计算机控制技术课件：第7章 控制规律的离散化设计方法(z变换、大林算法、D(Z)的计算机实现)

1、第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法第第5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.1 离散系统分析基础离散系统分析基础 5.2 离散系统性能分析离散系统性能分析 5.3 数字控制器直接设计数字控制器直接设计 5.4 大林大林(Dahlin)算法算法 5.5 数字控制器数字控制器D(z)算法实现算法实现 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法5.1 离散系统分析基础离散系统分析基础 在连续系统连续系统分析中，应用拉氏变换拉氏变换作为数学工具，将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传传递函数递函数为基础的复域分析法，使

2、得问题得以大大简化。在离散系统离散系统分析中，采用Z变换法变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以 Z传递函数传递函数 为基础的复域分析法。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.1.1 Z变换及性质变换及性质 1. Z变换定义变换定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉氏变换演变而来的。 在一定条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样理想采样。将连续信号e(t)通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)。 e*(t)是一组理想的脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为 0( )()()ke t

3、e kTtkT(51) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 对式(51)进行拉氏变换，得0( )( )()kTskEsL e te kTe(52) 式中含有无穷多项，且每一项中含有e-kTs。 为了运算方便，引入新的变量z，令z=eTs，则式(52)可改写为0( )()kkE ze kTz(53) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 在式(53)中E(z)称为e *(t)的Z变换变换。记作： Ze *(t)=E(z) 因为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也可写为： Ze(t)=E(z) 将式(53)展开，得 E(z)=e(0)z-

4、0+e(1)z-1+e(2)z-2+e(m)z-m+ (54)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数。其一般项e(kT)z-k的物理意义物理意义是z的幂次表征采样脉冲出现的时刻；e(kT)表征采样脉冲的幅值。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2.Z变换的计算方法变换的计算方法求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行： e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e *(t)； 求e *(t)的拉氏变换，给出 在E *(s)中用z替换eTs，给出 0( )( )()kTskEsL e te kT

5、e0( )()kkE ze kTz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法Z变换的计算方法有以下几种：变换的计算方法有以下几种： 1) 级数求和法级数求和法 级数求和法就是根据Z变换的定义式，求函数e(t)的Z变换。下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应用级数求和法计算Z变换。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例51】求单位阶跃函数的Z变换 解：设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得： 1230( )1()1kkE zkTzzzz (55) 这是一个公比为z-1的等比级数，当|z-1|1亦即|z|1时，级数收敛，则式(55)可写成

6、闭合形式： 11( )11zE zzz(56) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例52】单位斜坡信号。 解： 设e(t)=t，求Z变换E(z)，则0( )()kkE zkTz20( )()(1)(1)kkTzE zkTzzz(57)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例53】指数函数。 解 设e(t)=e-at，求Z变换E(z)，a为实常数，则122330( )1kTkTTTkE zezezezez (58) 这是一个公比为e-aTz-1的等比级数，当|e-aTz -1|1时， 级数收敛，则式(58)可写成闭合形式： 11(

7、)1TTzE zezze(59) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2) 部分分式展开法部分分式展开法 用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。其解法的具体步骤是：己知E(s)，将其分解成部分分式之和，查变换表求时间函数e(t)L-1E(s)，利用式(53)或查Z变换表求出E(z)。 设连续时间函数(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数 ( )( )( )M sE sN s(510) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 式(510)中，M(s)和N(s)分别为复变量的有理多项

8、式。 当N(s)没有重根 (即E(s)没有重极点) 时，可将E(s)展开成部分分式和的形式，即 1( )niiiAE ssp(511) 式(511)中，pi是拉氏变换式E(s)的第i个极点，即N(s)的零点；Ai是第i项系数，可用待定系数法求得，即当N(s)已分解为因式乘积时( )()( )iiis pM sAspN s(512) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 由拉氏变换知道，与Ai /(s-pi)相对应的时间函数为Aiepit。 根据式(59)便可求得与Ai /(s-pi)项对应的Z变换为 11iiiip Tp TAAzezze第第5 5章章 控制规律的离

