备考2022数学专题28锐角三角函数（原卷版）

1、专题28 锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1三角函数定义在rtabc中，若c=90° 2.同角三角函数的关系（1）平方关系：（2）商数关系： （3）倒数关系：3.互为余角的三角函数关系， ，或者：若a+b=90°，则sina=cosb，cosa=sinb，tana=cotb，cota=tanb4. 特殊角的三角函数值sincostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在05.锐角三角函数的增减性(0°-90°)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减

2、小。（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。6.锐角三角函数的取值范围0sin1，0cos1，tan0，cot0.知识点二：解直角三角形1.直角三角形中边角关系在直角三角形abc中，如果c=90°，a，b，c所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为a+b=90°（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）2.其他有关公式（1）=（2）rt面积公式：（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径结论：直角三角形斜边

3、上的高3.实际问题中术语的含义(1)仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.（3）坡角：坡面与水平面的夹角；（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角 每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sina、cosa、tga、cota表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90

4、°角的各个三角函数值理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面一、解直角三角形问题的依据与类型（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.（2）解直角三角形的依据：角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；（3）解直角三角形的常见类型及一般解法rtabc中的已知条件一般解法两边两直角边a，b(1)；(2)由求出a；(3)b=90°a.一直角边a，斜边c(1)；(2)由求出a；(3)b=90°a.一边

5、一锐角一直角边a，锐角a(1)b=90°a；(2)；(3).斜边c，锐角a(1)b=90°a；(2)a=c·sin a；(3)b=c·cos a.二、解直角三角形需要注意的问题1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代

6、生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案【例题1】（2020南充）如图，点a，b，c在正方形网格的格点上，则sinbac（）a26b2626c2613d1313【例题2】如图，在菱形abcd中，deab，be=2，则tandbe的值是（ ）a b2 c d【例题3】（2020重庆）如图，垂直于水平面的5g信号塔ab建在垂直于水平面的悬崖边b点处，某测量员从山脚c点出发沿水平方向前行78米到d点（点a，b，c在同一直线上），再沿斜坡de

7、方向前行78米到e点（点a，b，c，d，e在同一平面内），在点e处测得5g信号塔顶端a的仰角为43°，悬崖bc的高为144.5米，斜坡de的坡度（或坡比）i1：2.4，则信号塔ab的高度约为（）（参考数据：sin43°0.68，cos43°0.73，tan43°0.93）a23米b24米c24.5米d25米锐角三角函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1（2020杭州）如图，在abc中，c90°，设a，b，c所对的边分别为a，b，c，则（）acbsinbbbcsinbcabtanbdbcta

8、nb2（2020济宁）一条船从海岛a出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛b处灯塔c在海岛a的北偏西42°方向上，在海岛b的北偏西84°方向上则海岛b到灯塔c的距离是（）a15海里b20海里c30海里d60海里3（2020深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的p、q两点分别测定对岸一棵树t的位置，t在p的正北方向，且t在q的北偏西70°方向，则河宽（pt的长）可以表示为（）a200tan70°米b200tan70°米c200sin 70°米d200sin70°米4（2020黔西南州

9、）如图，某停车场入口的栏杆ab，从水平位置绕点o旋转到ab的位置，已知ao的长为4米若栏杆的旋转角aoa，则栏杆a端升高的高度为（）a4sin米b4sin米c4cos米d4cos米5.（2020乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯ab的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面c处测得扶梯顶端b的仰角为60°，a、c之间的距离为4m则自动扶梯的垂直高度bd（ ）m（结果保留根号）a.3 b.2 c.23 d.2+36.已知abc中，三边之比a：b：c=1：2，则sina+tana的值为（ ）a./2 b.+2 c.2 d.7.如图，在等腰rtabc中，c=90o，ac=

10、6，d是ac上一点，若tandba=，则ad的长为（ ） a.2 b. c. d.1 8.如图，cd是rtabc斜边上的高，ac=4，bc=3则cosbcd的值是（ ）a b c d9.（2019湖南长沙）如图所示，一艘轮船从位于灯塔c的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛a出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔c的南偏东45°方向上的b处，这时轮船b与小岛a的距离是（）a30nmileb60nmilec120nmiled（30+30）nmile10（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆ab的高度，他作了如下操作：（1）在点c处放置测角仪，测得旗杆

11、顶的仰角ace；（2）量得测角仪的高度cda；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离dbb利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）aa+btanba+bsinca+btanda+bsin二、填空题（每空3分，共30分）11.（2019湖北省鄂州市）如图，已知线段ab4，o是ab的中点，直线l经过点o，160°，p点是直线l上一点，当apb为直角三角形时，则bp 12. （2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点c在fd的延长线上，点b在ed上，abcf，facb90°，e45°，a60°，ac10，则cd

12、的长度是13. (2019海南)如图,将rtabc的斜边ab绕点a顺时针旋转(0°<<90°)得到ae,直角边ac绕点a逆时针旋转(0°<<90°)得到af,连接ef,若ab3,ac2,且+b,则ef_.14.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是_15.（2019海南省）如图，将rtabc的斜边ab绕点a顺时针旋转（0°90°）得到ae，直角边ac绕点a逆时针旋转（0°90°）得到af，连结ef若ab3，ac2，且+b，则ef16（2019山东临

13、沂）如图，在abc中，acb120°，bc4，d为ab的中点，dcbc，则abc的面积是 17（2020自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形abcd，dcabbc长6米，坡角为45°，ad的坡角为30°，则ad长为 米（结果保留根号）18（2020济宁）如图，小明在距离地面30米的p处测得a处的俯角为15°，b处的俯角为60°若斜面坡度为1：3，则斜坡ab的长是 米19（2020金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点a，b，c均为正六边形的顶点，ab与地面bc所成的锐角为则tan的值是 20

14、（2020黔东南州）cos60° 三、解答题（8个小题，共60分）21.（5分）（2020贵州黔西南）计算：(2)2|2cos45°(2020)0；22（5分）（2020盐城）如图，在abc中，c90°，tana=33，abc的平分线bd交ac于点d，cd=3，求ab的长？23（8分）（2020株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1l2，点a、b分别在l1、l2上，斜坡ab的长为18米，过点b作bcl1于点c，且线段ac的长为26米（1）求该斜坡的坡高bc；（结

15、果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为60°，过点m作mnl1于点n，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？24（8分）（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高mn他俩在小明家的窗台b处，测得商业大厦顶部n的仰角1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在b处测得商业大厦底部m的俯角的度数于是，他俩上楼来到小华家，在窗台c处测得大厦底部m的俯角2的度数，竟然发现1与2恰好相等已知a，b，c三点共线，caam，nmam，ab31m，bc18m，试求商业大厦的高mn25（8分）

16、（2020内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在a处测得灯塔p在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达b处，此时测得灯塔p在北偏东30°方向上（1）求b处到灯塔p的距离；（2）已知灯塔p的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？26（8分）（2020鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度cd如图所示，一架水平飞行的无人机在a处测得正前方河流的左岸c处的俯角为，无人机沿水平线af方向继续飞行50米至b处，测得正前方河流右岸d处的俯角为30°线段am的长为无人机距地面的铅直高度，点m、c、d在同一条直线上其中tan2，mc503米（1）求无人机的飞行高度am；（结果保留根号）（2）求河流的宽度cd（结果精确到1米，参考数据：21.41，31.73）27（9分）（2020辽阳）如图，我国某海域有a，b两个港口，相距80海里，港口b在港口a的东北方向，点c处有一艘货船，该货船在港口a的北偏西30