CH三重积分的计算PPT课件

1、类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想, 采用采用 引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M .密度函数为密度函数为首先把首先把 M 分成分成 n 个小块个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积的体积记为记为iV 第1页/共70页其次在每个小块其次在每个小块 Vi 上任取一点上任取一点),(iii 则则 Vi 的质量的质量iiiiiVM ),(然后对每个小块然后对每

2、个小块 Vi 的质量求和：的质量求和： niiiiiVM1),( 最后，取极限最后，取极限 niiiiiVM10),(lim 其中其中max0的直径的直径iniV 第2页/共70页第3页/共70页定义定义. 设设存在存在,称为体积元素称为体积元素, 若对若对 作作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如例如: 下列下列“乘乘中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在使得使得V 为为 的的体积体积,

3、积和式积和式” 极限极限记作记作第4页/共70页(1) (1) 三重积分的存在性：三重积分的存在性：(2) (2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义三重积分没有几何意义，但有物理意义. . VzyxfMd),( 说明：说明：第5页/共70页1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后, 推广到一般可

4、积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算. 的的密度函数密度函数 , 方法方法:三重积分的计算三重积分的计算第6页/共70页xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab),(yx如图，如图，,xyDxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点xyDyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 第7页/共70页若把被积函数若把被积函数 f (x , y , z)设想为密度函数设想为密度函数 , 则则在在 Dxy 中任

5、取一微元中任取一微元 , 其坐标为其坐标为 ( x , y ) ,则则 对应的对应的 , 平行于平行于 z 轴的轴的 , 中的细棒质量中的细棒质量 第8页/共70页可以看到可以看到: 的质量就是的质量就是 中所有这种细棒中所有这种细棒质量的无限累积质量的无限累积 , 利用微元法有利用微元法有(1)该公式该公式 称为三重积分的先一后二计算公式。称为三重积分的先一后二计算公式。所以有所以有 ( ) 第9页/共70页则利用二重积分化为则利用二重积分化为二次积分的方法进一步可二次积分的方法进一步可将将 (1) 的积分化为的积分化为三次积分三次积分第10页/共70页该物体的质量为该物体的质量为细长柱体微

6、元的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度微元线密度记作记作方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” )设设 D 为为 在在 xoy 平面上投影区域平面上投影区域.(1) 化成一个定积分和一个二重积分化成一个定积分和一个二重积分第11页/共70页y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzx第12页/共70页x=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyz第13页/共70页化三次积分的步骤：化三次积分

7、的步骤：投影，得平面区域投影，得平面区域穿越法定限，穿入点穿越法定限，穿入点下限，穿出点下限，穿出点上限上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法第14页/共70页z =0y = 0 x =00y x 先画图先画图x0z y1121Dxy: : Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上上顶顶yxz21 ：下底下底z = 0121x + 2y + z =1Dxy其中其中 为三个坐标为三个坐标书例书例计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .面及平面面及平面第15页/共70页解解:其中其中 为三个坐标为三个

8、坐标书例书例计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .面及平面面及平面第16页/共70页典型分析典型分析1为为三三次次积积分分化化三三重重积积分分zyxzyxfIddd ),( 所围成的区域所围成的区域和和由平面由平面 6 1223 63 , 0 , 0 zyxyxyxzy： 第17页/共70页666x+y+z=63x+y=62x0z y第18页/共70页666x+y+z=63x+y=62x0z y第19页/共70页3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42第20页/共70页3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42第21页/共70页z =

9、 0y = 042x+y+z=6x0z y666第22页/共70页42x0z y666D0y x24D yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd第23页/共70页0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围成yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd 是是曲曲顶顶柱柱体体

10、 ：上上顶顶：下底下底第24页/共70页 所围成的区域。所围成的区域。平面平面与与抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : 化化为为三三次次积积分分将将zyxzyxfIddd ),( 典型分析典型分析2第25页/共70页xyzoy2=x第26页/共70页 zx2 2 2 y2=xxyzo第27页/共70页z = 0y=0 2 2 xyzo 。y2=x第28页/共70页zzyxfyxxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy D第29页/共70页EX. 计算计算,ddd)cos(zyxzxy其中其中 是由抛物是由抛物柱面柱面xy

11、及平面及平面y=0, z=0, 所围闭区域所围闭区域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz 0 xy D02yx第30页/共70页例例2. 将将zyxzyxfddd),(化为三次定积分，其中化为三次定积分，其中 是由是由 z = x2+y2 和和 z = 1所围的闭区域所围的闭区域.解：解：先对先对 z 积分，将积分，将 向向 xoy 平平面投影面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2

12、第31页/共70页zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 第32页/共70页解解2：先对先对 y 积分，将积分，将 向向 xoz 平平面投影：面投影：z= x2+y2 Dxoy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz1 12xzy2xzy第33页/共70页 从上面的例子我们可以看到从上面的例子我们可以看到,利用利用“投影法投影法”来计算三重积分需要作图来计算三重积分需要作图,对于对于简单的图形还比较方便简单的图

