概率论与数理统计 3.3多维随机变量函数的分布

1、下面分类进行讨论下面分类进行讨论.一、（一、（X,Y )是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量(,)ijkijgxyzp 设设 (X, Y) P(Xxi, Yyj)pij (i, j1, 2, )则 Zg (X, Y)PZzkpk (k1, 2, )3.3 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布(X, Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g (X, Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj) 将上表中将上表中g (X, Y)取相同值的概率予以合并取相同值的概率予以合并,即可求出即可求出g (X, Y)的的分布律分布律.求求 (1) X的分

2、布律的分布律; (2) WXY的分布律的分布律; (3) Vmax(X, Y)的分布律；的分布律； (4) Umin(X, Y)的分布律的分布律; (5) Z=sin(X+Y)2的的分布律分布律. 例例1 1 设随机变量设随机变量X和和Y的联合分布律为的联合分布律为 XY 0 10 1 20.1 0.25 0.150.15 0.2 0.15解解X0 1p则则(X, Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)pij0.1 0.250.150.15 0.2 0.15X000111WXY012123Vmax (X, Y)012112Umin (X, Y)000011Z=sin(

3、X+Y) 20101010.5 0.5W0 1 2 3 p0.1 0.4 0.35 0.15 V0 1 2 p0.1 0.6 0.3(X, Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)pij0.1 0.250.150.15 0.2 0.15X000111WXY012123Vmax (X, Y)012112Umin (X, Y)000011Z=sin(X+Y) 2010101则则U0 1p0.65 0.35Z1 0 1 p0.15 0.45 0.4 例例1 1 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立相互独立且均服从泊松分布，即有且均服从泊松分布，即有 12(),().XPYP

4、试证明随机变量试证明随机变量Z=Z=X+ +Y服从泊松分布，且服从泊松分布，且 12() .ZXYP 证明证明 注意到注意到 的相互独立性，有的相互独立性，有XY与12120!()!ik ikieeiki0()()() () kiP ZkP XYkP Xi P Yki12()i1201!()!kk iikeki ki这说明这说明“泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性” 。12()12() (0,1,2,)!kekk 可以证明，可以证明，二项分布也具有可加性二项分布也具有可加性 。即若即若 b( ,), b( ,)+ b(,)Xn pYn pZXYnm p 二、二、 （X,Y )是二维连续型随机

5、变量是二维连续型随机变量 1.U=g(X,Y),V=h(X,Y) 1.U=g(X,Y),V=h(X,Y)是两个离散型随机变量是两个离散型随机变量 例例 设（设（X,Y)X,Y)在区域在区域 (,) | 01,01Dx yxy 内服从二维均匀分布内服从二维均匀分布. . 令令 0, 0, 2 ,1, 1, 2XYXYUVXYXY 1. 1. 求求 的联合概率分布；的联合概率分布；（，）UV 2. 2. 求求 . .（）E UV二、二、 （X,Y )是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量( ) ( , )ZF zP ZzP g X Yz (,)( ,)g x yzp x y dxdy 然后再求出

6、然后再求出 Z Z 的密度函数的密度函数: :一般的方法：分布函数法一般的方法：分布函数法( )( )ZZpzFz (在在 FZ (z) 的的可导点处可导点处) 先求先求Z=g(X,Y)的分布函数的分布函数: :设设(X,Y)(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 ，则，则 ( , )p x y2. Z=g(X,Y)2. Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量，求其分布是一维连续型随机变量，求其分布例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 1,01,02 ,( , )0,.xyxp x y其他求求 Z=2X-Y的概率密度的概率密度 ( ).Zpz解解 设设FZ(

