备考2022数学专题15动点综合问题（解析版）

1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题15 动点综合问题【典例分析】【考点1】动点之全等三角形问题【例1】如图，直线与轴和轴分别交于两点，另一条直线过点和点. (1)求直线的函数表达式; (2)求证: ; (3)若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，求点的坐标.【答案】(1) ;(2) ; (3) 点的坐标为或或或【解析】（1）在y=-x+4中，令y=0，则0=-x+4，求得a（3，0），设直线ac对应的函数关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）在直线aby=-x+4中，得到k1=-，在直线acyx中，得到k2=，由于k1k2=-1，即可得到结论；

2、（3）根据勾股定理得到ab=5，当aqp=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到aq=ob=4，于是得到q1（7，0），q2（-1，0），当apq=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到aq=ab=5，于是得到q3（8，0），q4（-2，0），当paq=90°时，这种情况不存在【详解】（1）在y=-x+4中，令y=0，则0=-x+4，x=3，a（3，0），设直线ac对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得： ，直线ac对应的函数关系式为yx-.(2) 在直线aby=-x+4中，k1=-，在直线acyx中，k2=，k1k2=-1，abac；（3）在y=-x+

3、4中，令x=0，则y=4，oa=3，ob=4，由勾股定理得ab=5，当aqp=90°时，如图1，aobaqp，aq=ob=4，q1（7，0），q2（-1，0），当apq=90°时，如图2，aobaqp，aq=ab=5，q3（8，0），q4（-2，0）当paq=90°时，这种情况不存在，综上所述：点q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏【变式1-1】）如图,cabc,垂足为c,ac=2cm,bc=6cm,射线bmbq,垂足为b

4、,动点p从c点出发以1cm/s的速度沿射线cq运动,点n为射线bm上一动点,满足pn=ab,随着p点运动而运动,当点p运动_秒时，bca与点p、n、b为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】此题要分两种情况：当p在线段bc上时，当p在bq上，再分别分两种情况acbp或acbn进行计算即可【详解】解：当p在线段bc上，acbp时，acbpbn，ac2，bp2，cp624，点p的运动时间为4÷14（秒）；当p在线段bc上，acbn时，acbnbp，这时bcpn6，cp0，因此时间为0秒；当p在bq上，acbp时，acbpbn，ac2，bp2，cp268

5、，点p的运动时间为8÷18（秒）；当p在bq上，acnb时，acbnbp，bc6，bp6，cp6612，点p的运动时间为12÷112（秒），故答案为：0或4或8或12【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【考点2】动点之直角三角形问题【例2】（模型建立）（1）如图1，等腰直角三角形中，直线经过点，过作于点，过作于点.求证：；（模型应用）（2）已知直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；（3）如图3，长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，点是线段

6、上的动点，点是直线上的动点且在第四象限.若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）y7x21；（3）d（4，2）或（，）.【解析】（1）根据abc为等腰直角三角形，aded，beed，可判定；（2）过点b作bcab，交l2于c，过c作cdy轴于d，根据cbdbao，得出bdao3，cdob4，求得c（4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；（3）根据apd是以点d为直角顶点的等腰直角三角形，当点d是直线y2x6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点d在矩形aocb的内部时，当点d在矩形aocb的外部时，设d（x，2x6），分别根据aded

7、pf，得出aedf，据此列出方程进行求解即可【详解】解：（1）证明：abc为等腰直角三角形，cbca，acdbce90°，又aded，beed，de90°，ebcbce90°，acdebc，在acd与cbe中，（aas）；（2）如图2，过点b作bcab，交l2于c，过c作cdy轴于d，bac45°，abc为等腰直角三角形，由（1）可知：cbdbao，bdao，cdob，直线l1：yx4中，若y0，则x3；若x0，则y4，a（3，0），b（0，4），bdao3，cdob4，od437，c（4，7），设l2的解析式为ykxb，则，解得：，l2的解析式为：y7

