专题四曲线运动讲义

1、. . - 优选专题四 曲线运动知识网络：一、运动的合成与分解1、曲线运动（1）曲线运动的条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动，如平抛运动；当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动 （这里的合力可以是万有引力 卫星的运动、 库仑力 电子绕核旋转、 洛仑兹力 带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力 绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力 锥摆、 静摩擦力 水平转盘上的物体等 ） ；如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动， 而速率不断变化 如小球被绳

2、或杆约束着在竖直平面运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直（2）曲线运动的特点：曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。需要重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。2、运动的合成与分解（1）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。重点是判断合运动和分运动，这里分两种情况介绍。一种是研究对象被另一个运动物体所牵连，这个牵连指的是相互作用的牵连，如船在水上航行，水也在流动着。船对地的运动为船对静水的

3、运动与水对地的运动的合运动。一般地，物体的 实际运动就是合运动。第二种情况是物体间没有相互作用力的牵连，只是由于参照物的变换带来了运动的合成问题。如两辆车的运动，甲车以v 甲 8 ms 的速度向东运动，乙车以v 乙 8 ms 的速度向北运动。求甲车相对于乙车的运动速度v 甲对乙。（2）求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果 ”分解，或正交分解。（3）合运动与分运动的特征：等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。（4）物体的运动状态是由初速度状态（v0）和受力情况（f 合）决定的，这是处理复杂

4、运动的力和运动的观点.思路是：曲线运动条件：f合与初速 v0不在一条直线上特例方向：沿切线方向平抛运动匀速圆周运动条件：只受重力，初速水平研究方法：运动的合成和分解规律：水平方向匀速直线运动竖直方向自由落体运动条件： f合与初速 v0垂直特点： v、a 大小不变， 方向时刻变化描述： v、t、a、n、f. . - 优选2vdtdvv21存在中间牵连参照物问题：如人在自动扶梯上行走，可将人对地运动转化为人对梯和梯对地的两个分运动处理。匀变速曲线运动问题：可根据初速度（v0）和受力情况建立直角坐标系，将复杂运动转化为坐标轴上的简单运动来处理。如平抛运动、 带电粒子在匀强电场中的偏转、带电粒子在重力

5、场和电场中的曲线运动等都可以利用这种方法处理。运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。物体运动的轨迹 （直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。常见的类型有：a=0：匀速直线运动或静止。a 恒定：性质为匀变速运动，分为：v、a 同向，匀加速直线运动；v、a 反向，匀减速直线运动；v、a 成

6、角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。（6）过河问题如右图所示，若用v1 表示水速， v2 表示船速，则：过河时间仅由v2 的垂直于岸的分量v决定，即，与v1 无关，所以当v2 岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与 v1 无关。过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当 v1v2 时，最短路程为d ；当 v1v2 时，最短路程程为（如右图所示）（7）连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的， 即绳或杆的

7、长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。【例 1】 如图所示，在河岸上用细绳拉船，使小船靠岸，拉绳的速度为v=8m/s，当拉船头的细绳与水平面的夹角为 =300时，船的速度大小为_【例 2】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为 时，求两小球实际速度之比vavb v1v a1 a o v2 a2 v2 v1 v1 v2 vvdt. . - 优选二、平抛运动当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质

8、为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。1、平抛运动基本规律速度：0vvx，gtvy合速度22yxvvv方向：tan =oxyvgtvv位移 x=vot y=221gt合位移大小： s=22yx方向： tan =tvgxyo2时间由 y=221gt得 t=xy2（由下落的高度y 决定）竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。2应用举例（1）方格问题【例 3】平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔 t，求： v0、g、vc 解析：水平方向：

9、tav20竖直方向：22,taggts先求 c 点的水平分速度vx 和竖直分速度vy，再求合速度vc：412,25,20tavtavtavvcyx（2）临界问题典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值围应是多少？【例 4】已知网高h，半场长 l，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v 的取值围。【例 5】如图所示，长斜面oa的倾角为 ，放在水平地面上，现从顶点 o 以速度 v0 平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离s 是多少？（3）一个有用的推论v0 vt vx vy h s s/ h

10、 h s l v o a . . - 优选平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：设时间t 物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量 vy=2h/t，shvv2tanxy，所以有2tanshs【例 6】从倾角为 =30的斜面顶端以初动能e=6j向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能为_j。3、曲线运动的一般研究方法（1）研究曲线运动的一般方法就是正交分解法。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。【例 7】 如图所示，在竖

