初中数学二次函数技巧试题答案超级全

1、初中数学二次函数做题技巧I. 定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向， a>0 时，开口方向向上， a<0 时，开口方向向下 ,IaI 还可以决定开口大小 ,IaI 越大开口就越小 ,IaI 越小开口就越大 . ）则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c 为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2;+k 抛物线的顶点 P（h，k）交点式： y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x 轴

2、有交点 A（x1， 0）和 B （x2，0）的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4ax1,x2=(- b± b2; -4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV. 抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P -b/2a，(4ac-b2;)/4a 。当 -b/2a=0 时， P

3、 在 y 轴上；当=b2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。3. 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a| 越大，则抛物线的开口越小。4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右。5. 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（ 0，c）6. 抛物线与 x 轴交点个数= b2-4ac 0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1

4、 个交点。= b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。V. 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c ，当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程），即ax2;+bx+c=0此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。画抛物线 yax2 时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x 值时常以 0 为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。二次函数解析式的几种形式(1) 一般式： yax2+bx+c (a,b,c为常数， a0).(2) 顶点式：

5、ya(x-h)2+k(a,h,k为常数， a0).(3) 两根式：ya(x-x1)(x-x2) ，其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程 ax2+bx+c 0 的两个根， a0.说明： (1) 任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k ，抛物线的顶点坐标是 (h,k) ，h 0 时，抛物线 yax2+k 的顶点在 y 轴上；当 k0 时，抛物线 a(x-h)2的顶点在 x 轴上；当 h0 且k 0 时，抛物线 yax2 的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设 y=ax2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax2+k 定义与定

6、义表达式一般地，自变量x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向， a>0 时，开口方向向上，a<0 时，开口方向向下。 IaI 还可以决定开口大小 ,IaI 越大开口就越小 ,IaI 越小开口就越大。）则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x 是自变量， y 是 x 的函数二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c(a,b,c为常数 ,a 0)顶点式 抛物线的顶点 P(h ， k) ：y=a(x-h)2+k交点式 仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0)和 B(x2,0)的

7、抛物线 ： y=a(x-x1)(x-x2)以上 3 种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即一般式和交点式的关系x1,x2=-b± (b2 -4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)初中数学二次函数做题技巧2012 中考数学精选例题解析：一次函数（1）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例1】二次函数yax 2bxc 的图像如图所示，那么abc 、 b24ac 、 2ab 、4a2bc 这四个代数式中，值为正的有（）yA、

8、4 个B、3 个C、2 个D、1个b 1解析： x2a-1O1 2a b 0答案： A例 1 图x评注： 由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定 b 的符号， 由抛物线与 y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b24ac 的符号，若x轴标出了11和 ，则结合函数值可判定 2a b 、 abc、 abc 的符号。【例 2】已知 abc0 ， a 0，把抛物线 yax 2bx c 向下平移1 个单位，再向左平移5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2， 0），求原抛物线的解析式。分析： 由 abc0 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5 个单位，再向上

9、平移 1 个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为ya( x 2) 2 ，则原抛物线的解析式为 ya( x 25) 21 ，又易知原抛物线过点（ 1， 0） 0 a(125)21 ，解得 a14原抛物线的解析式为：y1 (x 3) 214评注： 解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转 1800），此时顶点坐标不变，只是 a 反号；两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称， a 反号；两抛物线关于 y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；探索

10、与创新：【问题】已知，抛物线ya( xt1) 2t 2 （ a 、 t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线y x 22x 1的顶点是 B。（ 1）判断点 A 是否在抛物线 yx 22x 1上，为什么？（ 2）如果抛物线 y a( x t 1) 2t 2经过点 B ，求 a 的值；这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。初中数学二次函数做题技巧解析：（ 1）抛物线 ya( xt1) 2t 2 的顶点 A（ t1 ，yt 2 ）， 而 xt1当时，yx 22x 1(x 1) 2( x11) 2 t 2 ，所以点 A在抛物线

