abc中，ad是bc边上的高，ae、bf分别是bac、abc的平分线，bac=50°，abc=60°，则ead+acd=（）a75&#

14、176;b80°c85°d90°【答案】a【解析】依据ad是bc边上的高，abc=60°，即可得到bad=30°，依据bac=50°，ae平分bac，即可得到dae=5°，再根据abc中，c=180°abcbac=70°，可得ead+acd=75°ad是bc边上的高，abc=60°，bad=30°，bac=50°，ae平分bac，bae=25°，dae=30°25°=5°，abc中，c=180°abcbac=70&#

15、176;，ead+acd=5°+70°=75°7（2019山东滨州）如图，在正方形abcd中，对角线相交于点o，bn平分cbd，交边cd于点n，交对角线ac于点m，若om1，则线段dn的长是多少（）a1.5b2cd2【答案】b【解析】作nebd于e，如图所示：四边形abcd是正方形，acbd，adcbcd90°，odc45°，obod，bcdc，den是等腰直角三角形，dene，dnne，bn平分cbd，nenc，nencde，设nencdex，则dnx，dcx+x，bddc2x+x，bebddex+x，obbdx+x，nebd，neac，bo

16、mben，即，解得：x，dnx28.（2019陕西）如图，在abc中，b=30°，c=45°，ad平分bac交bc于点d，deab，垂足为e。若de=1，则bc的长为（ ） a.2+ b. c.2+ d.3 【答案】a 【解析】过点d作dfac于f如图所示，ad为bac的平分线，且deab于e，dfac于f，de=df=1，在rtbed中，b=30°，bd=2de=2，在rtcdf中，c=45°，cdf为等腰直角三角形，cd=df=，bc=bd+cd=，故选a9（2019内蒙古）如图，在rtabc中，b90°，以点a为圆心，适当长为半径画弧，分

17、别交ab、ac于点d，e，再分别以点d、e为圆心，大于de为半径画弧，两弧交于点f，作射线af交边bc于点g，若bg1，ac4，则acg的面积是（）a1bc2d【答案】c【解析】利用基本作图得到ag平分bac，利用角平分线的性质得到g点到ac的距离为1，然后根据三角形面积公式计算acg的面积由作法得ag平分bac，g点到ac的距离等于bg的长，即g点到ac的距离为1，所以acg的面积×4×12二、填空题10（2020扬州）如图，在abc中，按以下步骤作图：以点b为圆心，任意长为半径作弧，分别交ab、bc于点d、e分别以点d、e为圆心，大于12de的同样长为半径作弧，两弧交于

18、点f作射线bf交ac于点g如果ab8，bc12，abg的面积为18，则cbg的面积为 【答案】27【分析】过点g作gmab于点m，gnac于点n，根据作图过程可得ag是abc的平分线，根据角平分线的性质可得gmgn，再根据abg的面积为18，求出gm的长，进而可得cbg的面积【解析】如图，过点g作gmab于点m，gnac于点n，根据作图过程可知：bg是abc的平分线，gmgn，abg的面积为18，12×ab×gm18，4gm18，gm=92，cbg的面积为：12×bc×gn=12×12×92=2711如图，abc中，c=90°

19、;，abc=60°，bd平分abc，若ad=8cm，则cd= 【答案】4cm【解析】c=90°，abc=60°，a=30°，bd平分cbd，cbd=abd=30°，cd=bd，a=abd，ad=bd=8cm，cd=4cm12.如图，oc为aob的平分线，cmob，oc=5，om=4，则点c到射线oa的距离为 【答案】3【解析】过c作cfao，根据勾股定理可得cm的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得cf=cm，进而可得答案过c作cfao，oc为aob的平分线，cmob，cm=cf，oc=5，om=4，cm=3，cf=3，13如图，

20、在abc中，af平分bac，ac的垂直平分线交bc于点e，b=70°，fae=19°，则c= 度【答案】24【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到ea=ec，得到eac=c，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可de是ac的垂直平分线，ea=ec，eac=c，fac=eac+19°，af平分bac，fab=eac+19°，b+bac+c=180°，70°+2（c+19°）+c=180°，解得，c=24°，14（2019内蒙古通辽）如图，在矩形abcd中，ad8，对角线ac与bd相交于点o，aebd，

21、垂足为点e，且ae平分bac，则ab的长为 【答案】【解答】四边形abcd是矩形aocobodo，ae平分baobaeeao，且aeae，aebaeo，abeaoe（asa）aoab，且aoobaoabbodo，bd2ab，ad2+ab2bd2，64+ab24ab2，ab15（2019宁夏）如图，在rtabc中，c90°，以顶点b为圆心，适当长度为半径画弧，分别交ab，bc于点m，n，再分别以点m，n为圆心，大于mn的长为半径画弧，两弧交于点p，作射线bp交ac于点d若a30°，则 【答案】【解析】由作法得bd平分abc，c90°，a30°，abc60&