8、x21；（3）d（4，2）或（，）理由：当点d是直线y2x6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点d在矩形aocb的内部时，如图，过d作x轴的平行线ef，交直线oa于e，交bc于f，设d（x，2x6），则oe2x6，ae6（2x6）122x，dfefde8x，由（1）可得，adedpf，则dfae，即：122x8x，解得x4，2x62，d（4，2），此时，pfed4，cp6cb，符合题意；当点d在矩形aocb的外部时，如图，过d作x轴的平行线ef，交直线oa于e，交直线bc于f，设d（x，2x6），则oe2x6，aeoeoa2x662x12，dfefde8x，同理可得：adedpf，则aed

9、f，即：2x128x，解得x，2x6，d（，），此时，edpf，aebf，bppfbf6，符合题意，综上所述，d点坐标为：（4，2）或（，）【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于点a(4，0)和点d(1，0)，与y轴交于点c，过点c作bc平行于x轴交抛物线于点b，连接ac(1)求这个二次函数的表达式；(2)点

10、m从点o出发以每秒2个单位长度的速度向点a运动；点n从点b同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点c运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点n作nq垂直于bc交ac于点q，连结mq.求aqm的面积s与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，s有最大值，并求出s的最大值；是否存在点m，使得aqm为直角三角形？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)yx2+3x+4；(2)s=-t2+t+2；0t2；t时，s最大值；存在，点m的坐标分别为(1，0)和(2，0)【解析】(1)由待定系数法将ad两点代入即可求解(2)分别用t表示出am、pq，由三角

11、形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得m坐标【详解】(1)二次函数的图象经过a(4，0)和点d(1，0)，解得，所以，二次函数的解析式为yx2+3x+4(2)延长nq交x轴于点p，bc平行于x轴，c(0，4)b(3，4)，npoa根据题意，经过t秒时，nbt，om2t，则cn3t，am42tbcamaq45°，qncn3t，pqnpnq4(1t)1+t，samq=am×pq=(4-2t)(1+t)t2+t+2s=-t2+t+2=-(t-)2+a10，且0t2，s有最大值当t时，s最大值存在点m，使

12、得aqm为直角三角形设经过t秒时，nbt，om2t，则cn3t，am42t，bcamaq45°若aqm90°，则pq是等腰rtmqa底边ma上的高pq是底边ma的中线，pqapma，1+t(42t)，解得，t，m的坐标为(1，0)若qma90°，此时qm与qp重合qmqpma，1+t42t，t1，点m的坐标为(2，0)所以，使得aqm为直角三角形的点m的坐标分别为(1，0)和(2，0)【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数【变式2-2】如图，四边形

13、abcd是正方形，以dc为边向外作等边dce，连接ae交bd于点f，交cd于点g，点p是线段ae上一动点，连接dp、bp（1）求afb的度数；（2）在点p从a到e的运动过程中，若dp平分cde，求证：agdpdgbd；（3）已知ad6，在点p从a到e的运动过程中，若dbp是直角三角形，请求dp的长【答案】(1) 60°；(2)见解析；(3) dp=6或dp33或dp3 时，dbp是直角三角形【解析】（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质解答；（2）连接ac，证明dgpagc，根据相似三角形的对应边的比相等证明；（3）根据正方形的性质、勾股定理分别求出bd、od，根据直角三角形的性质

14、求出df，分bpd90°、bdp90°两种情况，根据相似三角形的性质计算【详解】（1）四边形abcd是正方形，abdc，adc90°，又dce是等边三角形，dedc，edc60°，dade，ade150°，dae15°，又adb45°，afbdaf+adf15°+45°60°；（2）连接ac，cagcaddag45°15°30°，dp平分cde，pdgcag，又dgpagc，dgpagc，即agdpdgac，acdb，agdpdgbd；（3）连接ac交bd于点o，则

15、aof90°，ad6，在rtaof中，oaf30°，由图可知：0°dbp45°，则dbp是直角三角形只有bpd90°和bdp90°两种情形：当bpd90°时，i、若点p与点a重合，bpd90°，dpda6；ii、当点p在线段ae上时，bpd90°，连接op，opaoap30°，aop120°，fopaopaof30°，dbpopb15°，fdp75°，又bafbaddaf75°，bafpdf，又afbdfp，bafpdf，即解得，；当bdp90&

