备考2022数学专题19解直角三角形问题（解析版）

1、专题19 解直角三角形问题一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形的判定及性质1.直角三角形的判定(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形；(2)两锐角互余的三角形是直角三角形；(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形；(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直

2、角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、各种锐角三角函数的定义1正弦：在abc中，c=90°把锐角a的对边与斜边的比值叫做a的正弦，记作sina 。2余弦：在abc中，c=90°，把锐角a的邻边与斜边比值的叫做a的余弦，记作cosa 。3正切：在abc中，c=90°，把锐角a的对边与邻边的比值叫做a的正切，记作tana 。四、解直角三角形问题类型 1解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2

3、解直角三角形的理论依据：在rtabc中，c=90°，a，b，c所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理） （2）锐角之间的关系：a+b=90°（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形类型总结表格类型已知条件解法两边两直角边a、bc=，tana=，b=90°-a一直角边a，斜边cb=，sina=，b=90°-a一边一锐角一直角边a，锐角ab=90°-a，b=a·cota，c=斜边c，锐角ab=90°-a，a=c·sina， b=c·cosa五、特殊值的三角函数三角函数0°30

4、76;45°60°90°sin01cos10tan01不存在cot不存在10六、仰角、俯角、坡度1仰角：视线在水平线上方的角；2俯角：视线在水平线下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。七、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sina=cos(90°a)，cosa=sin(90°a)tana=cot(90°a)，cota=tan(90°a)（2）平方关系 （3）倒数关系 tanatan(90°a)=1（4）弦切关系 ta

5、na=八、锐角三角函数的增减性当角度在0°90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）【例题1】（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点a，b，c都在格点上，若bd是abc的高，则bd的长为（）a101313b91313c81313d71313【答案】d【解析】根据勾股定理计算ac的长，利用面积差可得三角形abc的面积，由三角形的面积公式即可得到结论由勾股定

6、理得：ac=22+32=13，sabc3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=3.5，12acbd=72，13bd=7，bd=71313【对点练习】（2020贵州黔西南）如图所示，在rtabc中，c90°，点d在线段bc上，且b30°，adc60°，bc，则bd的长度为_【答案】【解析】首先证明db=ad=2cd，然后再由条件bc=可得答案解：c90°，adc60°，dac30°，cdadb30°，adc60°，bad30°，

7、bdad，bd2cdbc，cd2cd，cd，db，【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半【例题2】（2020凉山州）如图所示，abc的顶点在正方形网格的格点上，则tana的值为（）a12b22c2d22【答案】a【解析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求ad、bd，再根据三角函数的意义可求出tana的值如图，连接bd，由网格的特点可得，bdac，ad=22+22=22，bd=12+12=2，tana=bdad=222=12【对点练习】（2020扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点a、b

8、、c都在格点上，以ab为直径的圆经过点c、d，则sinadc的值为（）a21313b31313c23d32【答案】a【解析】首先根据圆周角定理可知，adcabc，然后在rtacb中，根据锐角三角函数的定义求出abc的正弦值如图，连接bcadc和abc所对的弧长都是ac，根据圆周角定理知，adcabc在rtacb中，根据锐角三角函数的定义知，sinabc=acab，ac2，bc3，ab=ac2+bc2=13，sinabc=213=21313，sinadc=21313【例题3】（2020荆门）如图，海岛b在海岛a的北偏东30方向，且与海岛a相距20海里，一艘渔船从海岛b出发，以5海里/时的速度沿北

9、偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛a出发，向正东方向航行2小时后，快艇到达c处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的e处（1）求abe的度数；（2）求快艇的速度及c，e之间的距离（参考数据：sin15°0.26，cos15°0.97，tan15°0.27，31.73）【答案】见解析。【分析】（1）过点b作bdac于点d，作bfce于点e，由平行线的性质得出abdnab30°，求出dbe105°，则可得出答案；（2）在rtbef中，解直角三角形求出ef，bf，在rtabd中，解直角三角形求出ad，bd，证明四边形bdcf为矩形，得出dc，

10、fc，求出ce的长，则可得出答案【解析】（1）过点b作bdac于点d，作bfce于点e，由题意得，nab30°，gbe75°，anbd，abdnab30°，而dbe180°gbe180°75°105°，abeabd+dbe30°+105°135°；（2）be5×210（海里），在rtbef中，ebf90°75°15°，efbe×sin15°10×0.262.6（海里），bfbe×cos15°10×

11、0.979.7（海里），在rtabd中，ab20，abd30°，adab×sin30°20×12=10（海里），bdab×cos30°20×32=10310×1.7317.3，bdac，bfce，ceac，bdcdcfbfc90°，四边形bdcf为矩形，dcbf9.7，fcbd17.3，acad+dc10+9.719.7，ceef+cf2.6+17.319.9，设快艇的速度为v，则v=19.72=9.85（海里/小时）答：快艇的速度为9.85海里/小时，c，e之间的距离为19.9海里【对点练习】（2019

