数学建模期末答案模型解释1~（精编版）

1、.第六章军事模型§6.1 核武器竞赛问题：甲乙双方两国，均将对方视为假想敌，在某种“国家平安的定义下开展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会 无限增长呢，还是存在某种平衡状态？一模型假设1. 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数即连续型变量，以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；2. 甲乙双方的“国家平安概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性核打击后，保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击；3. 分别以、表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同核弹头在遭受

2、对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的时机是相对独立的。二模型建立定性分析模型 ：应当存在二函数、，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家平安概念，乙 方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时，须有时，乙方才会确认自己是平安的。显然，、均应当为单调增函数。-优选这里称为双方平安区，是核军备竞赛的稳定区域。问：是否为空集？假设为空集，即说明核军备竞赛是没有尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。所附四图仅仅是在双方平安曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方平安区。但实际当中应当是哪一种呢？定

3、量分析模型 ： 在前述模型假设的根底上，不难得到：，即、分别为甲乙双方的平安曲线，而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示与 两者至少有一个满足时方可出现。在模型中涉及到的几个参数的取值，比方影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。三模型分析通过定量分析模型得到的结果说明，核武器竞赛是不容乐观的， 要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即说明建立在本文“平安概念根底上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因为即使在稳定区域非空，由于某一方或双方不抑制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在开展核武器的

4、现状有一定距 离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“平安概念，事实上，一个和平国家在开展核武器时所遵循的原那么是在遭到强大敌国的全面入侵， 核武器应当作为一种先发性威慑力量而进展有效阻止而不应当作为一种后发性的在已遭到消灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保存模型假设二中提到的“平安概念，对其余假设作更为贴近问题真相的改良只能导出对核武器竞赛 的前途更加悲观的结论。四点评本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对所考虑问题给出比拟乐观的指导意义， 但其整个建模过程却对我们有很大的启发：1. 定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定性分析

5、与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决2. 随机性模型：3. 建模的最终目的在于应用：第六章军事模型§6.1 核武器竞赛问题：甲乙双方两国，均将对方视为假想敌，在某种“国家平安的定义下开展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会 无限增长呢，还是存在某种平衡状态？一模型假设4. 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数即连续型变量，以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；5. 甲乙双方的“国家平安概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性核打击后，保证有足够的核武器被保存下来以给对

6、方致命的还击；6. 分别以、表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的时机是相对独立的。二模型建立定性分析模型 ：应当存在二函数、，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家平安概念，乙 方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时，须有时，乙方才会确认自己是平安的。显然，、均应当为单调增函数。这里称为双方平安区，是核军备竞赛的稳定区域。问：是否为空集？假设为空集，即说明核军备竞赛是没有尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。所附四图仅仅

7、是在双方平安曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方平安区。但实际当中应当是哪一种呢？定量分析模型 ： 在前述模型假设的根底上，不难得到：，即、分别为甲乙双方的平安曲线，而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。在模型中涉及到的几个参数的取值，比方影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。三模型分析通过定量分析模型得到的结果说明，核武器竞赛是不容乐观的， 要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即说明建立在本文“平安概念根底上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因为即使在稳定区

8、域非空，由于某一方或双方不抑制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在开展核武器的现状有一定距离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“平安概念，事实上，一个和平国家在开展核武器时所遵循的原那么是在遭到强大敌国的全面入侵， 核武器应当作为一种先发性威慑力量而进展有效阻止而不应当作为一种后发性的在已遭到消灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保存模型假设二中提到的“平安概念，对其余假设作更为贴近问题真相的改良只能导出对核武器竞赛 的前途更加悲观的结论。四点评本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对所考虑问题给出比拟乐

9、观的指导意义，但其整个建模过程却对我们有很大的启发：4. 定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定性分析与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决5. 随机性模型：6. 建模的最终目的在于应用：§7.2 种群竞争问题：在自然环境中，生物种群丰富多彩，它们之间通常存在着或是相互竞争， 或是相互依存， 或是弱肉强食等这样的三种根本关系。在本章， 我们将从稳定状态的角度，对具有如上提及的某种关系的两个种群的人口开展进展讨论。设想有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时， 从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力假设的一方首先

10、被淘汰， 然后另一方独占全部资源而以单种群模式开展； 还是存在某种稳定的平衡状态， 两个物种按照某种规模构成双方长期共存？这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。一 模型假设以、表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻的数量，1. 资源有限，设为，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；2. 种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；3. 各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，分别表示甲、乙二种群对对方以占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头。比方，假设时，表示在甲种群看来，乙种群是“奢侈的，它可以在乙

11、种群用过的盘子里捡到“剩骨头，假设时，说明甲种群在食物选择上是“过分挑剔的，或者可理解为，对于甲种群，乙种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，反映了甲、乙二种群适应能力，越小、越大，那么甲种群的相对适应能力越强；4. 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。二 模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：经化简，得：三 模型求解令，可得该模型的四个平衡点：、。先讨论平衡点的稳定性，为此，将微分方程的右端项以其在的一阶 taylor 展式取代，构造线性动力系统，此 时 系数 矩 阵， 其 二 特 征 值，故是不稳定性的结点；就平衡点，将微分方程的右端 项以 其在的 一 阶taylor展 式取 代，