16、#176;时，dfpafb60°，dpdf×tandfp，综上，dp=6或dp33或dp3 时，dbp是直角三角形【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由的大小是否改变

17、？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度【答案】（1）；（2）能，的值为5或；大小不变，；（3）.【解析】（1）在中，求出的正切值即可解决问题（2）分两种情形：当时，当时，分别求解即可利用四点共圆解决问题即可（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）如图一（1）中，四边形是矩形，（2）如图一（1）中，当时，在中，是等边三角形，如图一（2）中，当时，易证，综上所述，满足条件的的值为5或结论：大小不变理由：如图一（1）中，四点共圆，如图一（2）中，四点共圆，综上所述，

18、（3）如图二中，是等边三角形，垂直平分线段，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题【变式3-1】如图，已知正方形边长为2，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、.设ap=x.（1）当时，求长；（2）如图，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；（3）若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.【答案】（1）bp=；（2）证明见解析；（3）cdq为等腰三角形时x的值为4-2、2

19、+4.【解析】（1）利用勾股定理求出bp的长即可；（2）根据对称性质及正方形的性质可得ab=bq=bc，a=bqp=bce=90°，可得bqe=90°，由第一视角相等性质可得bcq=bqc，根据同角或等角的余角相等的性质可得eqc=ecq，可得ec=eq，可得结论；（3）若cdq为等腰三角形，则边cd边为该等腰三角形的一腰或者底边又q点为a点关于pb的对称点，则ab=qb，以点b为圆心，以ab的长为半径画弧，则q点只能在弧ab上若cd为腰，以点c为圆心，以cd的长为半径画弧，两弧交点即为使得cdq为等腰三角形（cd为腰）的q点若cd为底边，则作cd的垂直平分线，其与弧ac的

20、交点即为使得cdq为等腰三角形（cd为底）的q点则如图所示共有三个q点，那么也共有3个p点作辅助线，利用直角三角形性质求之即可【详解】（1）ap=x=1，ab=2，bp=，（2）四边形abcd是正方形，ab=bc，a=bcd=90°q点为a点关于bp的对称点，ab=qb，a=pqb=90°，qb=bc，bqe=bce=90°，bqc=bcq，eqc+bqc=ecq+bcq=90°，eqc =ecq，eq=ec，即ceq为等腰三角形.（3）如图，以点b为圆心，以ab的长为半径画弧，以点c为圆心，以cd的长为半径画弧，两弧分别交于q1，q3此时cdq1，cd

21、q3都为以cd为腰的等腰三角形作cd的垂直平分线交弧ac于点q2，此时cdq2以cd为底的等腰三角形讨论q1，如图，连接bq1、cq1，作pq1bq1交ad于p，过点q1，作efad于e，交bc于f，bcq1为等边三角形，正方形abcd边长为2，fc=1，q1f=，q1e=2-，在四边形abpq1中，abq1=30°，apq1=150°，epq1=30°，peq1为含30°的直角三角形，pe=eq1=2-3，ef是bc的垂直平分线，ae=ad=1，x=ap=ae-pe=1-(2-3)=4-2.讨论q2，如图，连接bq2，aq2，过点q2作pgbq2，交a

22、d于p，交cd于g，连接bp，过点q2作efcd于e，交ab于f，ef垂直平分cd，ef垂直平分ab，aq2=bq2ab=bq2，abq2为等边三角形af=ae=1，fq2=，在四边形abq2p中，bad=bq2p=90°，abq2=60°，apq2=120°，eq2g=dpg=180°-120°=60°，eq2=ef-fq2=2-，eg=eq2=2-3，dg=de+ge=1+2-3=2-2，dg=pd，即pd=2-，x=ap=2-pd=.对q3，如图作辅助线，连接bq1，cq1，bq3，cq3，过点q3作pq3bq3，交ad的延长线