7、z)为随机变量为随机变量Z的分布函数的分布函数. 则则 当当 z 0 时时 ( )20ZFzP ZzPXYz当当 时时 . 12)(zYXPzFZ2z 1yxO 02 z当时214zz11(1)(2)22zz y=2xy=2x-z( )(2)ZFzPXYz即即Z=2X-Y的分布函数为：的分布函数为： . 2, 20, 0, 1,41, 0)(2zzzzzzFZ故所求的概率密度为故所求的概率密度为 102,1,( )2.0,Zzzpz其他 例例 已知已知(X, Y)p(x, y) (x, y) R2) ,求求ZXY 的的 密度密度函数。函数。解解 由定义由定义, ZXY的分布函数为的分布函数为(

8、 )ZFzP ZzP XYzy y=zx x+y z x ( , )xy zp x y dxdy ( , )z xp x y dy dx 和的分布和的分布令令 y = ux 得得( , )( ,)z xzp x y dyp x ux du 故故( )( ,)zZFzp x ux du dx ( ,)zp x ux dx du 由概率密度函数的定义由概率密度函数的定义,得得Z 的概率密度函数为的概率密度函数为( )( ,)Zpzp x zx dx 特别地,当当X和和Y相互独立时相互独立时,设设(X, Y)关于关于X,Y的边缘密度函数的边缘密度函数分别为分别为pX(x) , pY(y) ,则上述则

9、上述Z的概率密度函数的概率密度函数pZ(z)分别化为分别化为( )( )()ZXYpzpx pzx dx 这个公式称为卷积公式这个公式称为卷积公式.例例3 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且均服从参数为相互独立，且均服从参数为的指数分布。求的指数分布。求 ZXY 的概率密度函数的概率密度函数( ).Zpz解解 由题设易知由题设易知0 +ZXY在（ ， ）内取值，故内取值，故当当 时，时，0z ( )=0Zpz当当 时，时，0z ()20( )( )() ZXYzxz xzpzpx pzx dxeedxze 即即ZXY 的概率密度函数为的概率密度函数为2, 0( )=0, 0zZzezpz

10、z 注：注：ZXY 的分布不再是指数分布，而是伽马分布的分布不再是指数分布，而是伽马分布(2, )ZGa222211( ),;( ),22xyXYpxexpyex 求求 ZXY的的概率密度函数概率密度函数. .解解 由卷积公式由卷积公式( )( )()ZXYpzpx pzx dx 22()2212xzxeedx 2222()()2241122zzzxzxxedxedx 例例4 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们都服从标准正态分它们都服从标准正态分布布N(0,1), 即有即有即即Z服从服从N(0,2)的分布的分布.224 122 ztzxeedtt 令令22441

11、122zzee 一般地一般地,设设设设X,Y相互独立且相互独立且221122(,),(,)XNYN 由卷积公式经计算知由卷积公式经计算知ZXY仍服从正态分布仍服从正态分布,且有且有221212(,)ZN 22()4212zzxeedx 22(0)2 ( 2)122ze 22244111()12222zzteedte且它们相互独立且它们相互独立,则它们的和则它们的和12.nZXXX2221212(.,.)nnZN 更一般地更一般地,可证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合可证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合,仍然服从正态分布仍然服从正态分布.1122.nna Xa Xa X即即 上述

12、结论还可以推广到上述结论还可以推广到n个独立正态随机变量之和的情况个独立正态随机变量之和的情况.即若即若222111222(,),(,),.,(,),nnnXNXNXN 仍服从正态仍服从正态分布分布,且且 最大最大(小小)值的分布值的分布MmaxX, Y , NminX, Y 设设X, Y为二个随机变量为二个随机变量,且且( )max(,)MFzPX Yz( , )F z z ,P Xz Yz ( )min(,)1min(,)NFzPX YzPX Yz当当X与与Y相互独立相互独立时时,有有( )( , )( )( )MXYFzF z zFzFz当当X与与Y相互独立相互独立时且具有相同分布时时且具有相同分布时,有有1,P Xz Yz ( )1,1 1( )1( )NXYFzP Xz YzFzFz2( )( )MXFzFz 2( )1 1( )NXFzFz例例5 设二维随机变量设二维随机变量(X, Y)在区域在区域D上服从均匀分布上服从均匀分布, 其中其中 D=(x,