22、#176;，abdcbd30°，dadb，在rtbcd中，bd2cd，ad2cd，=三、解答题16（2020泸州）如图，ac平分bad，abad求证：bcdc【答案】见解析。【解析】由“sas”可证abcadc，可得bcdc证明：ac平分bad，bacdac，又abad，acac，abcadc（sas），bccd17（2020武汉）如图，在rtabc中，abc90°，以ab为直径的o交ac于点d，ae与过点d的切线互相垂直，垂足为e（1）求证：ad平分bae；（2）若cdde，求sinbac的值【答案】见解析。【分析】（1）连接od，如图，根据切线的性质得到odde，则可判

23、断odae，从而得到1oda，然后利用2oda得到12；（2）连接bd，如图，利用圆周角定理得到adb90°，再证明23，利用三角函数的定义得到sin1=dead，sin3=dcbc，则adbc，设cdx，bcady，证明cdbcba，利用相似比得到x：yy：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sinbac的值【解析】（1）证明：连接od，如图，de为切线，odde，deae，odae，1oda，oaod，2oda，12，ad平分bae；（2）解：连接bd，如图，ab为直径，adb90°，2+abd90°，3+abd90°，23，sin1=dead，s

24、in3=dcbc，而dedc，adbc，设cdx，bcady，dcbbca，32，cdbcba，cd：cbcb：ca，即x：yy：（x+y），整理得x2+xy+y20，解得x=-1+52y或x=-1-52y（舍去），sin3=dcbc=5-12，即sinbac的值为5-1218.已知：oc平分mon，p是oc上任意一点，paom，pbon，垂足分别为点a、点b求证：papb【答案】见解析。【解析】证明：paom，pbonpaopbo90°oc平分mon12在pao和pbo中，paopbopapb19.已知：如图，在rtabc中，c90°，d是ac上一点，deab于e，且de

25、dc（1）求证：bd平分abc；（2）若a36°，求dbc的度数【答案】见解析。【解析】（1）证明：dcbc，deab，dedc，点d在abc的平分线上，bd平分abc（2）c90°，a36°，abc54°，bd平分abc，dbcabc27°20.已知：如图，锐角abc的两条高bd、ce相交于点o，且ob=oc. (1)求证：abc是等腰三角形； (2)判断点o是否在bac的角平分线上，并说明理由.【答案】见解析。【解析】（1）证明：ob=oc，obc=ocb.bd、ce是两条高，bdc=ceb=90°.又bc=cb，bdcceb(a

26、as).dcb=ebc.ab=ac，即abc是等腰三角形. (2)点o是在bac的角平分线上.理由：连接ao.bdcceb，dc=eb,ce=bd.ob=oc，od=oe.又bdc=ceb=90°，ao=ao，adoaeo(hl).dao=eao.点o是在bac的角平分线上.21.如图，12，aeob于e，bdoa于d，ae与bd相交于点c求证：acbc 【答案】见解析。【解析】证明：12，bdoa，aeob，cdce，dcaecb，adcbec90°，acdbce，acbc22.如图，已知点d为等腰直角abc内一点，cad=cbd=15°，e为ad延长线上的一点

27、，且ce=ca. (1)求证：de平分bdc； (2)若点m在de上，且dc=dm，求证：me=bd.【答案】见解析。【解析】(1)证明：在等腰直角abc中，cad=cbd=15°，bad=abd=45°-15°=30°，bd=ad，bdcadc，dca=dcb=45°.由bde=abd+bad=30°+30°=60°，edc=dac+dca=15°+45°=60°，bde=edc，de平分bdc.(2)证明：连接mc，dc=dm，且mdc=60°，mdc是等边三角形，即cm

28、=cd.又emc=180°-dmc=180°-60°=120°，adc=180°-mdc=180°-60°=120°，emc=adc.又ce=ca，dac=cem=15°，adcemc，em=ad=db.23. 如图所示，在abc中，c90°，acbc，da平分cab交bc于d，问能否在ab上确定一点e，使bde的周长等于ab的长？若能，请作出点e，并给出证明；若不能，请说明理由【答案】见解析。【解析】由于点d在cab的平分线上，若过点d作deab于e，则dedc于是有bddebddcbcac，只要知道ac与ae的关系即可得出结论能在ab上确定一点e，使bde的周长等于ab的长。过点d作deab于e，则bde的周长等于ab的长理由如下：ad平分cab，dcac，deab，dcde在rtacd和rtaed中，rtacdrtaed（hl）acae又acbc，aebcbde的周长bddebebddcbebcbeaebeab24.如图，oc是aob的平分线，p是oc上一点，pdo