23、于p，连接bp，过点q1，作efad于e，此时q3在ef上，记q3与f重合bcq1为等边三角形，bcq3为等边三角形，bc=2，q1q2=2，q1e=2-，ef=2+，在四边形abq3p中abf=abc+cbq3=150°，epf=30°，ep=ef=2+3，ae=1，x=ap=ae+pe=1+2+3=2+4.综上所述：cdq为等腰三角形时x的值为4-2、2+4.【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点q找全另外求解各个p点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学

24、知识是解题关键【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点a，交x轴于点b（-3，0）和点c（1，0），顶点为点m（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点e为x轴上一动点，若ame的周长最小，请求出点e的坐标；（3）点f为直线ab上一个动点，点p为抛物线上一个动点，若bfp为等腰直角三角形，请直接写出点p的坐标【答案】（1） ；（2）e（-，0）；（3）点p的坐标为（2，-5）或（1，0）【解析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点a的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作a关于x轴的对称点a（0，-3），连

25、接ma交x轴于e，此时ame的周长最小，求出直线ma'解析式即可求得e的坐标；（3）如图2，先求直线ab的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点f的坐标为（m，m+3），分三种情况进行讨论：当pbf=90°时，由f1px轴，得p（m，-m-3），把点p的坐标代入抛物线的解析式可得结论；当bf3p=90°时，如图3，点p与c重合，当bpf4=90°时，如图3，点p与c重合，从而得结论【详解】（1）当x=0时，y=3，即a（0，3），设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把a（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，y=-（x+3）（x-1）=-x2-

26、2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，m（-1，4），如图1，作点a（0，3）关于x轴的对称点a'（0，-3），连接a'm交x轴于点e，则点e就是使得ame的周长最小的点，设直线am的解析式为：y=kx+b，把a'（0，-3）和m（-1，4）代入得：，解得：直线a'm的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0，x=-，点e（-，0），（3）如图2，易得直线ab的解析式为：y=x+3，设点f的坐标为（m，m+3），当pbf=90°时，过点b作bpab，交抛物线于点p，此时以bp为直

27、角边的等腰直角三角形有两个，即bpf1和bpf2，oa=ob=3，aob和a'ob是等腰直角三角形，f1bc=bf1p=45°，f1px轴，p（m，-m-3），把点p的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），p（2，-5）；当bf3p=90°时，如图3，f3bp=45°，且f3bo=45°，点p与c重合，故p（1，0），当bpf4=90°时，如图3，f4bp=45°，且f4bo=45°，点p与c重合，故p（1，0），综上所述，点p的坐标为（2，-5

28、）或（1，0）【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点（1）求的值；（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；（3）满足（2）的条件时，求的值【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）的值为或【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出的值；(2)由(1)可得出抛物线及直线的解析式，继而可求出点的坐标，设点的坐标为，结合点的坐标可得出的值，再利用

29、等腰三角形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；(3)过点作轴，垂足为点，由点的坐标可得出的长，再利用正弦的定义即可求出的值【详解】(1)将代入，得：，；将代入，得：，；(2)由(1)得：抛物线的解析式为，直线的解析式为，当时， ，解得：，点的坐标为， 设点的坐标为，则，是以为底边的等腰三角形，即，整理，得：，解得：，点的坐标为或；(3)过点作轴，垂足为点，如图所示，当点的坐标为时，；当点的坐标为时，满足(2)的条件时，的值的值为或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：

30、(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于的方程；(3)通过解直角三角形，求出的值【考点4】动点之相似三角形问题【例4】在边长为的正方形中，动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动,动点以每秒个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点比动点先出发秒,其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点的运动时间为秒. 如图，连接，若，求的值如图，连接，当为何值时，【答案】（1）t=1;(2) 当为秒时，【解析】（1）利用正方形的性质及条件，得出，由bf=ae，列出方程解方程即可（2），得到，用t表示出bf、ae、fc、be列出方程解方程即