13、形还比较方便,但复杂一些的问题容易出错但复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的下面我们介绍的“截面法截面法”是比较简单的方法是比较简单的方法,有时可以不作空间图形有时可以不作空间图形.先求二重积分先求二重积分,再求定积分再求定积分.称为称为“截面法截面法” 第34页/共70页 若积分区域若积分区域在在z轴上的投影区域为轴上的投影区域为a , b,对于这区域内任意一点对于这区域内任意一点z,过过z作平面作平面平行于平行于xoy面面,该平面与区域该平面与区域相交为一平面区域记作相交为一平面区域记作Dz,0 xzybzaDz),( ,| ),(zDyxbzazyx 于是积分区域可表示为于是积分区域可

14、表示为: :第35页/共70页 这时三重积分可化为先对区域这时三重积分可化为先对区域Dz求二重积分求二重积分,再对再对z在在 a , b 上求定积分上求定积分 zDccdxdyzyxfdzdVzyxf),(),(21 如果区域如果区域Dz可用不等式可用不等式 y1(z)yy2(z) , x1(y,z)xx2(y,z)表示表示,那么三重积分又可以化为如下的三次积分那么三重积分又可以化为如下的三次积分: ),(),()()(212121),(),(zyxzyxzyzyccdxzyxfdydzdVzyxf 第36页/共70页为底为底, d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该

15、物体的质量为面密度面密度记作记作方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)(1)化为一个二重积分和一个定积分化为一个二重积分和一个定积分第37页/共70页第38页/共70页例例1. 计算计算,ddyxz其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围成的闭区域所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：解：D(z): x2+y2zz 0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3第39页/共70页例例2. 计算计算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1 x yzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx 102d)(121xxx241

16、)(ddxDzy,dddzyxx其中其中 是由平面是由平面 x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.D(x)z=1 x y xy01 x1 x第40页/共70页0 xz yM(x,y, z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z)(r, , z)z = z2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:第41页/共70页z动点动点M(r, , z)柱面柱面Sr =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：x0yzMrz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积

17、分 第42页/共70页动点动点M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：zx0yzMr 2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 第43页/共70页xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的圆柱面；的圆柱面；平面平面 z及及 z+dz；2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 第44页/共70页xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd dz平面平面z+dz元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个

18、坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面；平面平面 z及及 z+dz；第45页/共70页xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .zyxzyxfddd ),( dV元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的圆柱面；的圆柱面；平面平面 z及及 z+dz；第46页/共70页zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1 Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上顶上顶z =

19、 00 xz yDxy 计算计算1zzyxIxyDyxddd 用哪种坐标？用哪种坐标？柱面坐标柱面坐标zzrrrddd2101020 I =4 第47页/共70页zyxyxIddd1122 所所围围锥锥面面 1 , :222 zzyx 0 xz y1Dxy Dxy:rz 1 rz = 1锥面化为锥面化为: r = z1：下下底底：上顶上顶用哪种坐标？用哪种坐标？柱面坐标柱面坐标计算计算第48页/共70页zrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln 102)d111(2rrr0 xz y1Dxy1第49页/共70页例例1. 计算计算,ddd22zyxyx

20、z其中其中 由由22yxz与与 z=1 所围闭区域所围闭区域.解：解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1第50页/共70页zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D第51页/共70页其中其中 为为例例2. 计算三重积计算三重积分分所所解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面由柱面由柱面围成半圆柱体围成半圆柱体.第52页/共70页例例3. 计算三重积计算三重积分分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成 .与

21、平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式 =第53页/共70页的的球球面面坐坐标标就就叫叫做做点点，个个数数面面上上的的投投影影，这这样样的的三三在在点点为为的的角角，这这里里段段逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线轴轴按按轴轴来来看看自自为为从从正正轴轴正正向向所所夹夹的的角角，与与为为有有向向线线段段间间的的距距离离，与与点点点点为为原原来来确确定定，其其中中，三三个个有有次次序序的的数数可可用用为为空空间间内内一一点点，则则点点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 第54页/共70页SrM yz x0r =常

22、数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r , , )球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面第55页/共70页 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面,r 0.20 ,0 规定：规定：第56页/共70页球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxM r zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则第57页/共70页 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd

23、球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r + dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 + d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素第58页/共70页r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dVdV =半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r + dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 + d 第59页/共

24、70页的立体；的立体；由球面，圆锥面所围成由球面，圆锥面所围成积分区域积分区域 )1.,的次序进行积分的次序进行积分一般按一般按 r).()2222zyxf 被积函数为被积函数为第60页/共70页例例1. 计算计算,dddzyxz其中其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：x2+y2+z2=1 r=1而而 0 2 故故用用 = 截截 得得 D( )原积分原积分*2dddsincosrrr)(320ddsincosdDrrxyz0 第61页/共70页xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1第62页/共70页例例2.,ddd)(222zyxzyx22yxz 是由是由其中其中和和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区