9、散化设计方法控制规律的离散化设计方法 因此，函数(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作 111( ) ( )1iinniip Tp TiiAAzE zZ E sezze(513) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例54】已知 ( )()E ss sa，求它的Z变换E(z)。解：先对E(s)进行部分分式分解11( )()E ss sassa第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法查表得 11211211( ) 1111( )11(1)( )( )11(1)()(1)(1)TTTTTTTTzE zZszzzEzZsaezzzzzeE

10、zZE szezzzezezeze第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 3) 留数计算法留数计算法 若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全部极点pi(i1，2，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下列留数计算求得，即1111( )Re ()1() ( )(1)!iiiinip Tirnis prsTiizE zs E pzedzsp E srdsze(514) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 式中，n为全部极点数，ri为极点pi的重数，T为采样周期。 因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部极点p的条件下，可

11、采用式(514)求e(t)的Z变换式。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例55】已知控制系统的传递函数为 ，求其Z变换式。 解：由传递函数求出的极点为：s1=-1，r1=1； s2=-4，r2=1。Z变换式为1( )(1)(4)E sss1441( )(1)(1)(4)1(4)(1)(4)3()3()ssTssTTTzE zssszezssszezzzeze第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例56】求连续时间函数 00( )0Tte ttet对应的Z变换式。 解：e(t)的拉氏变换为 21( )()E ssa则s1,2=-a，

12、 r1,2=2。用式(514)对它进行变换后，得222211( )()(21)!()()()sasasTsTTsTTdzE zsadssazeT zeTzezeze第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 3. Z变换基本定理变换基本定理 与拉氏变换类似，在Z变换中也有一些基本定理，它们可以使Z变换变得简单和方便。 1) 线性定理线性定理 若已知e1(t)和e2(t)有Z变换分别为E1(z)和E2(z)，且a1和a2为常数，则 Za1e1(t)a2e2(t)=a1E1(z)a2E2(z) (515)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2)

13、右位移定理（延迟定理）右位移定理（延迟定理） 若Ze(t)=E(z)，则 Ze(t-nT)=z-nE(z) (516) 其中，n为正整数。 说明：该定理表明，“t”域中的采样信号e*(t)时间上延迟n步，则对应于在“z”域中*(t)的Z变换E(z)乘以n步延迟因子z-n。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 3) 左位移定理（超前定理）左位移定理（超前定理） 若Ze(t)=E(z)，则12(1)10( () ( )(0)( )( )(1) ( )()nnnnkkZ e tnTzE zee T ze T ze nT zzE ze kT z(517) 其中，n为正整数。

14、 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例57】求被延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。 解：应用右移位(延迟)定理，有111()1( )11zzZtTz Ztzzz 4) 复位移定理复位移定理 若函数e(t)有Z变换E(z)，则 ( )ttZ ee tE ze(518) 式中，a是常数。 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5) 初值定理初值定理 若Ze(t)=E(z)，且极限 存在，则当t=0时的采样信号e *(t)的初值e(0)取决于 的极限值，即 lim( )zE zlim( )zE z0(0)lim()lim( )nz

15、eE nTE z(519) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 6) 终值定理终值定理 若Ze(t)=E(z)，且(1-z-1)E(z)在单位圆上和单位圆外无极点(该条件确保e *(t)存在有界终值)，则有 111( )lim()lim(1) ( )lim(1) ( )nzzeE nTzE zzE z (520) 根据初值定理和终值定理，可以直接由Z变换式E(z)获得相应的采样时间序列e(kT)的初值和终值。 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法【例58】 已知Z变换为 ，其中|a|1。求序列e(kT)的初值和终值。 解：(1)由初值定

16、理，得e(kT)的初值为 111( )(1)(1)E zzaz111(0)lim1(1)(1)zezaz(2)因 111(1) ( ),1zE zaz极点|a|1，在单位圆内故可以利用终值定理求终值，即111111( )lim ()lim(1) ( )lim11xzzee kTzE zaza 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.1.2 Z反变换反变换 1.长除法长除法 通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比，即 1201112012( )mmmmnnnnb zb zb zbE za za za za(521) 对式(521)用分子除以分母，并将