31、可，最后对t的取值进行取舍【详解】解：四边形是正方形由题意得，解得：若则，解得由题意知：当为秒时，【点睛】本题考查正方形基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，第二问的关键在于能够写出比例式列出方程，最后要记得对方程的解进行取舍【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，abc是直角三角形，acb90°，点a，c的坐标分别为a（3，0），c（1，0），bcac（1）求过点a，b的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点d，连接db，使得adb与abc相似（不包括全等），并求点d的坐标；（3）在（2）的条件下，如p，q分别是ab和ad上的动点，连接pq，设apdqm，

32、问是否存在这样的m，使得apq与adb相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由【答案】（1）yx+；（2）d点位置见解析，d（，0）；（3）符合要求的m的值为或【解析】（1）先根据a（3，1），c（1，0），求出ac进而得出bc3求出b点坐标，利用待定系数法求出直线ab的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点d的坐标；（3）由于apq与adb已有一组公共角相等，只需分apqabd和apqadb两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题【详解】解：（1）a（3，0），c（1，0），ac4，bcac，bc×43，b（1，3），设直线ab的解析式

33、为ykx+b，直线ab的解析式为yx+；（2）若adb与abc相似，过点b作bdab交x轴于d，abdacb90°，如图1，此时，即ab2acadacb90°，ac4，bc3，ab5，254ad，ad，odadao3，点d的坐标为（，0）；（3）apdqm，aqadqdm、若apqabd，如图2，则有，apadabaq，m5（m），解得m；、若apqadb，如图3，则有，apabadaq，5m（m），解得：m，综上所述：符合要求的m的值为或【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本

34、题的关键是根据相似建立方程求解【变式4-2】如图，已知抛物线经过a（3，0）、b（8，0）、c（0，4）三点，点d是抛物线上的动点，连结ad与y轴相交于点e，连结ac，cd（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当ad平分cab时求直线ad所对应的函数表达式；设p是x轴上的一个动点，若pad与cad相似，求点p的坐标【答案】（1）；（2）；（2，0）或（13，0）【解析】（1）将、点坐标代入抛物线，化简计算即可；（2）设，根据平分，轴，求得，并证得 ，利用 可的，可得点坐标，把，代入，化简可得ad所对应的函数表达式；因为是x轴上的一个动点，且与相似，并且是腰长为5的等腰三角形，所以 点有两种情

35、况：ad为等腰三角形的斜边，或者以ad为腰，为底，分别讨论求解即可.【详解】解（1）抛物线经过、三点，解得：，抛物线的表达式为；（2）作于点h，如图，设平分，轴，在中， ， ，解得：，设直线ad的表达式为，把，代入，得，解得：，直线ad所对应的函数表达式为；直线ad与二次函数相交于点d，解得或，点d在第一象限，点d坐标为，且，是腰长为5的等腰三角形，是x轴上的一个动点，且与相似，也为等腰三角形，如上图示，当ad为等腰三角形的斜边时，点的坐标为；当以ad为腰，为底时，作点d坐标为，,点p的坐标为综上所述点p的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的

36、性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；灵活利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】（2019·广东中考模拟）如图，点o是平面直角坐标系的原点，点a（，3），acoa与x轴的交点为c动点m以每秒个单位长度由点a向点o运动同时，动点n以每秒3个单位长度由点o向点c运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动（1）写出aoc的值；（2）用t表示出四边形amnc的面积；（3）求点p的坐标，使得以o、n、m、p为顶点的四边形是特殊的平行四边形？【答案】（1）30°；（2）；（3）.【解析】（1）如图1中，作a

37、hoc于h在rtaoh中，解直角三角形求出aoh即可解决问题（2）作mkbc于k根据s四边形amncsoacsomn，计算即可（3）分别考虑以om，on，mn为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可【详解】解：（1）如图1中，作ahoc于ha（，3），oh，ah3，tanaoh，aoh60°，oaac，oac90°，aco30°（2）作mkbc于k在rtaoh中，oh，oah30°，oa2oh2，在rtaoc中，aoc30°，oa2，acoa6，omt，mkomsin60°t，s四边形amncsoacsomnoaaconmk

