Ch函数的极限PPT学习教案

1、会计学1Ch函数的极限函数的极限22221, 10(1)0, 101, 10 xf xxx 21, 1(1)0, 1 1, 1,xf xxx 即第1页/共66页6. 22222211,225,52(1) 5(1)(1)xttxf xxf ttxtf ttt 解：令 则即第2页/共66页习题习题 1-3(p32) 7. 100) 15, 160090,0100( )90 0.01(100), 100160075,1600ttxp xxxx 解：(1)0.01(第3页/共66页2( )( )( )9060 ,0100( )90 0.01(100)60 , 10016007560 ,160030 ,

2、0100 ( )31001 , 100160015 ,1600L xR xC xxxxL xxxxxxxxxxL xxxxxx (2)即.2(1000) 31 1000 0.01 100021000L(3)第4页/共66页 第一章 函数的极限函数的极限第5页/共66页 前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取正整数, 且n趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数).并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.第6页/共66页0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)

3、5(x)6( 考虑种自变量的连续变化过程：考虑种自变量的连续变化过程：第7页/共66页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放第8页/共66页;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.第9页/共66页定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim1、定义：、定义：第10页/共66页注注1.1. 将这个定

4、义和数列极限定义相比较, 就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ 正整数N”换成“ 实数X 0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.第11页/共66页.)(lim的几何意义axfx直观地, 表示当自变量 x 无限增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会无限接近于数a. lim( )xf xa从而曲线 y = f (x)会无限接近于直线 y=a .)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 第12页/共66页axyoa+ a XX如图, lim ( )0,0,| ( )|

5、.xf xaXxXf xa 按 定 义就 是， 当时有.)(,axfa即第13页/共66页 任意作直线 y = a. ( 0), 存在X 0. 当 | x | X 时, 如图axyoa+ a XX, lim( )xf xa因此的几何意义是( ).yf x函数图形完全落在以,2ya直线为中心线 宽为的带形区域内第14页/共66页:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxf

6、xx 且且第15页/共66页 lim( )xf xa 的几何意义是直观地, 这个式子表示当 x 0 且 | x |无限增大时, 函数 y=f (x)图象以y = a为渐近线.按定义,作直线 y = a. ( 0), 存在X 0. 当 x X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a 之间. 如图axyoa+ a Xy = f (x)第16页/共66页 lim( )xf xa 的几何意义是直观地, 这个式子表示当 x 0), 存在X 0. 当 x 0”,将“ nN” 换成 “ 0|xx0|0, 正数数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0, 0, 当0|xx0| 时, | f (x)

7、 a | , 则记axfxx)(lim0lim.nnxa则记第22页/共66页而现在 x x0, “ 0|xx0|N” 表示了n充分大这一意思. 第23页/共66页注注定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10正数正数，20正数正数，30不等式不等式)|0(|)(|0 xxAxf定义中定义中 |00 xx0 xx 表示表示所以所以x x0时时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状处的状态态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在在x0附近附近的变化趋势。的变化趋势。第24页/共66页因此, f (x)在x0

8、是否有定义与f (x)在x0是否有极限无关. x x0总表示x无限接近x0, 但x x0这一意思. 0反映了反映了x充分靠近充分靠近x0的程度，它依赖于的程度，它依赖于，对一固定的对一固定的而言，合乎定义要求的而言，合乎定义要求的并不是唯并不是唯一的。一的。由不等式由不等式 |f(x) A| 来选定，来选定，一般地，一般地，越小，越小，越小越小第25页/共66页.)(lim0的几何意义axfxx,)(lim,00时无限接近于表示当自变量直观地xxaxfxx曲线 y = f (x)上对应点的纵坐标会无限接近于 a .|)(|, |0, 0, 0 ,0axfxx时当按定义就是即axfa)(第26页

9、/共66页:)(lim,0的几何意义是因此axfxx0 (0),0, (, ),( ).yaxxyf xya 作直线存在当落在内时 函数的图形夹在两直线之间如图axyoa+ a x0y = f (x)xx0+ .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第27页/共66页例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任任给给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任任给给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xx

10、xx 第28页/共66页例例4. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任任给给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx(本例说明f (x)在x0无定义, 但其极限可能存在)第29页/共66页例 5用极限定义证明. 021lim xx证对于任意给定的, 0 要使021 xx 21 只要,12 x即2ln1ln x)1( 不妨设不妨设就可以了.第30页/共66页因此，对于任意给定的,0 取,2ln1ln X 021x恒成立.所以. 021lim x

11、x注 ： 同理可证：. 0lim xxq而当1 q时，. 0lim xxq10 q时，当则当Xx 时，第31页/共66页例例6 证明证明 2121lim1 xxx证证|12|1|32121 xxxx不妨设不妨设41|1|0 x| )1(21|12| xx|1|21 x214121 |1|6|12|1|32121 xxxxx故故0 6,41min 取取第32页/共66页有有时时当当,|1|0 x 2121xx2121lim1 xxx注注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x) A|进行放大，放大的原则与数列时的情进行放大，放大的原则与数列时的情形完

12、全相同。此外还须注意此时是在形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附的附近考察问题的，对于近考察问题的，对于“附近附近”应如何理解，请应如何理解，请揣摩一下。揣摩一下。第33页/共66页3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy第34页/共66页左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0,

13、 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作第35页/共66页.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例7证证1)1(lim0 x00limlimxxxxxx11lim0 x第36页/共66页0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限

14、是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .第37页/共66页1.局部有界性局部有界性2.唯一性唯一性00lim( ),00,( ).xxf xAMxxf xM定理那么存在常数和使得当0时，有第38页/共66页推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000B

15、AxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设第39页/共66页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论第40页/共66页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)00012(,)(),.() ,(),(),(),( ).nnnnxa ax xxxanxaf xf xf xf xf xxa设在过程可以是或中有数列使得时则称函数

16、值数列即为函数当时的子列定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定理定理第41页/共66页证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又第42页/共66页例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关

17、系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .第43页/共66页即即AxfaxaxxAxfnnnnnax )(lim,)(lim证明证明设设Axfax )(lim即即时时使当使当 |0, 00 xx恒有恒有 |)(|Axf再由再由axnn lim则对上述则对上述, 0N 时时使当使当Nn 有有 |axn又又axn |0axn故故 |)(|AxfnAxfnn )(lim第44页/共66页设对设对axaxxnnn ,都有都有Axfnn )(lim要证要证Axfax )(lim用反证法用反证法若若Ax

18、fax )(lim即即0 x使对，都有 满足0 |xa但但0|()|f xA现取现取n1 有有nx满足满足naxn1|0 即即axaxnn ,但但0|)(| Axfn此与此与Axfnn )(lim矛盾矛盾Axfax )(lim第45页/共66页xy1sin 例例9.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且第46页/共66页 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在

19、不存在故故xx, 0 第47页/共66页函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第48页/共66页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(第49页/共6

20、6页第3次作业习题 1-5(p42) 1.(2) 2.第50页/共66页思考题思考题1试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？第51页/共66页思考题思考题1解答解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第52页/共66页2.若, 0)( xf且.)(limAxf 问：能否保证有

21、0 A的结论？试举例说明 .解不能保证 .例如， 设,1)(xxf , 0 x有, 01)( xxf但.01lim)(limAxxfxx 第53页/共66页.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题第54页/共66页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 第55页/共