17、商按z-1的升幂排列，有 120120( )kkkkkE zcc zc zc zc z(522) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 式(522)恰为Z变换的定义式，其系数ck(k=0，1，2，)就是e(t)在采样时刻t=kT时的值e(kT)。此法在实际中应用较为方便，通常计算有限n项就够了，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法【例59】已知 10( ),(1)(2)zE zzz试求其Z反变换。 解 1121231211212323434345451010( )(1)(2)1321030701

18、32101030203020309060706070210140150140zzE zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 应用上面的长除法，可得 E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+ 所以 e *(t)=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2. 部分分式展开法部分分式展开法 Z变换函数E(z)可用部分分式展开的方法将其变成分式和的形式，然后通过Z变换表(见附录)找出展开式中每一项所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样

19、信号e *(t)。 参照Z变换表可以看到，所有Z变换函数E(z)在其分子上都有因子z。因此，我们可以先把E(z)除以z，并将E(z)/z展开成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以z，即得E(z)的部分分式展开式。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法下面按E(z)的特征方程有、无重根两种情况举例说明。 1) 特征方程无重根特征方程无重根【例510】给定Z变换(1)( )(1)()aTaTezE zzze式中a是常数，用部分分式法求E(z)的Z反变换e*(t)。解 E(z)的特征方程式为(z-1)(z-e-aT)=0，解之得 z1=1，z2=e-T将E(z)/z展成部

20、分分式 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法可得 12( )1aTE zAAzzZe1211122( )1()1( )1()11aTaTz zzaTaTz zz eE zeAzzzzeE zeAzzzz 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法所以 0( )1()1( )(1) ()aTakTakTkzzE zzzee kTee tetkT 查Z变换表得 所以采样函数为 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2) 特征方程有重根特征方程有重根 【例511】已知Z变换 222( )21zzE zzz解：E(z)的特征

21、方程式为，求其Z反变换。 2122221112210( )(1)1( )( 31)(1)(1)2(1)zzzzE zAAzzzE zzAzzzz z 解得z1,2=1为两重根。设 可得第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法2122211( )(1)(1)( )(1)( 31)3zzE zzAzAzdE zdAzzdzzdz 再将上式两端对z求导，得 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法22( )23(1)123( )(1)1( )23 1( )E zzzzzzE zzze ttt 所以 故 查表得所以采样函数为 0( ) 23 1() ()

22、ke tkTkTtkT 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法1111() ( )()Re ( )inkinkz zie kTE z ze kTs E z z3. 留数计算法留数计算法 式中，n是E(z)zk-1的极点数；ResE(z)zk-1 z=zi表示E(z)zk-1在E(z)极点zi上的留数。 已知Z变换函数E(Z)，可用留数计算法求其反变换。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法当zi为非重极点时， 111111Re ( )lim() ( )1Re ( )lim()( )(1)!iiiiiiikkz zizzrrkkz zirzzi

23、s E z zzz E z zds E z zzzE z zrdz当zi为ri重极点时， 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例512】已知Z变换 (1)( )(1)()aTaTezE zzze试用留数计算其Z反变换。解：E(z)的两个极点是z1=1，z2=e-aT，则2111(1)()Re (1)()(1)(1)(1)()(1)()(1)()1aTaTkaTiaTkaTkaTzaTaTz eakTeze kTszzzeezezzzezzezzee 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 采样函数为 0()(1) ()akTke kTe

24、tkT第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例513】已知Z变换 试用留数计算其Z反变换。 解：E(z)的两个极点z1,2=0.5，则2(1)( )(0.5)z zE zz1,21,21,210.522120.510.5(1)()Re (0.5)1(1)lim(0.5)(21)!(0.5)lim (1)(1)0.5kxkxkkxkz ze kTszzdz zzzdzzkzkzk第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法采样函数为 0()0.5 (1) ()kke kTktkT说明：用留数计算法求出的Z反变换式是闭合形式。第第5 5章章 控制规

25、律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.1.3 用用Z变换解差分方程变换解差分方程 在连续系统中，用拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程，使复杂的微积分运算变成简单的代数运算。 同样在线性离散系统中，用Z变换求解差分方程变换求解差分方程，既是将求解运算变换为以z为变量的代数方程进行代数运算。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法差分方程：差分方程：在线性离散系统中，描述系统输入采样信号在线性离散系统中，描述系统输入采样信号与输出采样信号关系的方程。与输出采样信号关系的方程。例如：例如：求解差分方程：求解差分方程：就是已知差分方程及输入采样脉冲序列就是已知差