38、a×2×6×3t×t6t2（0t2）（3）当四边形cnmp1是平行四边形时，p1（t3t，t）当四边形onp2m是平行四边形时，p2（t+3t，t）当四边形omnp3是平行四边形时，p3（3tt，t）【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知abcd，abc=120°，点e为线段bc上的动点，连接ae，以ae为边向上作菱形aefg，且eag=120

39、76;（1）如图1，当点e与点b重合时，cef=_°；（2）如图2，连接af填空：fad_eab（填“>”，“<”，“=”）；求证：点f在abc的平分线上；（3）如图3，连接eg，dg，并延长dg交ba的延长线于点h，当四边形aegh是平行四边形时，求bcab的值【答案】（1）60°；（2） =，见解析；（3）4【解析】（1）根据菱形的性质计算；（2）证明dab=fae=60°，根据角的运算解答；作fmbc于m，fnba交ba的延长线于n，证明afnefm，根据全等三角形的性质得到fn=fm，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据直角三角形的性质得

40、到gh=2ah，证明四边形abeh为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案【详解】解：（1）四边形aefg是菱形，aef=180°-eag=60°，cef=aec-aef=60°，故答案为：60°；（2）四边形abcd是平行四边形，dab=180°-abc=60°，四边形aefg是菱形，eag=120°，fae=60°，fad=eab，故答案为：=；作fmbc于m，fnba交ba的延长线于n，则fnb=fmb=90°，nfm=60°，又afe=60°，afn=efm，ef=ea，fae=6

41、0°，aef为等边三角形，fa=fe，在afn和efm中，afn=efmfna=fmefa=fe，afnefm(aas)，fn=fm，又fmbc，fnba，点f在abc的平分线上；（3）四边形aefg是菱形，eag=120°，agf=60°，fge=age=30°，四边形aegh为平行四边形，ge/ah，gah=age=30°，h=fge=30°，gah=90°，又age=30°，gh=2ah，dab=60°，h=30°，adh=30°，ad=ah=ge，四边形abeh为平行四边形，b

42、c=ad，bc=ge，四边形abeh为平行四边形，hae=eab=30°，平行四边形abeh为菱形，ab=ah=he，ge=3ab，bcab=3【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于a、b两点，过a、b两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点d、点c当矩形abcd为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动

43、点p从点a出发沿射线ab以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点q以相同的速度从点a出发沿线段ad匀速运动，到达点d时立即原速返回，当动点q返回到点a时，p、q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）过点p向x轴作垂线，交抛物线于点e，交直线ac于点f，问：以a、e、f、q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出t的值；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）当矩形abcd为正方形时，m的值为4；（3）以a、e、f、q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6.【解析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点a，b的坐

44、标，进而可得出点c，d的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）由（2）可得出点a，b，c，d的坐标，根据点a，c的坐标，利用待定系数法可求出直线ac的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点e，f的坐标，由且以a、e、f、q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，三种情况找出aq，ef的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论【详解】（1）将，代入，得：，解得，该二次函数的解析式为（2）当 时，解得：，点a的坐标为（，m），点b的坐标为（，m），点d的坐标为（，0），点c的坐标为（，0）矩形abcd为正方形

45、，解得：，（舍去），当矩形abcd为正方形时，m的值为4（3）以a、e、f、q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形由（2）可知：点a的坐标为，点b的坐标为，点c的坐标为，点d的坐标为 设直线ac的解析式为，将，代入，得，解得，直线ac的解析式为当时， ，点e的坐标为（，），点f的坐标为（，-t+4）以a、e、f、q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ，分三种情况考虑：当时，如图1所示，ef=，解得：（舍去），；当时，如图2所示，ef=，解得：（舍去），；, ef=，解得（舍去），（舍去）综上所述，当以a、e、f、q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6【点睛】本题考查了待定系

46、数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.（1）点的坐标为_；（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3