11、yx 22x1上。（ 2）顶点 B （ 1， 0）， a(1t1) 2t 20 ， t0 ，OBx a1；设抛物线问题图ya(xt 1) 2t 2 与 x 轴的另一交点为C， B（1，0），C（ 2t1 ， 0），由抛物线的对称性可知， ABC 为等腰直角三角形， 过 A 作 AD x 轴于 D ，则 AD BD 。当点 C 在点 B 的左边时， t 21 (t 1) ，解得 t1或 t0 （舍）；当点 C 在点 B 的右边时， t 2(t 1)1，解得 t1 或 t0 （舍）。故 t1。评注：若抛物线的顶点与 x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线

12、（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数 y ax 2bxc 的图像如图所示，OA OC，则下列结论： abc 0；y 4acb 2 ； acb1 ；AO 1Bx 2ab0 ；-2CcOA OB；第1题图a 4a2bc 0 。其中正确的有（）A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个2、二次函数 yx2bx c的图像向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位，得到函数图像的解析式为 y x22x 1，则 b 与 c 分别等于（）AA 、6、4B、 8、 14C、4、 6D、 8、 14EF3、如图，已知 ABC 中， BC 8， BC 边上的高 h4，D 为

13、BC 上一点，EF BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F（ EF 不过 A 、B），设 E 到 BC 的距离为 x ， DEFBD的面积为 y ，那么 y 关于 x 的函数图像大致是（）C第 3题图yyyy44442222O2 4xO2 4xO2 4 xO2 4 xABCD、若抛物线2与四条直线x 1，x 2，围成的正方形有公共点，则3 题图）y axy 1y 2a 的取值范围是（43 题图A 、 1 a 1B、 1 a 2C、 1 a 1D、 1 a 242245、如图，一次函数 ykx b 与二次函数 yax2bx c 的大致图像是（）初中数学二次函数做题技巧yyyyOxOxOxOxA

14、B3 题图DC二、填空题：1、若抛物线 y(m1) x 22mx3m2 的最低点在x 轴上，则 m 的值为。2y 4x2mx 5，当x2时，y随x 的增大而减小； 当x2时，y随x 的增大而增大。 则当x1、二次函数时， y 的值是。个单位后与 x 轴只有一、已知二次函数的图像过点（0， ），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移133个交点，则此二次函数的解析式为。4、已知抛物线y(m 22) x24mxn 的对称轴是x 2，且它的最高点在直线y1x 1 上，则它的顶点， n 2为。三、解答题：1、已知函数 yx2( m2) xm 的图像过点（1， 15），设其图像与x 轴交于点A

15、、 B，点 C 在图像上，且S ABC1 ，求点 C 的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：（ 1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（ 2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（ 3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？4 S（万元）y32CD1O12 3 456t（月）月BAOx-1-2O-3第 2题图第4题

16、图O212和直线 xa （ a ）分别交于0。、抛物线，、两点，已知y xyxABAOB90302（ 1）求过原点 O，把 AOB 面积两等分的直线解析式；（ 2）为使直线 y2x b 与线段 AB 相交，那么 b 值应是怎样的范围才适合？4、如图，抛物线y ax 24axt 与 x 轴的一个交点为A （ 1， 0）。（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（）是第二象限内到x 轴、轴的距离的比为的点，如果点在（初中数学二次函数做题技巧EyE）中的抛物线上，且它与点

17、A在此抛35 22物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题： BCDDC二、填空题：1、 2； 2、 7； 3、 y1 ( x2) 21； 4、（ 2，2）， n2 ；2三、解答题：1、C（ 32，1）或（ 32 ， 1）、（ 3， 1）2、（ 1） S1 t 22t ；（2） 10 月；（ 3） 5.5 万元23、（ 1） y2 x ；（2） 3 b 044、（ 1） B（ 3， 0）；（ 2） yx24x 3或 yx 24 x 3 ；1（ 3）在抛物线的对称轴上存在点P（ 2，2），使

18、APE 的周长最小。初中数学二次函数做题技巧2012 中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例 1】已抛物线 y (m1) x2( m 2) x1（ m 为实数）。（ 1） m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（ 2）如果抛物线与x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 ABC 的面积为 2，求该抛物线的解析式。分析： 抛物线与 x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问

