个人购房按揭贷款的还款方案探讨

1、个人购房按揭贷款的还款方案探讨一、摘 要 最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。 银行目前有等 额本息还款法 和等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法）两种还款方式，且 一般推荐提供等额本息还款 法。在合理假设的前提下， 运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每 月还款额的模 型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息 还款法偿还贷款本息和每月还 款额的模型，通过计算讨论比较两者偿还贷款本息的 多少，得出等额本金还款法的利息比等额本息 还款法偿还贷款本息少，在贷款人具 有还贷能力的条件下比较省钱。再在前两个静态模型的基础上 建立考虑未来现金的

2、折现的动态模型，进一步说明结果，更具实际性。从静态模型特点得出， 两者偿还贷款本息的多少和本金无关， 并且相同还款方式 下，年数越 小，利率越低，偿还贷款本息越少，我们取贷款月利率为 4.4125 %。,（ 年 利率/12 ） ,贷款 20 万，得到两种方式偿还贷款本息关于年数的关系式，选取典型年数，运用 excel计算选取各年数的偿还贷款本息，并据此作出折线图进行拟和，得 出总体趋势，各年数下，等本不 等息递减还款法计算得到的偿还贷款本息比等额本 息还款法少，随着年数增加，两者偿还贷款本 息都增加，同时差额不断增加。为提高科学性， 从三个方面进行验证： 第一，分析其对利率的灵敏度， 改变利率

3、， 其他不 变，进行重新计算，得到两者偿还贷款本息增加，但是数据和图表的趋势和 原先相同。第二，取 20 年的房贷，其他条件不变，运用 matlab 作两种方法每月还 款额的的图，比较其金额大小，通过 对图形的分析得出，虽然等本金法在前期每月 还款多，但是线形下降的，最后总偿还贷款本息比等 额本息还款法少。第三、通过 计算得出如果提前还贷，偿还贷款本息等本金法比等额本息还款法 少。对问题二，设计了双周还款法，套用静态模型，通过计算 20 万贷款，与原先方 式进行比较， 得到结果是贷款年数在一年内，采用双周法偿还贷款本息会比较少。文章最后对模型进行了评价和推广，在投资理财方面都可以进行运用二、问

4、题重述 最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式 引起了社会各界的关注。银行目前 有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方 式， 且一般推荐提供等额 本息还款法。有人认为一笔 20 万元、 20 年的房贷，两种还款方 式的差额有 1 万 多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月 以相 等的额度平均偿还贷款本息， 直至期满还清； 而等本不等息递减还款法 （简称等 额 本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减， 直至期满还 清。1请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；2是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论； 3给报社写一

5、篇稿子，介绍你的研究成果。三、基本假设与符号说明基本假设：1 、贷款月利率不变 （查资料得目前个人房贷 5-30 年的贷款年利率为 4.95% ） r=4.95%/12=4.125 %每月还息近似用月利率按月计算计算，不到 5 年的也近似用该利率计算2、先不考虑现金净现值（时间因素）3、每月近似按四周算4、贷款人有足够能力支付每月房贷5、银行储蓄利率比贷款率要低6、现金折算率近似银行储蓄利率符号说明：a=贷款本金n= 房贷年数r 二 贷款月利率s=现金折现率x=总利息(按到期日计算)w= 总偿还贷款本息 (按到期日计算 )b=每月付款(等额法)a(i)二第i月归还本金(i=1,2,3?)?x(

6、i)二第i月偿还的利息y(i)=第i月欠银行的钱w1= 等本金法总付房贷款 w2=等本息法总付房贷款=等本金法总付房贷款现值=等本息法总付房贷款现值a=W=a+x等额本金还款法简称等本金法等额本息还款法简称等本息法注：其他符号文中出现时再给定说明四、问题的分析及模型建立 银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减个人购房按揭贷款的还款方式，无 论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额(也称月供 )中包含两个部 分：本金还款和利息还款：月还款额 =当月本金还款 +当月利息 式 1 其中本金还款是真正偿还贷款的。每月还款之后，贷 款的剩余本金就相应减少： 当月剩余本金 =上月剩余本金 -当月