11、直平面的xoy 坐标系， oy 表示竖直向上方向。该平面存在沿x 轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy 方向竖直向上抛出，初动能为4j，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中 m 点所示。求：小球在 m 点时的动能e1。在图上标出小球落回x 轴时的位置 n。小球到达n 点时的动能e2。4、斜抛运动分斜上抛和斜下抛（由初速度方向确定）两种，下面以斜上抛运动为例讨论（1）特点：加速度，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角斜向上，为竖直上抛或竖直下抛，为平抛运动（2）常见的处理方法：将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，这样有由此可得如下特点：a斜向上运动

12、的时间与斜向下运动的时间相等： b从轨道最高点将斜抛运动分为前后两段具有对称性，如同一高度上的两点，速度大小相等，速度方向与水平线的夹角大小相等将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解将沿斜面和垂直斜面方向作为x、y轴，分别分解初速和加速度后用运动学公式解题【例 8】 一足球运动员开出角球，球的初速度是20 m/s，初速度方向跟水平面的夹角是37 .如果球在飞行过程中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，g 取 10 m/s2，求：(1)落点与开出点之间的距离；(2)球在运动过程中离地面的最大距离5、类平抛运动3 n . . - 优选在具

13、体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：1、等时性：合运动与分运动经历的时间相等即同时开始，同时进行，同时停止2、独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响3、等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果【例 9】如图所示，光滑斜面长为a，宽为 b，倾角为 。一物块沿斜面上方顶点p 水平射入，而从右下方顶点q离开斜面， 求物块入射的初速度为多少？三、圆周运动、描述圆周运动物理量：1、线速度（1）大小： v= ts

14、(s 是 t 时间通过的弧长) （2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化（3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢2、角速度：（1）大小：=t(是 t 时间半径转过的圆心角) （2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化（3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢3、周期 t、频率 f：作圆周运动的物体运动一周所用的时间,叫周期；单位时间沿圆周绕圆心转过的圈数，叫频率。即周期的倒数。4、v、t、f的关系v=tr2= r=2rf 点评：、t、f，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和 r 有关。5、向心加速度a：（1）大小： a =442222rtrrv2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化（

15、3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。【例 10】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b 点到圆心的距离为r，求图中 a、 b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。a b c d . . - 优选【例 11】如图所示， 一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm 的摩擦小轮， 小轮与自行车车轮的边缘接触。 当车轮转动时， 因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径r1=35cm，小齿轮的半径r2=4.0cm，大齿轮的半径r3=10.0cm。求大齿轮的转速n1 和摩擦小轮的转速n2 之比。、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动

16、动力学问题）1向心力（1）大小：rfmrtmrmrvmmaf22222244向（2）方向：总指向圆心，时刻变化说明： “向心力 ”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力 ” 不一定是物体所受合外力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体， 向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。2处理方法：一般地说， 当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向

17、心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：fn=man 在列方程时， 根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用rtmrmrmv2222或或等各种形式） 。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。如卫星沿椭圆轨道运行时

18、，在远地点和近地点的情况。3处理圆周运动动力学问题的一般步骤：（1）确定研究对象，进行受力分析；（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。4几个典型例题（1）圆锥摆圆锥摆是运动轨迹在水平面的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。【例 12】小球在半径为r 的光滑半球做水平面的匀速圆周运动，试分析图中的 （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期 t的关系。（小球的半径远小于r。 ）解析

19、：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力f是重力 g和支持力n 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：大齿轮小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条. . - 优选22sinsintanmrrmvmg，由此可得：ghgrtgrv2cos2,sintan，（式中 h 为小球轨道平面到球心的高度）。可见， 越大（即轨迹所在平面越高），v 越大， t 越小。点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面做匀速圆周飞行等在水平面的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。（2）轻绳和轻杆模型这类问题的特点是：

20、由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有mgrmvmgf2即grv，否则不能通过最高点。弹力只可能向上，如车过桥。 在这种情况下有：grvmgrmvfmg,2，否则车将离开桥面，做平抛运动。弹力既可能向上又可能向下，如管转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v 可以取任意值。 但可以进一步讨论： 当grv时物体受到的弹力必然是向下的；当grv时

21、物体受到的弹力必然是向上的；当grv时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小fmg 时，向心力只有一解：f +mg；当弹力f=mg 时，向心力等于零。【例 13】如图所示，杆长为l，球的质量为m，杆连球在竖直平面绕轴o 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为f=0.5mg，求这时小球的瞬时速度大小。【例 14】如图所示的装置是在竖直平面放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的 a 处静止开始下滑，沿轨道abc运动后进入圆环作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的34，圆滑半径为r，斜面倾角为 ，sbc=2r。若使小球在圆环能作完整的圆周运动，h 至少为多少？

22、绳. . - 优选（3）综合应用例析【例 15】如图所示，用细绳一端系着的质量为m=0.6kg 的物体 a 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔o 吊着质量为m=0.3kg 的小球 b，a的重心到o 点的距离为0.2m若 a 与转盘间的最大静摩擦力为f=2n，为使小球b保持静止，求转盘绕中心o 旋转的角速度 的取值围（取 g=10m/s2）【例 16】一壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面， 环的半径为r （比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管径相同的小球（可视为质点） a 球的质量为m1，b 球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设 a 球运动到