19、题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。m10，解得 m0 且 m1略解：（ 1）由已知有m20（ 2）由 x0得 C（0， 1）又 ABmm1a1AB1m12SABCOCm221 m44或 m53 y1 x22 x 1或 y1 x26 x 13355【例 2】已知抛物线 yx2(m28)x2(m 26) 。（1）求证：不论 m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x 轴的正半轴上；（2）设抛物线与y 轴交于点 A ，与 x 轴交于 B、 C 两点，当 ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。（3）在（ 2）的条件下，以 BC 为直径作 M ，问

20、M 是否经过抛物线的顶点P？解析：（ 1）( m24) 20 ，由 x1x2 m 280 ， x1 x22( m26)0可得证。（2） BCx1x2( x1x2 ) 24x1 x2(m28) 28(m26) m 24OA2(m26)又S ABC481 (m24) 2(m26) 482解得 m 22 或 m212 （舍去） m2初中数学二次函数做题技巧（ 3） yx 210 x16 ，顶点（ 5， 9）， BC696 M 不经过抛物线的顶点P。评注： 二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】 如图，抛物

21、线 yx2(a b)xc2，其中 a 、 b 、c 分别是 ABC 的 A 、4B、 C 的对边。y（ 1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；E（ 2）设有直线yaxbc 与抛物线交于点E、F，与 y 轴交点 N，若抛物线的对称轴为 x a ， MNE 与 MNF 的面积之比等边三角形；N于点 M ，抛物线与 y 轴交于O P为 5 1，求证： ABC 是QxF（ 2）当 S ABC3 时，设抛物线与x 轴交于点 P、Q，问是M否存在过 P、 Q 两点且与y问题图轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（ 1）(ab) 2c 2(abc)(a b c) abc

22、0 ， abc00（ 2）由 a ba 得 ab2yx2(ab) xc 2c2由4 得： x 3axac 04yaxbc设 E（ x1 ，y1 ），F（ x2 ，y2 ），那么： x1x2由S MNE S MNF 5 1 得： x15 x2 x15x2 或 x15x2由 x1 x20 知 x15x2 应舍去。x1x23a解得 x2a由5x22x1a2c 2ac，即 5a24c2 54ac2 ac或 5ac0 （舍去） a b c ABC 是等边三角形。3a ，c2x1x2ac4yENOPQxFM问题图0初中数学二次函数做题技巧（3） S ABC3 ，即3 a234 a2 或 a2 （舍去）a

23、b c 2，此时抛物线y x24x 1的对称轴是x 2，与 x 轴的两交点坐标为P 230（， ），Q（ 23，0）设过 P、Q 两点的圆与 y 轴的切点坐标为（0， t ），由切割线定理有：t 2OP OQ t1故所求圆的圆心坐标为（2， 1）或（ 2， 1）评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线 y5x 2(m 1) xm 与 x 轴两交点在 y 轴同侧，它们的距离的平方

24、等于49 ，则 m 的值为（）25A、2B、 12C、 24D、 2或 242、已知二次函数y1ax 2bx c （ a 0）与一次函数y2 kx m（ k 0）的图像交于点 A（ 2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1y2 成立的 x 的取值范围是（）A 、 x2B、 x 8C、2 x 8D、 x2 或 x 8yyyAAOBxBO第2题图xEAOBx第 3题图第 4题图3、如图，抛物线yax 2bxc 与两坐标轴的交点分别是A 、 B、 E，且 ABE是等腰直角三角形，AE BE，则下列关系： ac0 ； b0 ； ac1； S ABEc 2 其中正确的有（）A、4 个B、3 个C、2