7、本金还款 直到最后一个月，全 部本金偿还完毕。利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。 每月还款中必须将本月本 金所产生的利 息付清：当月利息 二上月剩余本金刈利率式 2其中月利率 二年利率勻 2。由上面利息偿还公式中可见， 月利息是与上月剩余本金成正比的， 由于在贷款初 期，剩余本 金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。 随着还款次数的增多， 剩余本金将逐渐减少， 月还款的利息也相应减少， 直到最后一个月，本金全部还清，利 息付最后一次，下个月将既无本金又无利息， 至此，全部贷款偿还完毕。两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式.

8、其他公式 都可由此导出。要比较两种方法的好坏， 是在相同房贷年数的前提下比较在同一时间点上两者所 付给银行总本 金和利息的多少，省钱的就比较好，这里我们选取比较有代表性的贷 款发生和结束时为计算还款的 共同时间点。(1) 以还清贷款日为计算总偿还贷款本息共同时间点，建立静态模型：1. 等额本金还款方式为还款年数，按月归还贷 款，建立模型 1: 等额本金还款方式 ,每次还款的本金还款数是一样的。 所以还款次数为 当月本金还款 二 总贷款数另还款次数 = 当月利息 二 上月剩余本金刈利率=总贷款数 X ( 1 (还款月数 -1 )必款次数 )胡利率 所以第 i 月还利息为：(=1,2,)易见 是一

9、个以 为首项的等差数列 ,方差为 当月还款额 =当月本金还款当月利息 所以，第 i 月还款为： 总利息 =所有利息之和 根据等差数列求和 :即:总利息二总贷款数 X月利率x(还款次数+ 1)吃 总偿还贷款本息二本金+总利息：由于等额本 金还款每个月的本金还款额是固定的， 而每月的利息是递减的， 因此， 等额本金还款每个月的还 款额是不一样的。开始还得多，而后逐月递减。2. 等额本息还款方式按模型 1 的等额本息还款方式的公式推导见附录一 下面我们从另一个角度建立模型来求解总偿还贷款本息模型 2:第i月欠银行的钱数(i=0,1,2,为每月偿还的贷款，刚开始欠银行钱： 当月欠银行钱 =上月欠银行钱

10、 当月偿还的钱：化简得： =( - ) 即 =( - )最后一年欠款为零 :所以 ( - ) =0五、模型化简求解和验证显然两种方式偿还贷款本息与本金无关， 因此比较 w 大小主要和年数 n 和利率 r 有关。我们 不妨设 a=200000 元，先假设月利率为 4.125 %。，将模型化简。得到两 种方式偿还贷款本息关于 年数的关系式。(1) 研究 w 和 n 关系，即不同年限两种方法的还款额各为多少，通过 excel 制 得图表 1 总还贷额 (元)房贷 等本 等本年数n金法w1息法w2201,201,0.251650.00652.26202,202,0.5887.50897.411205,

11、205,362.50402.972210,210,312.50475.203215,215,262.50628.864220,220,212.50863.855225,226,162.50180.026230,231,112.50577.207235,237,8062.50055.17240,242,9012.50613.68244,248,10962.50252.43249,253,15912.50971.09274,283,20,662.50748.93299,315,30412.50454.4550348,384,912.50314.40447,540,912.50742.80图表1根据

12、这些数据绘制的图表 2如下：注：系列1代表w2,系列2代表w1图表2说明：由于人年满18周岁才可申请房贷，一般还贷最后期限不会超过退休年龄，所以n取到50年，当n超过一年时,年限一般取整，这符合普通大众实际情况。从数据可以看出在年限相同时 w1总比w2要小，因此虽然年数没有用穷举法，但已经揭示了其规律，不影响科学性，并且通过图表更形象看出其趋势。刚开始两者差距不大，但是从n=10时开始差距逐渐拉大.。当n=20时w仁299,412.50w2=315,454.4w2-w1= 16 041.9所以两种还款方式的差额有1 万多元,等额本金法较省钱验证一当r变化时'w的变化趋势，假设r=4.3