12、浙江宁波）如图，某海防哨所o发现在它的西北方向，距离哨所400米的a处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的b处，则此时这艘船与哨所的距离ob约为多少米（精确到1米，参考数据：1.414，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想通过解直角oac求得oc的长度，然后通过解直角obc求得ob的长度即可如图，设线段ab交y轴于c，在直角oac中，acocao45°，则acocoa400米，ocoacos45°

13、;400×200（米）在直角obc中，cob60°，oc200米，ob400456（米） 故答案是：456一、选择题1（2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）a423米b143米c21米d42米【答案】a【解析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°423（米）2（2020河北）如图，从笔直的公路l旁一点p出发，向西走6km到达l；从p出发向北走6km也到达l下列说法错误的是（）a从点p向北偏西45°走3km到

14、达lb公路l的走向是南偏西45°c公路l的走向是北偏东45°d从点p向北走3km后，再向西走3km到达l【答案】a【解析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解如图，由题意可得pab是腰长6km的等腰直角三角形，则ab62km，则pc32km，则从点p向北偏西45°走32km到达l，选项a错误；则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项b，c正确；则从点p向北走3km后，再向西走3km到达l，选项d正确3（2020聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，abc的顶点都在这些小正方形的顶点上，

15、那么sinacb的值为（）a355b175c35d45【答案】d【解析】如图，过点a作ahbc于h利用勾股定理求出ac即可解决问题在rtach中，ah4，ch3，ac=ah2+ch2=42+32=5，sinach=ahac=454（2020重庆）如图，在距某居民楼ab楼底b点左侧水平距离60m的c点处有一个山坡，山坡cd的坡度（或坡比）i1：0.75，山坡坡底c点到坡顶d点的距离cd45m，在坡顶d点处测得居民楼楼顶a点的仰角为28°，居民楼ab与山坡cd的剖面在同一平面内，则居民楼ab的高度约为（参考数据：sin28°0.47，cos28°0.88，tan28&

16、#176;0.53）（）a76.9mb82.1mc94.8md112.6m【答案】b【解析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出de、ec、be、df、af，进而求出ab如图，由题意得，adf28°，cd45，bc60，在rtdec中，山坡cd的坡度i1：0.75，deec=10.75=43，设de4x，则ec3x，由勾股定理可得cd5x，又cd45，即5x45，x9，ec3x27，de4x36fb，bebc+ec60+2787df，在rtadf中，aftan28°×df0.53×8746.11，abaf+fb46.11+36

17、82.15（2020广元）规定：sin（x）sinx，cos（x）cosx，cos（x+y）cosxcosysinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（30°）=-12；（2）cos2xcos2xsin2x；（3）cos（xy）cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6-24其中正确的结论的个数为（）a1个b2个c3个d4个【答案】c【解析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论（1）sin(-30°)=-sin30°=-12，故此结论正确；（2）cos2xcos（x+x）cosxcosxsinxsinxcos2xsin2

18、x，故此结论正确；（3）cos（xy）cosx+（y）cosxcos（y）sinxsin（y）cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；（4）cos15°cos（45°30°）cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×12=64+24=6+24，故此结论错误所以正确的结论有3个.6.（2020贵州黔西南）如图，某停车场入口的栏杆ab，从水平位置绕点o旋转到ab的位置，已知ao的长为4米若栏杆的旋转角aoa，则栏杆a端升高的高度为（ ）a. 米b. 4sin米c. 米d.

19、 4cos米【答案】b【解析】过点a作acab于点c，根据锐角三角函数的定义即可求出答案解：如答图，过点a作acab于点c在rtoca，sin，所以acao·sin由题意得aoao4，所以ac4sin，因此本题选b【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型二、填空题7（2020湘潭）计算：sin45° 【答案】22【解析】根据特殊角的三角函数值解答根据特殊角的三角函数值得：sin45°=228（2020天水）如图所示，aob是放置在正方形网格中的一个角，则sinaob的值是 【答案】22【解析】如图，连接ab证明oab是

20、等腰直角三角形即可解决问题oaab=10，ob25，ob2oa2+ab2，oab90°，aob是等腰直角三角形，aob45°，sinaob=229（2020深圳）如图，在四边形abcd中，ac与bd相交于点o，abcdac90°，tanacb=12，bood=43，则sabdscbd= 【答案】332【分析】通过作辅助线，得到abcanm，obcodm，abcdan，进而得出对应边成比例，再根据tanacb=12，bood=43，得出对应边之间关系，设aba，dnb，表示bc，na，mn，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可【解析】如图，过点d作dmbc，

21、交ca的延长线于点m，延长ba交dm于点n，dmbc，abcanm，obcodm，abbc=annm=tanacb=12，bcdm=obod=43，又abcdac90°，bac+nad90°，bac+bca90°，nadbca，abcdan，abbc=dnna=12，设aba，dnb，则bc2a，na2b，mn4b，由bcdm=obod=43得，dm=32a，4b+b=32a，即，b=310a，sabdsbcd=12abdn12bcnb=ab2a(a+2b)=310a22a1610a=33210（2020菏泽）如图，在abc中，acb90°，点d为ab边

