高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.6

1、2021-12-8数学与计算科学学院数学与计算科学学院数学与计算科学学院若当块若当块 00000000100000001n nj 的初等因子是的初等因子是 0.n 数学与计算科学学院00000000100000001n nej 00.nej此即此即 的的 级行列式因子级行列式因子. 0ej n又又 有一个有一个 级子式是级子式是 0ej 1n 数学与计算科学学院 01010001001001001n 所以所以 的的 级行列式因子为级行列式因子为1. 0ej 1n 从而，从而， 的的 级行列式因子皆为级行列式因子皆为1.0ej 2,2,1n 0j 的不变因子是的不变因子是: 1101,.nnnd

2、dd 故故 的初等因子是的初等因子是: 0j 0.n 数学与计算科学学院若当形矩阵若当形矩阵 12,sjjjj 其中其中 000100000001iiiiiiikkj 则则j 的全部初等因子是：的全部初等因子是： 1212() , () , () .skkks数学与计算科学学院证：证： 的初等因子是的初等因子是 () ,1,2,ikiisijiej 与矩阵与矩阵 等价等价. 111iki 于是于是 12sejejejej 数学与计算科学学院与矩阵与矩阵 d 1212111111skkks 等价等价. 由定理由定理9， 的全部初等因子是：的全部初等因子是： j1212() , () , () .

3、skkks数学与计算科学学院初等因子唯一确定初等因子唯一确定. .完全被它的级数与主对角线上的元素完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划，所刻划，0 而这两个数都反应在它的初等因子而这两个数都反应在它的初等因子 上上. .0()n 可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的的全部若当块的初等因子构成的. . 由于每个若当块由于每个若当块因此，因此，若当块被它的初等因子唯一决定若当块被它的初等因子唯一决定. .从而，若当形矩阵从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的除去其中若当块的排序外被它的数学与计算科学学院（定理定理10

4、）每一个复矩阵）每一个复矩阵a都与一个若当形矩阵都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵被矩阵a唯一决定的，它称为唯一决定的，它称为a的若当标准形的若当标准形.1.数学与计算科学学院证：若证：若n 级复矩阵级复矩阵a的全部初等因子为的全部初等因子为: （*） 1212() , () , () .skkks （其中（其中 可能有相同的，指数可能有相同的，指数 12,s 12,sk kk也可能相同的）也可能相同的）.每一个初等因子每一个初等因子 对应于一个若当块对应于一个若当块 ()iki 000100,1,2,000001ii

5、iiijis 数学与计算科学学院令令 12sjjjj 则则 j 的初等因子也是（的初等因子也是（*），），故故j 与与a相似相似. 即即j与与a有相同的初等因子有相同的初等因子.数学与计算科学学院变换，在变换，在 v中必定存在一组基，使中必定存在一组基，使 在这组基下在这组基下 的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去2.定理定理10换成线性变换的语言即为换成线性变换的语言即为（定理定理11）设是复数域上）设是复数域上n维线性空间维线性空间v的线性的线性 若当块的排序外是被唯一确定的若当块的排序外是被唯一确定的. 数学与计算科学学院的初等因子全是一次

6、的的初等因子全是一次的.a3.特殊情形特殊情形（定理定理12）复矩阵）复矩阵 a与对角矩阵相似与对角矩阵相似的不变因子没有重根的不变因子没有重根.a（定理定理13）复矩阵）复矩阵 a与对角矩阵相似与对角矩阵相似数学与计算科学学院4.n 阶复矩阵阶复矩阵a的最小多项式就是的最小多项式就是a的最后一个的最后一个不变因子不变因子.( )nd 证：设证：设a的若当标准形是的若当标准形是12,sjjjj 1.siinn 其中其中 000100,000001iiiiiiinnj 数学与计算科学学院 ,1,2, .iniis 由一知，的最小多项式是由一知，的最小多项式是ij由不变因子与初等因子的关系知，由不

7、变因子与初等因子的关系知，1212( )() , () , ().skkknsd由由7.97.9中引理中引理3 3之推论之推论知，知，( )nd 为为a的最小多项式的最小多项式.又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，所以，所以，a的最小多项是它的最后一个不变因子的最小多项是它的最后一个不变因子( ).nd 数学与计算科学学院例例1、求矩阵、求矩阵a的若当标准形的若当标准形. 解：解： 11 233 622 4a 112336224ea 211220 220 21210 2202 数学与计算科学学院21 000 0202 1 00000 02 a的初等因子为的初等因子为 ,2 . 故故 a的若当标准形为的若当标准形为 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 数学与计算科学学院求求a的若当标准形的若当标准形. 例例2、已知、已知12级矩阵级矩阵a的不变因子为的不变因子为 2222291,1,1,(1) ,(1)1 ,11 (1) 个个 解：依题意，解：依题意，a的初等因子为的初等因子为 2221,1,1,1 , 221 ,ii数学与计算科学学院a的若当标准形为的若当标准形为 1 01 11 01 11 01 1