概率论与数理统计 2.6 随机变量函数的分布

1、一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律 随机变量随机变量X X的函数的函数Y=g(X)也是一个随机变量，我们的问题是：也是一个随机变量，我们的问题是：2.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布显然，显然，当是离散型随机变量时，当是离散型随机变量时，=g(X)=g(X)也是离散型随机变量也是离散型随机变量. .设的分布律为设的分布律为Xpx1 x2 xn p1 p2 pn 当随机变量的分布已知时，如何求出当随机变量的分布已知时，如何求出Y=g(X)的分布。的分布。 若若其中其中g(xk)有相同的有相同的, ,则将则将对应概率对应概率合并累加，有合并累加，有当取某值当取某值

2、xk时，取值时，取值yk= g(xk) (k=1,2.)若所有若所有g(xk)的值全不相等，的值全不相等，则的分布律为则的分布律为()()()()ikikkiig xyg xyp Yyp Xxp Ypy1 y2 yn p1 p2 pn 例例1 1 设设随机变量随机变量X的分布律为的分布律为:Xp1 0 1 2求求 (1) Y=2X1的分布律的分布律; (2) Z=(X1)2的分布律的分布律. .0.2 0.3 0.1 0.4解解 (1) Y的所有可能取值为的所有可能取值为3,1,1,3.PY= 3 PX= 1 = 0.2;PY= 1 PX=0 = 0.3;PY=1 PX=1 = 0.1;PY=

3、3 PX=2 = 0.4;Y的分布律列表如下的分布律列表如下:XY=2X11 0 1 2p0.2 0.3 0.1 0.43 1 1 3 (2) Z 的所有可能取值为0,1,4.而PZ=0 PX=1 = 0.1;PZ=1 PX=0 + PX=2 = 0.3+0.4=0.7;PZ=4 PX=1 = 0.2;Z 的分布律列表如下的分布律列表如下: Zp0.1 0.7 0.2 0 1 4 例例2 2 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为1(),1,2.2nP Xnn 的分布律的分布律求sin2YX 337114111122(1)12221512P Y 解解sin1012只可能， ， 取nY 所以

4、的分布律为所以的分布律为 Yp-1 0 121513815594111182(1)12221512P Y 281(0)115153P Y 二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 当当X为连续型随机变量时，为连续型随机变量时，g(X)可以为离散型随机变量，可以为离散型随机变量，也可以是连续型随机变量也可以是连续型随机变量.例例3 设随机变量设随机变量X在区间（在区间（-3,3）上服从均匀分布，令）上服从均匀分布，令 1, 12, 124, 2XYXX 求随机变量求随机变量Y的概率分布及的概率分布及Y的方差的方差D(Y)。解解 Y 的所有可能取值为的所有可能取值为1 ,2 ,4，

5、且有，且有21(1)(1)63P YP X 31(2)( 12)62P YPX 1(4)(2)6P YP X 即的概率分布为即的概率分布为 YP-1 2 41312161114( )-1+2+4=3263E Y 2222111()-1+2+4=5326（ ）E Y 又又故故Y的方差为的方差为222( )()( )429 = 5-( )39D YE YE Y ()()()YFyP YyPg Xy ()()YYd Fypyd y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数 当当g(X)也是连续型随机变量时，我们的也是连续型随机变量时，我们的问题是问题是:如何根如何根据据X的分布（密度函数或分布函数），

6、去求得的分布（密度函数或分布函数），去求得g(X)的密度函的密度函数或分布函数。数或分布函数。 一般地，可先求一般地，可先求Y的分布函数的分布函数 。由定义。由定义()YFy例例4设随机变量的密度函数为设随机变量的密度函数为, 04()80 , Xxxpxo th e rs 求随机变量的密度函数求随机变量的密度函数()Ypy().YFy解解先求的分布函数先求的分布函数当当 时，时，8y ( )()(28)0YFyP YyPXy当当 时，时，16y ( )()(28)1YFyP YyPXy易知，易知，的取值范围是的取值范围是【8,16】，则有，则有88( )( )()()22YYXyypyFyp