23、最低点时，b球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、r 与 v0 应满足的关系式是 _四、探究平抛运动物体运动规律1、探究平抛运动物体在竖直方向的运动规律猜测平抛运动的轨迹是一条曲线，且沿这条曲线越往下，曲线的切线方向越趋近于竖直方向，物体的速度方向也越来越趋近于竖直方向，如图所示， 图中21。由机械能守恒定律可知v2v1，由运动的分解不难得知， 物体经过a、b两位置时竖直方向的分速度大小关系为v2yv1y。所以，物体在竖直方向的初速度为零且做加速运动，结合物体竖直方向只受重力作用这一因素，我们不难做出这样的猜测：平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。实验

24、按图所示操作实验，如果小球a确实如猜想的那样竖直方向做自由落体运动， 那么a、b两小球在空中运动的时间应该相等，同时下落，同时着地。仔细观察（不仅用眼看，更要用耳仔细听）可以得知，不管小球距地面的高度为多大，也不管小锤击打金属片的力度多大（小锤击打金属片的力度越大，a小球水平抛出的初速度越大） ，两小球每次都是同时落地。结论上述实验中， 两小球每次都是同时落地，这说明两小球在空中运动的时间相等，也就说明了平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。2、探究平抛运动物体在水平方向的运动规律思路要想知道平抛运动物体在水平方向上运动的特点，关键在于找到物体的水平位移随时间变化的规律。因此， 我们可

25、测量几段相等时间间隔物体在水平方向上的位移，找出其特点，看看这些位移是否相等。实验设法通过实验得到平抛运动的轨迹；在平抛运动的轨迹上找到每隔相等时间物体所到达的位置；测量两相邻位置间的水平位移，分析这些位移的特点。那么，如何通过实验得到平抛运动的轨迹呢？教材提出了三个参考案例：v0v1v2v2yv1y21. . - 优选案例一：利用水平喷出的细水柱显示平抛运动轨迹；案例二：利用斜面小槽等装置记录平抛运动轨迹；案例三：利用数码照相机或数码摄像机记录平抛运动轨迹。怎样才能找到轨迹上每隔相等时间平抛物体所到达的位置呢？有同学可能会提出选用秒表以便测时间， 这是不对的， 因为平抛运动时用秒表测时间很难

26、准确操作，这会带来较大误差。通过前面的实验探究我们已经知道，平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，而自由落体运动下落的高度h是与运动时间t的二次方成正比的，即h12gt2。因此，图中在竖直坐标轴y上，从原点开始向下任取一个坐标为h的点，再找到坐标为4h、9h、16h的点。在物体运动过程中，纵坐标从其中一个位置运动到下一个位置所用的时间都是相等的。过这些点做水平线与轨迹相交，交点就是每经相等时间物体所到达的位置。在误差允许围，实验测得它们对应的横坐标可表示为l、2l、 3l，可见在相等的时间间隔物体在水平方向的位移相等。结论在相等的时间间隔物体在水平方向的位移相等，这说明平抛运动在水平方向

27、做匀速直线运动. 3、描绘平抛运动的轨迹为记录平抛运动轨迹，实验室中较常用的方法是教材介绍参考案例2：利用实验室的斜面小槽等器材装配图所示的装置。钢球从斜槽上同一位置滚下，钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的。设法用铅笔描出小球经过的位置。通过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。该实验所需器材包括：附带金属小球的斜槽，木板及竖直固定支架，白纸，图钉，刻度尺，三角板，重锤，铅笔等。实验步骤如下：安装调整斜槽用图钉把白纸钉在竖直板上，在木板的左上角固定斜槽，可用平衡法调整斜槽， 即将小球轻放在斜槽平直部分的轨道上，如小球能在任意位置静止，就表明水平程度已调好。调整木板用悬挂在槽口的重锤线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直面平行， 然后把重锤线方向记录到钉在木板上的白纸上，固定木板， 使在重复实验的过程中，木板与斜槽的相对位置保持不变。确定坐标原点把小球放在槽口处， 用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点o，o即为坐标原点。描绘运动轨迹用铅笔的笔尖轻轻地靠在木板的平面上，不断调整笔尖的位置，使从斜槽上滚下的小球正好碰到笔尖，然后就用铅笔在该处白纸上点上一个黑点，这就记下了小球球心所对应的位置。 保证小球每次从槽上开始滚下的位置都相同，用同样的方法可找出小球平抛轨迹上的一系列位置。取下白纸， 用平滑的曲线把这些位置