26、分方程及输入采样脉冲序列,在给定输出采样脉冲序列初始值的情况下在给定输出采样脉冲序列初始值的情况下,求解输出采样求解输出采样脉冲序列。脉冲序列。)()()2()()()()()2()()(1210121mTkTrbTmTkTrbTkTrbTkTrbkTrbnTkTyaTnTkTyaTkTyaTkTyakTymmnn第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法用Z变换求解差分方程主要用到Z变换的左位移定理左位移定理（超前定理）右位移定理右位移定理（延迟定理） Ze(t-nT)=z-nE(z)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 用Z变换求解差分方程

27、的一般步骤： (1)对差分方程作Z变换； (2)利用已知初始条件或求出的Y(0)，Y(T)代入Z变换； (3)由Z变换式，将差分方程变为以z为变量的代数方程:10111011( )mmmmnnnnb zb zbzbX za za zaza (4)由Y(Z)得 y(kT)=Z-1Y(z)，运用长除法、部分分式法或留数计算法求解它的时间响应y(kT)。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例514】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始条件为x(0)=0，x(1)=1，试求其时间响应式。 解:根据左移定理，其差分方程的Z变换式为 z2X(z)-z2x(

28、0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0 整理后得2( )22(1(2)zzX zzzzz( )12zzX zzz22(3 )(0)(1)( )32zzxz xX zzz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法查表得 111( 1)( 1)( 2)( 2)nnnzZazazZzzZz 所以有 即时间响应为 x(n)=(-1)n-(-2)n n=0,1,2, 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例515】用Z变换方法求差分方程 y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1，y(1

29、)=2.4，u(0)=1，u(k)=1(k)为单位序列。 解：对差分方程等号两边进行Z变换，得 z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z) =1.2zU(z)-1.2zu(0)同类项合并，得 (z2-1.2z+0.32)Y(z) =1.2zU(z)+(z2-1.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)将初始值代入整理，得第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 又因 ，得2221.2( )( )1.20.321.20.32zzY zU zzzzz( )1( )1zU zZkz2222321.2( )(1.20.32)

30、(1)1.20.320.2(0.8)(0.4)(1)zzY zzzzzzzzzzz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 上式有三个单极点：0.8，0.4，1。用留数计算可得311220.80.421( )Re ( )(0.2 )(0.2 )limlim(0.4)(1)(0.8)(1)(0.2 )lim(0.8)(0.4)10 0.80.410 1(0)kikkzzkzkkky ks Y z zzz zzz zzzzzzz zzzk 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.1.4 脉冲传递函数及方框图分析脉冲传递函数及方框图分析 在分析线

31、性常系数离散系统时，z传递函数传递函数是个很重要的概念，将用z传递函数来描述系统特性。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 1.传递函数定义传递函数定义 z传递函数又称脉冲传递函数。如果系统的初始条件为零，输入信号为r(t)，经采样后r*(t)的Z变换为R(z)，连续部分输出为c(t)，采样后c*(t)的Z变换为C(z)，如图51所示。开环传递函数开环传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，用G(z)表示( )( )( )C zG zR z第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图51 开环采样系统 r(t)r*(t)c

32、(t)C(z)R(z)G(z)G(z)TT第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 若已知系统的z传递函数G(z)及输入信号的Z变换R(z)，则输出的采样信号就可求得，即 c *(t)=Z-1C(z)=Z-1G(z)R(z) 因此，求解c*(t)关键就在于怎样求出系统的Z传递函数G(z)。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 2.脉冲传递函数的求法脉冲传递函数的求法 （1）由差分方程求）由差分方程求其方法为：1）令初始条件为零，对差分方程两边作为z变换（查z变换表及用z变换定理）；根据脉冲传递函数的定义，求出脉冲传递函数G(z)=C(z)/R