7、 则则88()22XyyPXF ()28YFyP YyPXy 当当 时，时，816y8, 816,320, yyothers 1818(), 0482220, yyothers 例例5 5 设设X U(-1,1),求求Y=X2的分布函数与概率密度函数的分布函数与概率密度函数. . 111,20其它Xxpx 1()2yyPyXydxy 当当y0时时( )()YFyP Yy当当0y1时时当当y1时时( )1YFy 2( )()()YFyP YyP Xy解解 由题设知，由题设知，根据定义，根据定义，2( )()()0YFyP YyP Xy1012( )( )0其它YYyypyFy 故所求故所求Y的密

8、度函数为的密度函数为 例例6设随机变量的分布函数设随机变量的分布函数 为严格单增的连续函为严格单增的连续函()XFx().YFy证明证明下求的分布函数下求的分布函数当当 时，时，0y ( )()0YFyP Yy当当 时，时，1y ( )()1YFyP Yy数，且其反函数数，且其反函数 存在存在.则随机变量则随机变量1()XxFy (X )XYF ( 0 , 1 ) .U服从区间（服从区间（0,1）上的均匀分布）上的均匀分布易知，易知， 的取值范围是的取值范围是【0,1】，则有，则有(X )XYF 0 , 0(), 01 1, 1YyFyyyy 11()()() =()YXXXXFyP YyP

9、FXyPXFyFFyy 当当 时，时，01y即随机变量即随机变量 的分布函数为的分布函数为(X )XYF 故，随机变量服故，随机变量服 从区间（从区间（0,1）上的均匀分布。）上的均匀分布。(X )XYF 例例7设随机变量的密度函数为设随机变量的密度函数为22, 0()0 , Xxxpxo th e rs 求随机变量求随机变量sinX 的密度函数的密度函数().Ypy易知，易知， 的取值范围的取值范围是是 ( 0,1】，则有，则有(X )XYF ().YFy解解先求的分布函数先求的分布函数当当 时，时，0y ( )()0YFyP Yy当当 时，时，1y ( )()1YFyP Yyarcsin2

10、20arcsin()sin 0arcsinarcsin22 =YyyFyP YyPXyPXyPyXxxdxdx 当当 时，时，01y对对 求导可得求导可得 ()YFy222222arcsin2(arcsin )2( )(01)111Yyypyyyyy 2 .公式法公式法( ) ( ) |( )|YXpyph yhy 定理定理 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为pX(x),函数函数 y =g(x)严格严格单调，其反函数单调，其反函数x=h(y)有连续导函数，则随机变量有连续导函数，则随机变量Y=g(X)的密度函的密度函数为数为证证 X X的密度函数为的密度函数为22()2

11、1( ),2xXpxex 由由y=g(y=g(x)=)=ax+b+b得其反函数得其反函数( ),ybxh ya 由定理结论得由定理结论得Y=Y=aX+bX+b的密度函数为的密度函数为1( )hya 且例例8 设随机变量设随机变量2( ,)XN ，试证试证YaXb也服从正态分布。也服从正态分布。22()2()1,2|y b aaeya 2(,() )YaXbN ab a所所以以1( )()|YXybpypaa 22()211|2y baea 解解 X X的密度函数为的密度函数为22()21( ),2xXpxex ( )ln ,xh yy1( ) (0)且hyyy 例例9 设随机变量设随机变量2(

12、 ,)XN ，试求试求 的分布的分布.XYe由由 得其反函数得其反函数xye根据公式有根据公式有 的密度函数为的密度函数为XYe2222(ln)2(ln)2( ) ( ) |( )|11 = (0)21 (0)2YXyypyph yhyeyyeyy 此分布称为此分布称为“对数正态分布对数正态分布”，记为，记为2( ,).LN 注意，根据此题结论可知，如果注意，根据此题结论可知，如果 则则2( ,),XLN lnYX必服从正态分布必服从正态分布2( ,).N 由此，若由此，若 则则(1000,100),XLN10001ln10002P XePX例例1010 设设(,)2 2XU 试求试求 Y=tanX Y=tanX 的密度函数的密度函数. .解解 X X的密度函数为的密度函数为1, ( )220, Xxpxothers 因因y=g(y=g(x)=tan)=tanx的反函数为的反函数为x=h(=h(y)=arctan)=arctany, ,且且21( )1hyy 故故Y=tanXY=tanX密度函数为密度函数为211( ), ()1Ypyyy 这一概率分布称为