47、）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.【答案】（1）（3，1）；（2），；（3）（2，2）.【解析】（1）根据点（a，b）关于y=x对称的点的坐标为（b，a）直接写出答案即可；（2）首先求得反比例函数的解析式，然后设p（m，m），分若pc为平行四边形的边和若pc为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点c的坐标；（3）连接aq，设ab与po的交点为d，利用四边形aobp是菱形，得到saop=saoq+sapq，从而得到poad=aoqe+apqf，确定qe+qf=为定值，从而求解【详解】解：（1）b点的坐标为

48、（3，1）；（2）反比例函数图象经过点a（1，3），k=1×3=3，反比例函数的解析式为，点p在直线y=x上，设p（m，m）pc为平行四边形的边，点a的横坐标比点b的横坐标小2，点a的纵坐标比点b的纵坐标大2，点c在点p的下方，则点c的坐标为（m+2，m-2）如图1，若点c在点p的上方，则点c的坐标为（m-2，m+2）如图2，把c（m+2，m-2）代入反比例函数的解析式得：，m0，同理可得另一点，若pc为平行四边形的对角线，如图3，a、b关于y=x对称，opab此时点c在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线的交点，由解得：，（舍去），综上所述，满足条件的点c有三个，坐标分别为： ，；

49、（3）连接aq，设ab与po的交点为d，如图4，四边形aobp是菱形，ao=apsaop=saoq+sapq，poad=aoqe+apqfqe+qf=为定值，要使qe+qf+qb的值最小，只需qb的值最小，当qbpo时，qb最小，所以d点即为所求的点，a（1，3），b（3，1）d（2，2），当qe+qf+qb的值最小时，q点坐标为（2，2）【点睛】本题是对反比例函数的综合知识的考查，熟练掌握反比例，四边形知识及分类讨论的数学思想是解决本题的关键，难度较大【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图已知平面内有一动点a，x轴上有一定点b（4，0），连接ab，且将线段ab绕b点逆时针旋转90°

50、;得到线段bc当a点坐标为（1，1）时，求c点坐标；当a点在直线x=1上滑动时，求在此运动过程中boc的面积是否发生变化，若不变，请求出面积，若变化，请说明理由；若总条件中的动点a改为直线y=x上的动点a，其余条件都不变，请直接写出当a点在直线y=x上滑动时，点d（0，-2）到c点的最短距离【答案】（1）c（3，3）；（2）当a点在直线x=1上滑动时，在此运动过程中boc的面积是不发生变化，是定值6；（3）a点在直线y=x上滑动时，点d（0，-2）到c点的最短距离为【解析】先判断出abdbce，进而确定出点c的坐标；同的方法确定出点c 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；先判断出点c是

51、直线y=-x上运动，进而确定出dc垂直于直线y=-x时，cd最小，最后用等腰直角三角形的性质即可得出结论【详解】如图，过点a作adx轴于d，过点c作cex轴于e，adb=bec=90°，bad+abd=90°，由旋转知，ab=bc，abc=90°，abd+cbe=90°，bad=cbe，在abd和bce中，abdbce，bd=ce，ad=be，a（1，1），b（4，0），ad=1，bd=3，ce=bd=3，be=ad=1，oe=ob-be=4-1=3，c（3，3）；如图，过点a作adx轴于d，过点c作cex轴于e，adb=bec=90°，bad

52、+abd=90°，由旋转知，ab=bc，abc=90°，abd+cbe=90°，bad=cbe，在abd和bce中，abdbce，bd=ce，ad=be，a点在直线x=1上滑动，设a（1，m），当m0时，b（4，0），ad=m，bd=3，ce=bd=3，be=ad=m，oe=|ob-be|=|4-m|，c（|4-m|，3），sboc=ob×|yc|=×4×3=6，是定值；当m0时，b（4，0），ad=|m|=-m，bd=3，ce=bd=3，be=ad=-m，oe=|ob+be|=|4-m|，c（|4-m|，3），sboc=ob×|yc|=×4×3=6，是定值；即：当a点在直线x=1上滑动时，在此运动过程中boc的面积是不发生变化，是定值6；如图，过点b作beoa于e，过点b作bfbe，过点c作co'bf于f，交oa于o'，aeb=bfc=