33、(z) 。 （2）由系统连续信号的传递函数）由系统连续信号的传递函数G(s)求求其方法为：1）对G(s)展成部分分式；2）查Z变换表求出各个分式的z变换，其结果即为系统的脉冲 传递函数G(z)。 （3）由系统结构图求）由系统结构图求第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例516】设连续对象的传递函数为 ，试求其z传递函数。 解 系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为 0( )aG ssa1(1)( )()TsTseaeaG sss as s a第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法其z传递函数为 1111111(1)( )(1)(

34、)()11(1)11(1)()11(1)11TsaTaTaTaTaTeaaG zZzZs sas sazZssazzezezeezze第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 3.串联环节的串联环节的z传递函数传递函数 串联环节的z传递函数求法与连续传递函数求法类似。不过，离散环节串联时传递函数的求法更复杂些。 此时，有三种情况需要考虑，如图52所示。 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图52 三种环节串联形式 G(z)R(z)(a)G1(z)G2(z)C(z)G(z)R(z)(b)G1(s)G2(s)C(z)TTG(z)R(z)(c)G1

35、(s)G2(s)C(z)TTT第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 图52(a)为两个已经离散的环节串联，其总的脉冲传递函数G(z)等于两个环节的脉冲传递函数的乘积，即G(z)=G1(z)G2(z)；图52(b)为两个连续环节串联，其总的传递函数G(z)就等于两个环节串联后再取Z变换，即G(z)=ZG1(s)G2(s)；图52(c)为两个连续环节串联，但中间有采样开关，这时总的传递函数G(z)就等于两个环节取Z变换后再相乘，即G(z)=ZG1(s)ZG2(s)=G1(z)G2(z)。 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 由此可以得出结论

36、： (1)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的z传递函数等于两个环节传递函数乘积的相应Z变换。 显然，这个结论可以推广到n个环节串联而无采样开关隔开的情况，这时整个开环系统的z传递函数等于n个环节传递函数乘积的Z变换，即 G(z)=ZG1(s)G2(s)Gn(s)=G1G2Gn(z) 注意：注意：G1(z)G2(z)Gn(z)G1G2Gn(z)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 (2)当开环系统由两个线性环节串联而环节之间有采样开关时，开环系统的z传递函数等于两个环节的z传递函数之乘积。 这一点也可以推广到n个线性单元串联，每个中间都

37、有采样开关隔开，其传递函数为 1( )( )niiG zG z第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 4.并联环节传递函数并联环节传递函数 图53(a)为离散环节并联，总的脉冲传递函数为G(z)=G1(z)+G2(z)； 图53(b)为连续环节并联，但输入输出带采样 开关，其总的脉冲传递函数为G(z)=ZG1(s)+G2(s)=G1(z)+G2(z)； 图53(c)为分别带采样开关的连续环节并联，其总的脉冲传函为 G(z)=ZG1(s)+ZG2(s)=G1(z)+G2(z)。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图53 三种环节并联形式 (a

38、)G(z)R(z)C(z)TG1(z)G2(z)(b)G(z)R(s)C(z)G1(s)G2(s)TT(c)G(z)R(s)C(z)G1(s)G2(s)TT第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例517】已知 ,分别将它连成图5-2(b)、(c)形式,试分别求它们各自的传递函数G(z)。 解 按图52(b)的结构121( ),( )aG sG sssa1211( )( )( )(1)1(1)()aTaTaTaaG sZ G s G sZZs sassazzzezzezze第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 按图52(c)的结构 122

39、1( )( ) ( )1(1)()aTaTaG sZ G s Z G sZZssazazazzzezze 说明：由例517可知，系统结构不同，G(z)值就不一样。这一结论对环节作并联时也适用。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5. 闭环传递函数闭环传递函数 闭环传递函数：在闭环系统中，输出采样信号的 Z变换与输入采样信号的Z变换之比。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 【例518】一个计算机控制系统的结构如图55所示，试求该系统的闭环z传递函数。图55 计算机控制系统结构图 H(s)D(s)Gh(s)Go(s)G(s)U(z)E(s

40、)R(z)C(z)C(s)R(s)E(z)B(s)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 解 由图可知几种信号的关系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z变换式为C(z)=G(z)D(z)E(z)E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z变换式为E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z)所以 C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法故闭环传递函数为 ( )( ) ( )( )( )1( )( )C zD z G z