13、 %,其他假设不变，通过excel制得图表2总还贷额（元）r=0.004125房贷年数等本金法等本息法0.25201,650.00201,652.260.5202,887.50202,897.411205,362.50205,402.972210,312.50210,475.203215,262.50215,628.864220,212.50220,863.855225,162.50226,180.026230,112.50231,577.207235,062.50237,055.178240,012.50242,613.689244,962.50248,252.4310249,912.502

14、53,971.0915274,662.50283,748.9320299,412.50315,454.4530348,912.50384,314.4050447,912.50540,742.8055图表3根据这些数据绘制的图表 4如下：图表4显然在年限相同时w1总比w2要小当n=20时w1 =303630w2=321036.68w2-w 仁17406.68验证二：a=200000 元4.125%等本金法b当n=20时，每月还款额图表 5如下:等本息法b图表5由图分析可知，两种方法在前几个月每月还款等本金法比等本息法要多，在后期 等本金法每月还款下降很快，从图的面积可看出，总额等本金法较少。验证

15、三：以贷款20万元、期限20年、月利率4.2%来计算，可算出，依旧是本金还款法利息少。假如5年后，市民提前一次性还清贷款，根据本息还款法计算，5年中，已还本金49457元，已还利息69733元，需一次性付清所剩的本金 250543元；根据本金还款法计算，5年中，已还本金 75000元，已还利息 66308元，再 一次还款225000元就行了。 两种还款方法比较之下，本金还款法所支付利息比本息还款法少3425元。(2) 以贷款日为计算总偿还贷款本息共同时间点，考虑时间价值，对模型1，2进行改进，以月利率s=/12=2.7 75 % (3.33%为当前年银行存款利率),将两种还款方式下 每月还 本

16、付息折现到贷款发放日，建立动态模型:改进模型1= +a/12n，根据现值计算公式化为:改进模型2 :同理可得 说明：显然两种方式好坏与本金无关，因此比较w大小主要和年数n和利率r有关。我们不妨设 a=200000元，假设月利率为 4.125%, n=20,a=200000,用matlab 求解 ww1,ww2,程序源代码见附录二说明：差额并没有原先模型那样大，但等本金法仍比等额法还款少。(3) 其他模型的建立(不考虑折现)：由于本金是一定要还的,各种方法的本金都是一样的,因此我们研究其他还款方式因着重考虑利息，根据w1,w2公式和图表2看出，相同还款方式利率越低，年限越 少,还款总额越少,因此

17、已经贷款的可以考虑提前还贷，每种还款方式都是根据借款人剩余本金的多少计算利息的。不同的是，有的还款方式归还本金的速度比较快，有的则较慢，由此导致不同还款方式总利息的不同。根据贷款偿还原理根和图表1可知，还款年数 少，前期还本金多比较核算。假设现在按双周还款 R=r/2=0.004125/2=0.002， www1,www2分别为等本金法图表6和等本息法的总还款额，改进模型1和模型2，得到模型3:n=20，a=200000 ，R=0.002,用 excel 得房贷年数到本金法等本金法等本息法等本息法w1www1w2 www20.25201,650.00201,485.71201,652.2620

18、1,488.400.5202,887.50202,771.43202,897.41202,782.371205,362.50205,342.86205,402.97205,386.832210,312.50210,485.71210,475.20210,661.773215,262.50215,628.57215,628.86216,024.694220,212.50220,771.43220,863.85221,475.475225,162.50225,914.29226,180.02227,013.956230,112.50231,057.14231,577.20232,639.93723

19、5,062.50236,200.00237,055.17238,353.148240,012.50241,342.86242,613.68244,153.299244,962.50246,485.71248,252.43250,040.0510249,912.50251,628.57253,971.09256,013.0115274,662.50277,342.86283,748.93287,154.5420299,412.50303,057.14315,454.45320,369.7330348,912.50354,485.71384,314.40392,634.0150447,912.50

