高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测十二函数模型及其应用

1、课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为4 元/件，当日均零售价为6 元/件，日均销售100 件，当单价每增加 1 元，日均销量减少10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20 元，则预计单价为 _元/件时，利润最大解析： 设单价为6x，日均销售量为10010 x，则日利润 y(6x4)(10010 x)20 10 x280 x180 10(x4)2340(0 x10)所以当 x4 时， ymax340. 即单价为 10 元/件，利润最大答案： 10 2(2018 盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的

2、已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系Ra A(a 为常数) ，广告效应为D R A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_(用常数 a 表示 ) 解析： DRA a AA，令 tA(t0)，则 At2，所以 Datt2t12a214a2.所以当 t12a，即 A14a2时， D 取得最大值答案：14a23某市出租车收费标准如下：起步价为8 元，起步里程为3 km(不超过 3 km 按起步价付费 )；超过 3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15 元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1 元现某人乘

3、坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了_km. 解析： 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则 y9，0 x 3，82.15 x3 1，3x8，82.1552.85 x8 1，x 8，由 y22.6，解得 x9. 答案： 9 4(2019 盐城调研 )一批货物随17 列货车从 A 市以 v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于v202km，那么这批物资全部运到B市，最快需要_ h(不计货车的身长)解析： 设这批物资全部运到B 市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16v20

4、2时，时间最快则 yv20216400vv25400v 2 v25400v8，当且仅当v25400v，即 v 100 时等号成立， ymin8. 答案： 8 5(2019 南通模拟 )用长度为24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析： 设矩形场地的宽(即隔墙的长度 )为 x，则长为244x2，其面积S244x2x12x2x2 2(x3)218，当 x 3 时， S有最大值18，所以隔墙的长度为3. 答案： 3 6有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f(m)1.06(0.5m1)(元)决定，其中m0，m是大于或等于m 的最

5、小整数则从北京到上海通话时间为5.5 分钟的电话费为_元解析：因为 m5.5，所以 5.56.代入函数解析式， 得 f(5.5)1.06 (0.5 61)4.24. 答案： 4.24 二保高考，全练题型做到高考达标1某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20 元，B 种方式是月租0 元一个月的本地网内通话时间t(分钟 )与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150 分钟时，这两种方式电话费相差_元解析： 依题意可设sA(t)20 kt， sB(t)mt，又 sA(100) sB(100)，所以 100k 20100m，得 km 0.2，于是 sA(150)sB(150)20 15

6、0k150m20150(0.2) 10，即两种方式电话费相差10 元答案： 10 2某商店已按每件80 元的成本购进某商品1 000 件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高1 元时销售量就减少5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件 _元解析：设售价提高x 元， 利润为 y元，则依题意得y (1 0005x)(100 x)801 000 5x2500 x20 000 5(x50)232 500，故当 x50 时， ymax32 500 ，此时售价为每件 150 元答案： 150 3 (2019 海安中学检测)某公司为激励创新， 计划逐年加大研发资金投入若该公司201

7、7年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是_(参考数据： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) 解析：设 2017 年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，由 130(112%)n200，得 1.12n2013，两边取常用对数，得nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.053.8，所以n4，所以从2021 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元答案： 2021 年4(2019 启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每

8、月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析： 由题意设仓库在离车站x 千米处，则y1k1x，y2k2x，其中 x0，由k110 2，10k2 8得k1 20k245，即 y1y220 x45x2 20 x45x8，当且仅当20 x45x，即 x5 时等号成立答案： 5 5将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaent.假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m

9、 分钟甲桶中的水只有a8，则m_. 解析： 根据题意知12e5n，令18aaent，即18ent，因为12e5n，故18e15n，比较知 t15，m15510. 答案： 10 6一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96 元当速度为10 海里 / 小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10 海里，当这艘轮船的速度为_ 海里 / 小时时，总费用最小解析： 设每小时的总费用为y 元，则 ykv2 96，又当 v10 时， k1026，解得 k0.06，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10 海里所用的时间为10v小时，故

10、总费用为 W10vy10v(0.06v296)0.6v960v20.6v960v 48，当且仅当0.6v960v，即 v40 时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40 海里 /小时答案： 40 7 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图 )， 为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_解析： 依题意知：20 x20y8248，即 x54(24y)，所以阴影部分的面积Sxy54(24y) y54( y2 24y)54(y 12)2 180. 所以当 y12 时， S有最大值为180. 答案： 180 8 某公司为了业务发展制定了一个

11、激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元销售额x 为 64 万元时，奖励4 万元若公司拟定的奖励模型为y alog4xb.某业务员要得到8 万元奖励，则他的销售额应为_(万元 )解析： 依题意得alog48b1，alog464b 4，即32ab1，3a b4.解得 a 2，b 2. 所以 y2log4x2，当 y8 时，即 2log4x 28. x1 024(万元 )答案： 1 024 9某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元 )满足如下关系：w 43x 1，且投入的肥料费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本 (如施肥

12、的人工费等)2x 百元已知这种水蜜桃的市场售价为16 元 /千克 (即 16 百元 /百千克 )，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元 )(1)求 L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解： (1)L(x)16 43x 1x2x6448x1 3x，x (0,5(2)法一： L(x) 6448x 13x 6748x13 x 167248x1 3 x1 43，当且仅当48x13(x1)，即 x3 时取等号故 L(x)max 43. 答：当投入的肥料费用为300 元时，该水密桃树获得的利润最大，为

13、4 300 元法二： L(x)48x 123，令 L(x)0，得 x3. 故当 x(0,3)时， L(x)0， L(x)在 (0,3)上单调递增；当 x(3,5时， L(x) 0，L(x)在 (3,5上单调递减故 L(x)max L(3)43. 答：当投入的肥料费用为300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300 元10(2019 镇江调研 )如图，政府有一个边长为400 m 的正方形公园 ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉现在中间修建一块长方形的活动广场PQ MN ，其中P，Q，M，N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平

14、行，记QBC ，长方形活动广场的面积为S. (1)请把 S表示成关于 的函数关系式；(2)求 S 的最小值解： (1)过 Q作 Q EBC 于 E，连结 BQ(图略 )在 RtBQE 中， BE150cos ，QE 150sin ，0 2，可得矩形 PQMN 的 PQ 400 300sin ，Q M 400 300cos ，则 SPQ QM(400 300sin )(400300cos ) 10 000(43sin )(43cos )， 0，2. (2)由(1)知， S 10 00016 12(sin cos )9sin cos ，设 tsin cos 2sin 4，则4 434，可得 1t2

15、，sin cos t212，S 10 000 1612t92t215 0009 t4327 . 当 t43时， S取得最小值5 000735 000 m2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x 千米 /时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60 x120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为15x k4 500 x升，其中 k 为常数，且60 k100. (1)若汽车以120 千米 /时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9 升，求 x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100 千米的耗油量的最小值解： (1)由题意知，当x120 时，15xk4 500 x11.5， k100，由15x1004 500 x 9，得 x2145x 4 5000， 45 x100. 又 60 x120， 60 x100. 故 x 的取值范围为60,100(2)设该汽车行驶100 千米的耗油量为y升，则y100 x15xk4 500 x2020kx90 000 x2(60 x120)令 t1x，则 t1120，160，y90 000t220kt 2090 000tk9