25、 个D、1个4、设函数 yx22(m1)xm 1的图像如图所示， 它与 x 轴交于 A 、B 两点，线段 OA 与 OB 的比为1 3，则 m的值为（）A、1或2B 、 1C、 1D 、 233二、填空题：1y x2(k 1) x 3k 2A0 B02217，则k。、已知抛物线与 x 轴交于两点 （， ），（， ），且2、抛物线 yx 2(2m1)x2m 与 x 轴的两交点坐标分别是A （ x1 ， 0 ）， B （ x2， 0），且 x11 ，则 m 的值x2初中数学二次函数做题技巧为。、若抛物线y1x2mxm 1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且ACB900，则m。324、已知二次函数y

26、kx 2(2k 1) x1 与 x 轴交点的横坐标为x1 、 x2 (x1x2 ) ，则对于下列结论：当x2 时，y1；当 xx2 时， y0 ；方程 kx2(2k1) x 1 0 有两个不相等的实数根x1 、x2； x11，x21 ； xx114k2（只填写顺号） 。2k，其中所有正确的结论是三、解答题：1、已知二次函数yax2bxc （ a 0）的图像过点E（2， 3），对称轴为 x1，它的图像与 x 轴交于两点 A（ x1 ， 0）， B （ x2 ， 0），且 x1x2 ， x12x2210 。（ 1）求这个二次函数的解析式；（ 2）在（ 1）中抛物线上是否存在点P，使 POA 的面积

27、等于 EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。2yx2(m 4) x 2m 4与x 轴交于点A x10 B x20y轴交于点C，且x1x2，、已知抛物线（，），（，）两点，与x1 2x20 ，若点 A 关于 y 轴的对称点是点D。（ 1）求过点 C、B 、 D 的抛物线解析式；（ 2）若 P 是（ 1）中所求抛物线的顶点， H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且 HBD 与 CBD 的面积相等，求直线 PH 的解析式；3、已知抛物线 y1 x23 mx2m 交 x 轴于点 A（ x1 ，0），B（ x2 ，0）两点，交 y 轴于点 C，且 x10x2 ，22( AOB

28、O)212CO1。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题： CDBD二、填空题：1、 2；2、 1 ；3、3；4、2三、解答题：1、（ 1） yx 22x3 ；（ 2）存在， P（ 113 ， 9）或（ 113 ， 9）2、（ 1） y x 26x 8 ；（2） y 3x 103、（ 1） y1 x 23 x2 ；（ 2）当 0 xP3 时 APB 为锐角，当1 xP 0 或 3 xP4 时 APB 为钝角。22初中数学二次函数做题技巧中考数学知识点速记口诀(一

29、)1.有理数的加法运算： 同号相加一边倒 ;异号相加 " 大 " 减 "小 "，符号跟着大的跑 ;绝对值相等 " 零 "正好。【注】 " 大" 减 " 小 " 是指绝对值的大小。2.合并同类项 ：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。3.去、添括号法则 ：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。4.一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。5. 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正

30、负只看其指数，奇数变号偶不变。(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n6.平方差公式 :平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。7.完全平方 :完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首 ±尾括号带平方，尾项符号随中央。8.因式分解： 一提 (公因式 )二套 (公式 )三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项 )，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。9." 代入

31、 " 口决：挖去字母换上数(式 )，数字、字母都保留 ;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出 (现 )括弧，逐级向下变括弧(小-中 -大 )10.单项式运算 ：加、减、乘、除、乘(开) 方，三级运算分得清，系数进行同级(运 )算，指数运算降级(进 )行。11.一元一次不等式解题的一般步骤 ：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除 (以 )负数时，不等号改向别忘了。中考数学知识点速记口诀(二)12.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小 ,小大无处找。13.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼 )于 (

32、吃 )取两边 ,小 (鱼 )于 (吃 )取中间。14.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘 );乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;变号必须两处，结果要求最简。初中数学二次函数做题技巧15.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原(根 )留、增 (根)舍别含糊。16.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数 )根指 (数 )要互质，幂指比根指小一点。17.特殊点坐标特征:坐标平面点 (x,y), 横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-) 和 (+,-), 四个象限分前后;X 轴上 y 为 0,x 为 0 在Y 轴。18.象限角的平分线:象限角的平分线,坐标特征有特点，一、三横纵都相等,二、四横纵确相反。19.平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X