20、457,342.86540,742.80556,961.68由表可得出在一年内，双周法比较合算。银行推出不同的房贷方式， 只是为了满足收入情况不同的各种借款人的需要。 虽 然理论 上总还款额比较少的比较核算，实际生活中要看是否适合自己的经济状况。选择还款方式的关键是要与自己的收入趋势相匹配，尽量使收入曲线和供款相一致。在有还贷能力情况下尽量选择总还款额比较少。等额本金还款 :适合目前收入较高的人群。借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。这种还款方式相对同样期限 的等额本息法，总的 利息支出较低。等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算

21、。 还款初期利 息占每适用于现期收入月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。等额本息还款法更 少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳 定的人士，固定利率 :进入加息周期较合算目前国内借款人与银行已签订的房贷合同都是浮动利率的， 央行每一次加息， 借款人的月供就要有相应地增加。 在贷款合同签订时， 即设定好固 定的利率，不论贷款期内利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付 利息，但风险较大。按期付息还本 :适合房产投资客，借款人通过和银行协商，为贷款本金和利息归 还制订不 同还款时间单位。即自主决定按月、季度或年等时间间隔还款。实际上， 就是借款人按照不同 财务状况

22、，把每个月要还的钱凑成几个月一起还。还可以有递增法， 气球贷等等， 核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本 金和利 息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。六、模型的优缺点与改进方向1、模型的优点：（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（2）本文建立离的模型有相应的软件支持，推光容易。（3）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。（4）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。（5）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。（6）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。2、模型缺点：（1）模

23、型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来3、模型的改进（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平4、模型的推广可以用文中所用到模型计算各期应还贷款， 可以用于计算公司的投资收益， 净现 金流。 证券和房地产投资方面也可以很好的进行评估。六、参考文献1 吴建国 .数学建模案里例精编 .北京：中国水利水电出版社 , p289-p309,20062 冯伟，黄力伟，王勤，尹成义.数学建模原理与案

24、例：科学出版社，p204-p233,20073 周开利，邓春晖 .MATLAB 基础及其应用教程：北京大学出版社， p185-194,20074 Mark M.Meerschaert.Mathematical Modeling（Second Edition）：机械工业出 版社，p43-p50,2005七、附录附录一 等额本息还款方式的公式推导设：总贷款额 =a 还款次数 =n 还款月利率 =r 月还款额 =乂 b当月本金还款=y(i) 口=还款月数)第一个月，当月本金为全部贷款额 = a, 因此： 第一个月的利息 =ar 第一个月的本金还款额 Y(1) = b 第一个月的利息 =b ar 第一

25、个月剩余本金 =总贷款额 -第一个月本金还款额=a ( b ar)=ax(l + r) b 第二个月，当月利息还款额 =上月剩余本金刈利率第二个月的利息 =(ax(l + r)b) M 第二个月的本金还款额 Y(i) = b 第二个月的利息=b ( ax (1 + r) b) XT 第二个月剩余本金 =第一个月剩余本金第二个月本金还款额 =ax (1 + r) b ( b ( ax (1 + r) a) X) =ax (1 + r) b b+( ax (1 + r) b) X =ax (1 + r) A2 a +(1 + r) X)(1+r)A2表示(1+r)的2次方第三个月的利息 =第二个月

26、剩余本金 x 月利率第三个月的利息 =(ax (1 + r) A2 a +(1 + r) X) X 第三个月的本金还款额Y(3) = b 第三个月的利息=b( ax (1 + r) A2 b +(1 + r) Xb ) X 第三个月剩余本金 =第二个月剩余本金一第三个月的本金还款额=ax (1 + r) A2 b +(1 + r) X) (a(ax(1+ r)A2b+(1+ r) xb) xr)=ax (1 + r) A2 b +(1 + r) X)(b(ax(1+ r)A2xr+b+(1+ r) xb) xr)=ax (1 + r) A2x (1 + r) (b+ b+(1+ r)xb x(