41、zR zD z HG z( ) ( )( )( )1( )( )D z G zC zR zD z HG z第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法对其它结构的系统脉冲传递函数（见下表）对其它结构的系统脉冲传递函数（见下表）第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法5.2 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 计算机控制系统控制规律的设计，其任务是在给定系统性能指标的条件下，在已知被控制对象的前提下，设计出数字调节器（控制器）的数学模型，使系统达到要求的性能指标。计算机控制系

42、统控制规律的设计方法可分为：离散化设计方法、模拟化设计方法、状态空间法设计方法和复杂控制规律设计方法4类。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 离散化设计方法，就是假定对象本身是离散化模型或者用离散化模型表示的连续对象，以采样理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字调节器D(Z)。这种设计法也称Z域设计法或直接数字化设计法。本章主要介绍数字调节器（控制器）的离散化设计方法。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法5.2.1 直接数字控制器的脉冲传递函数直接数字控制器的脉冲传递函数在离散化设计方法中，通常假定系统为图5-1的典型结构。

43、 )(trsTse1)(zD)(0sH：广义对象)(sG)(z)(zG)(*tuTT)(*tr)(*te)(tuT)(ty)(tyT)(0sG图5-1 计算机控制系统的典型结构+对象第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法D(z) 数字控制器；Ho (s) 保持器(本书用零阶保持器)；Go(s)控制对象传递函数；(z)系统闭环Z(脉冲)传递函数；R(z) 输入信号的Z变换；Y(z) 输出信号的Z变换。E(z) 偏差信号的Z变换。U(z) 控制信号的Z变换。由图51可求得系统广义对象的Z传递函数： (5-2-1) )(1)(0sGseZzGTs第第5 5章章 控制规律的离

44、散化设计方法控制规律的离散化设计方法 数字调节器的Z传递函数： (5-2-4) 这就是我们分析和设计数字控制器的基础和基本模型。 闭环Z传递函数： )()(1)()()(zGzDzGzDz 误差Z传递函数： )(ze )()(zRzE)(1z )()(11zGzD (5-2-3) (5-2-2) )(1)()()()()(zzGzzzGze )(zD第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 5.2.2 最少拍有波纹系统数字调节器设计最少拍有波纹系统数字调节器设计 最少拍系统，也称最小调整时间系统，最快响应系统或时间最优控制。它是指典型系统(如图5-1)在典型输入(阶跃、

45、等速和等加速度等)作用下具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差采样值能在最短时间内达到并保持为零，有波纹是指对任何两次采样时刻间的输出不提任何要求(因而设计过程和设计结果均较简单)，故只能保证系统输出在采样点上误差为零而采样点之间存在波纹，如图5-2所示。12340图5-2 最少拍有波纹系统的输出第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 1.设计方法设计方法 )( z )( zD)()()()(zzGzzDe 性能要求约束条件控制算法程序最少拍系统(有波纹或无波纹)的设计可分如下所示三个步骤： 第一步 第二步 第三步 )

46、(z )(zD其中每一步所要做的工作是： 第一步主要根据性能要求和约束条件确定所需的 。性能要求和约束条件有稳定性闭环系统必须是稳定的。准确性控制系统对典型输入必须无稳态误差。快速性过渡过程应尽快结束，即调整时间为有限步，步数是最少的。物理可实现性设计出的 必须是物理上可实现的。)(z )(zD)()()()(zzGzzDe 第二步主要是由确定。依据的公式为。第三步根据)(zD编制控制算法的程序。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法(1). .由准确性要求确定由准确性要求确定)(z 准确性要求是：系统对某种典型输入，在采样点上无稳态误差，即要求0)()()1(lim

47、)()1(lim)(lim1111 zRzzzEzteezzt下面讨论在典型输入下，满足式(5-2-5)要求的)(ze 的结构形式。(5-2-5) 112210)!1(! 2)( qqtqAtAtAAtrZ将输入时间函数 取变换，得 31221221111)1(2)1(11)1()()(zzTzTzTzzzzBzRq单位阶跃输入单位等速输入单位等加速度输入3 q2 q1 q(5-2-6) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法)(zB)1(1 z其中中不含因子，将上式代入式(5-2-5)，得0)()1()()1(lim)(lim111 zzzBzteeqzt)(ze