22、的中点，连接cd，若bc4，cd3，则cosdcb的值为 【答案】23【分析】过点d作debc，由平行线平分线段定理可得e是bc的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案【解析】过点d作debc，垂足为e，acb90°，debc，deac，又点d为ab边的中点，beec=12bc2，在rtdce中，cosdcb=eccd=2311（2020泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地bcad，bead，斜坡ab长26m，斜坡ab的坡比为12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡如果改造时保持

23、坡脚a不动，则坡顶b沿bc至少向右移 m时，才能确保山体不滑坡（取tan50°1.2）【答案】10【分析】在bc上取点f，使fae50°，作fhad，根据坡度的概念求出be、ae，根据正切的定义求出ah，结合图形计算，得到答案【解析】在bc上取点f，使fae50°，过点f作fhad于h，bfeh，bead，fhad，四边形behf为矩形，bfeh，befh，斜坡ab的坡比为12：5，beae=125，设be12x，则ae5x，由勾股定理得，ae2+be2ab2，即（5x）2+（12x）2262，解得，x2，ae10，be24，fhbe24，在rtfah中，tanf

24、ah=ehah，ah=ehtan50°=20，bfehahae10，坡顶b沿bc至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡.12（2020枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）若ab，ac的长都为2m，当50°时，人字梯顶端离地面的高度ad是 m（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.19）【答案】1.5【解析】在rtadc中，求出ad即可abac2m，adbc，adc90°，adacsin50°2×0.771.5（m）三、简答题13.（2020浙江温州）如图，在6

25、×4的方格纸abcd中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点a，b，c，d重合（1）在图1中画格点线段ef，gh各一条，使点e，f，g，h分别落在边ab，bc，cd，da上，且efgh，ef不平行gh；（2）在图2中画格点线段mn，pq各一条，使点m，n，p，q分别落在边ab，bc，cd，da上，且pqmn来源:z*xx*k.com【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据方格纸的特点,只要在ab与cd边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.（2）根据勾股定理分别算出pq和mn,使得pqmn点即为所求的点.【解析】（1）由ef

26、=gh=,可得图形如下图:（2）如图所示,.所以,得到: pqmn.【点拨】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.14（2020凉山州）如图，o的半径为r，其内接锐角三角形abc中，a、b、c所对的边分别是a、b、c（1）求证：asina=bsinb=csinc=2r；（2）若a60°，c45°，bc43，利用（1）的结论求ab的长和sinb的值【答案】见解析。【分析】（1）证明：作直径be，连接ce，如图所示：则bce90°，ea，根据三角函数的定义得到sinasine=bcbe=a2r，求得asina=2r，同理：bsinb=2

27、r，csinc=2r，于是得到结论；（2）由（1）得：absinc=bcsina，得到ab=43×2232=42，2r=4332=8，过b作bhac于h，解直角三角形得到acah+ch2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论【解析】（1）证明：作直径be，连接ce，如图所示：则bce90°，ea，sinasine=bcbe=a2r，asina=2r，同理：bsinb=2r，csinc=2r，asina=bsinb=csinc=2r；（2）解：由（1）得：absinc=bcsina，即absin45°=43sin60°=2r，ab=43×22

28、32=42，2r=4332=8，过b作bhac于h，ahbbhc90°，ahabcos60°42×12=22，ch=22bc26，acah+ch2（2+6），sinb=ac2r=2(2+6)8=2+6415（2020随州）如图，某楼房ab顶部有一根天线be，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点c，d，a，在点c处测得天线顶端e的仰角为60°，从点c走到点d，测得cd5米，从点d测得天线底端b的仰角为45°，已知a，b，e在同一条垂直于地面的直线上，ab25米（1）求a与c之间的距离；（2）求天线be的高度（参考数据：31.73，结果

29、保留整数）【答案】见解析。【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出adab25米，则可求出答案；（2）解直角三角形求出ae30tan60°303（米），则可求出be【解析】（1）由题意得，在rtabd中，adb45°，adab25米，cd5米，acad+cd25+530（米），即a与c之间的距离是30米；（2）在rtace中ace60°，ac30米，ae30tan60°303（米），ab25米，beaeab（303-25）米，31.73，be1.73×302527米即天线be的高度为27米16（2020临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上

30、的梯子的顶端，梯子与地面所成的角般要满足60°75°，现有一架长5.5m的梯子（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°0.97，cos75°0.26，tan75°3.73，sin23.6°0.40，cos66.4°0.40，tan21.8°0.40）【答案】见解析。【分析】（1）根据正弦的定义求出ac，得到答案；（2）根据余弦的定义求出，根据题意判断即可【解析】（1）由题意得，当75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，在rtabc中，sin=acab，acabsin5.5×0.975.3，答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m的墙；（2）在rtabc中，cos=bcab=0.4，则6