27、1+ r)=ax (1 + r) A3 b+(l + r) xb+(l + r) A2xb 上式可以分成两个部分第一部分： ax(l+ r) A3第二部分： b+(l+ r) xb+(l+ r)A2xb=bx 1+(1+ r) + (1+ r) A2 通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：剩余本金中的第一部分=总贷款额X (1 +月利率)的n次方，(其中门=还款 月数) 剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以(1+月利率)为比例系数，月还款 额为常数系数，项数为还款月数 n。推广到任意月份：第n月的剩余本金=ax (1 + r) a n bXs( n ) (s(n)为(

28、1 + r)的等比数列的前 n 项和 )根据等比数列的前 n 项和公式：1+ z + zA2 + zA3 + .+ zA n=(1 zA n)/(1 z) 可以得出b XS( n) = bx (1 (1+ r)人门)/( 1 (1+ r)=bx (1+ r) An 1)/ r所以，第 n 月的剩余本金 =ax (1 + r) A n bx (1 + r) A n 1)/ r 由于最后一个月本金将全部还完，所以当n 等于还款次数时，剩余本金为零。剩余本金=ax (1 + r)八门bx (1 + r)人门一1)/ r = 0从而得出月还款额b = axr x(1 + r)人门 *(1 + r)人门

29、 一 1)=总贷款额X月利率X(1 +月利率)八还款次数* (1 +月利率)A还款次数一1 附录二 等额本 金还款法”的还款总额的计算源代码：M-file:function s = summ1( n )%SUMM1 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres = 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a ./ n + (a - (i - 1) .* a) ./ n) .* r) ./ (1 + d) .A i);s = s + db;en

30、dinput:>> summ1(240)output:ans =2.3582e+005等额本息还款法”的还款总额的计算源代码：M-file:function s = summ2( n )%SUMM2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres = 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a * (r .* (1 + r) .A n) / (1 + r) . A n - 1) / (1 + d) . A i);s = s + db

31、;endinput: >> summ(240) output:ans =2.3879e+00附录三 给报社写一篇稿子，介绍研究成果唯有适合的才是最好的 如何选择住房贷款还款方式亲爱的读者朋友 :你们好 !最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。银行目前 有等额本 息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式， 且一般推荐提供等额 本息还款法。有 人认为一笔 20 万元、 20 年的房贷，两种还款方式的差额有 1万 多元，认为银行在隐瞒 信息，赚消费者的钱。所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还 清；而等 本不等息递减还款法 （ 简称等额本

32、金还款法 ） ，即每月偿还贷款本金相 同，而利息随本金的 减少而逐月递减，直至期满还清。尽管等额本金还款法被炒得沸沸扬扬，但是很多市民还是不太清楚自己究竟 适合哪种 还款方式。 从测算的结果来看， 等额本金还款方式肯定要比等额本息方 式支付的利息 少。借款人可根据自己的经济状况和还款意愿自主选择还贷方式。假定借款人从银行获得一笔 20 万元的个人住房贷款，贷款期限 20 年，贷款 月利率4.125 %o,每月还本付息。不考虑时间因素，将每月还本付息额简单累加，在整个还款期内，等额本金 还款法下借款人共付本息 299,412.50 元,而等额本息法共付利息 315,454.45 元,两者相 比, 等额本金还款法少付 17406.68 元。考虑时间因素 , 以折现率 2 .275 %计算,等额本金还款法下借款人共付本息 元,而等额本息法共付利息 元,两者相比, 等额本金还款法少付 3650 元。二、提前还贷：还是“本金法”省钱 有些市民在买房后 ,可能会提前还贷 , 那么,在这种 情况下,哪种还款法省 钱呢？仍以贷款 20万元、期限 20 年、月利率 4 . 2 %来计算,可算 出, 依旧是本 金还款法利息少。假如 5 年后，市民提前一次性还清贷款，根据本息还款法计算， 5 年中，已 还本金 49457