48、)1(1 z显然，要使稳态误差为零，中必须含有，幂次不能低于q即 )()1()(1zFzzme )1()1(22111nnmzfzfzfz mq式中)(zF1 z，是关于的有限多项式，将由其它条件确定。 )( ze )(z )(1ze )(z 有了，可根据=写出的表达式：)1()1(1)(1)(22111nnmezfzfzfzzz )(2211nmnmzazaza )()1(231211 nmnmzazazaaz(5-2-7) (5-2-8) (5-2-9) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法(2).由快速性要求确定由快速性要求确定 快速性要求是：闭环系统过渡过程

49、步数最少，即在最短时间内使采样点上的误差趋于0，这就要求 中关于的 幂次尽可能低。显然在满足准确性要求的基础上，令 (即 )，则所得 既可满足准确性，又可满足快速性要求，这样就有)(z )(ze 1 z1)( zFqm，0 n)(ze qezz)1()(1 相应地)()1(1)()1(12111 qqqzazaazzz(5-2-10) (5-2-11) 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法针对几种典型输入，可由式(5-2-10)和(5-2-11)得到以下一些具体结果。系统输入为单位阶跃 ：e(z)=1-z-1；由式(7-2-3)可得误差和输出为：1111123( )

50、( ) ( )1(1)111( )( ) ( )1eE zz R zzzC zz R zzzzzz)1( q1)( zz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 由 得误差采样脉冲序列为： e(0)=1，e(1)=e(2)=0 系统的稳态误差及输出序列如图7-2-1所示。由图7-2-1可知，单位阶跃输入时系统的调整时间为T，只需一拍就达到了稳态。 系统输入为单位等速 ： e(z)=(1-z-1)2 ； 由式(7-2-3)可得误差和输出为： )(zE)2( q21212)1(1)( zzzz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图5-2-1 单位

51、阶跃输入时误差与输出序列 Te(kT)c(kT)kT2TkTT2T(a)(b)1010第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 由 得误差采样脉冲序列为： e(0)=0，e(T)=T，e(2)=e(3)=0 系统的误差及输出序列如图7-2-2所示。此时，单位等速输入时系统的调整时间为2T，只需两拍就达到了稳态。1 21 21( )( ) ( )(1)1(1)eE zz R zzz1121 2234( )( ) ( )(2)(1)234TzC zz R zzzzTzTzz)(zE第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图5-2-2 单位等速输入时误

52、差与输出序列 c(kT)kTe(kT )T2T3TkTT2T3T2TT(a)(b)2TT00第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 系统输入为单位加速度 ： e(z)=(1-z-1)3； 由式(7-2-3)可得误差和输出为： 2111 31 321222111231 322232424(1)( )( ) ( )(1)2(1)12(1)( )( ) ( )(33)(1)3.5711.5eT zzE zz R zzzT zT zT zzC zz R zzzzzT zT zT zT z)3( q3213133)1(1)( zzzzz第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控

53、制规律的离散化设计方法由 得误差采样脉冲序列为： 2(0)0, (1)(2),2(3)(4)00Teeeee 系统的误差及输出序列如图7-2-3所示。可见，单位加速度输入时系统的调整时间为3T，只需三拍就达到了稳态。 对于三种典型输入，最少拍控制系统的调整时间、误差传递函数、闭环传递函数汇总于表51。)(zE第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法图5-2-3 单位加速度输入时误差与输出序列 0e(kT )4T0r(kT )kTT2T3TkT22T(a)T2T3T2T(b)第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法表51 最少拍控制系统各参量表 第

54、第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 (3).由稳定性要求由稳定性要求 当广义对象 中含有单位圆上或圆外的零、极点时，考虑到闭环的稳定性，对 或 的结构还会提出进一步要求。 含单位圆上或圆外零点时，由式(5-2-4) )(z )(zG)(z )(ze )()()()(zzGzzDe )(zG)(zD)(z )(zD圆上或圆外的零点将变成仍按以前的方法设计，则这个不稳定的控制量又会使系统的输出发散。 圆上或圆外的极点， 如果 的输出必将不稳定， 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法)(z )(zG让的零点中含有圆上或圆外零点，二者相消是可行的

55、。 )(z )(z 因为含圆上或圆外零点，不影响自身稳定性，因此在前面对 要求的基础上，应作进一步修改。 )(zGuuzzz，21)(z 设在单位圆上或圆外有 个零点，则应修改成 )1()1)(1)()(1121111211 zzzzzzzazaazzuqq)(ze )(1z )(ze )(z 1 z)(ze 由可知和关于的最高次幂总是也应在原来基础上相应变为相等，所以 )1()1()(22111uuqezfzfzfzz 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法)(zG含有单位圆上或圆外的极点时，由式(5-2-4)()()()(zzGzzDe )(z )(zG)(zD可

56、知，如果仍按快速性要求的方法设计，则的不稳定极点将变成的零点， 又由 )()()()()(1)()()(zzGzDzGzDzGzDze 的零极点又可对消，从而造成了 )(zD)(zG与无论输出量还是 控制量都是稳定的假象。第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法 在实际控制中，由于系统辨识的误差或系统运行过程中对象参数的变化，都可能造成 不稳定极点与理论上的不一致；而且 由计算机实现，其相应的零点不可能随之变化，因此非但抵消不了，甚至情况更糟。 由 可知，要消除G(z)在单位圆外或圆上的极点对系统稳定性的影响，正确的解决办法是让 的零点中包含 不稳定极点，这样 自身稳定

57、，又可相消。 1( )( )( )( ) 1( )( )( )ezzD zG zzG zz)(zG)(zD)(ze )(zG)(ze 第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法因此，要在以上设计的基础上，对 再加改进。设 有 个单位圆上或圆外不稳定极点： ，则按上述要求， 应改成 相应地， 中关于 的幂次也要增加 ，即)(ze )(zGvvppp，21)(ze )1()1()(22111uuqezfzfzfzz )1()1)(1(11211 zpzpzpv)(z 1 zv)1()1)(1)()(1121111211 zzzzzzzazaazzuvqvq第第5 5章章 控制

58、规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法应当特别注意的是应当特别注意的是，当 含有 这种不稳定极点时，让 含圆上的零点。与快速性要求 含 (相当 个 的零点)往往会重复。如果 含有 的极点数小于 ，则 式中极点因子 中不应再含 ；若 含有 的极点数比 大个，则 的极点因式中还应含有 个 因子，相应地 式中 的个数也应减去重复数。 )(zG1 z)(ze )(ze qz )1(1 q1 z)(zG1 zq)(ze )1(1 zpi)1(1 z)(zG1 zqx)(ze x)1(1 z)(z v第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法(4).由由 的物理可实现性确定的物

59、理可实现性确定所谓 的物理可实现，是指 当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关，这儿不考虑预测问题。数学上讲，应保证 分母中 的最低次幂不大于分子关于 的最低次幂。)(zD)(zD)(zD)(zD1 z1 z第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法我们举一个例子来说明，设有其分母关于 的最低次幂为1，分子的为零，故此 物理上不可实现。事实上，该 的输出为这说明 当前时刻 的输出要取决于未来时刻 的输入，这样的 物理上是不可实现的。 13212182. 514. 343. 5718. 0292. 072. 443. 5)(zzzzzzzzD1

60、z)(zD)(zD )(82. 5)(14. 3)(43. 5)()()(1zEzzEzzEzEzDzU 1182. 514. 343. 5kkkkeeeu)(zDkTTk)1( )(zD第第5 5章章 控制规律的离散化设计方法控制规律的离散化设计方法当广义对象含有纯滞后环节时，会遇上 的可实现性问题。设广义对象含有一纯滞后为 个采样周期的环节，其 传递函数为由于 不影响 的关于 的最低次幂，为保证 物理上可实现，则要求 中必须包含因子 。 )(zDrZ )()()()(2211000 zgzggzsGsHZzGr从而)()()()()()()(22110zzgzggzzzzGzzDere )