12、构造 线性 动力 系统，此时系数矩阵，其二特征值，当且仅当，平衡点是局部稳定的；类似可以得平衡点是局部稳定的充要条件为；平衡点只有在第一象限内方有实际意义，为此应有同时大于“1或同时小于“1，采用类似的分析，可以得到当 同时大于“1时，平衡点为一鞍点，是不稳定的；当同时小于“1时，平衡点为一稳定的结点。第五章几个经济模型§5.1 实物交换模型一问题分析与模型假设:1. 讨论甲、乙双方，限于a、b 两种物品；2. 以、分别表示甲方、乙方拥有a、b 两种物品的量，以、分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数；3. 以、分别表示甲方、乙方在交易前拥有a、b 两种物品的量。二模型建

13、立：显然甲、乙双方均希望通过交易以得到更大的满意度，即从甲方的角度， 应极大化，从乙方的角度， 应极大化，当然还应考虑一些约束条件， 我们一并归结为如下多目标最优化问题：三模型求解：作定性的分析，满意度函数、应具有如下性质：1. 满意度函数连续、非负，且对各自变量单调递增，即；2. 考察满意度函数的等值线族，这里称之为甲方的无差异曲线族，应满足： 对不同的二常数，无差异曲线与不交；假设将视为一隐函数，变量对于变量单调递减；曲线为下凸的，即在通常情况下，人们当在拥有一种物品a的量相对多时，倾向以较多的这种物品a来换取较少的另一种物品b。3. 而满足如上特点的函数类有很多，比方其中为参数、其中为参

14、数、其中为参数等。进而可得，问题的一个有效解须满足的必要条件：1，；23，即，；。所有有效解构成一段有限曲线段，称之为交换路径 。§4.2 允许缺货确实定性贮存模型我们经常遇到这样的情形： 当我们到一家商店中购置一件物品时，被店员告知该物品缺货在本节我们讨论一个允许缺货确实定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货确实定性贮存模型相比， 容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售时机， 从而使利润减少； 减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费 。一模型假设：1. 假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定， 即在任何时刻，单位时间每天对物品的需

15、求量恒为吨；2. 商店采用周期进货策略：每隔时间天进货吨；且假设每次进货是在存货全部售出之后进展，允许缺货，即；3. 每次进货需支付订货费等一次性费用，在正常期间，还需支付货物的贮存费用， 单位时间天单位吨货物需支付货物的贮存费用；在缺货期间需对由于错失销售时机而承当损失，每天单位时间天单位吨货物需支付缺货费；4. 以表示在时刻该货物的存量，当时表示缺货量；二模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：可以进一步化简，得，即本模型有两个独立的决策变量、，其中目标函数表示在进货周期为、进货量为时， 商店在单位时间每天承当的平均费用，为、的一个二元函数。三模型求解令，解之可得最优的进货周期，进而得每

16、次的进货量。四点评将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进展比拟，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少， 即确实存在一段时间， 商店是处在缺货状态下的。如果我们关心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于销售收入， 即其盈利行为发生在有货供给的时段内，而在缺货期内只能错失销售时机，因此， 定性判断，假设以一次进货量取，商店将进货周期缩短到，其盈利会增加。即对经营单一商品的以盈利为目的的商店不应当允许缺货。这与本模型及其解答存在矛盾，问题发生在什么地方？在追求利润最大化与本钱最小化之间是有差异的，前者是一种积极的经济行为目标，后者相对消极，只有假定总的销售收入产值一样时，二者才是等价的；如

17、果在假定二者一致的前提下，假设，即可得要么不允许缺货， 要么永不进货 即放弃经营该产品 的结论在自由市场的条件下，这样的结论更为实用， 而本节模型及其解答只有当商家在对一种商品的经营具有垄断地位时才有实用意义。在自由市场的条件下， 人们在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺货的现象，本节模型是不能给出答复的， 而其原因在于通常的商店经营的商品并非单一， 顾客的流量是有很大随机性的。 读者可以试着考虑在假定顾客的需求量确定的前提下，同时经营两种以上商品的最优进货策略问题。§4.4 随机贮存模型策略由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中， 还有一种进货策略策略被广为采用：商店老

18、板每隔一定时间要对商品的存货进展清点，只 有当存货数量缺乏时才决定进货， 且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值。一模型假设1. 假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一周，商店老板要对商品的存货进展清点，以决定是否进货。 只有当存货数量缺乏时才决定进货， 且一次进货的订货量取与当前存货数量的差值，表示进货量；2. 顾客在一周时间内对该物品的需求量是一随机变量，表示随机变量的概率密度函数；3. 商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费，其取值与进货数量无关； 每件商品在一周的贮存费。、分别表示一件商品的购进价格和售出价 格；4. 商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付一周的贮存费用；二模型建立首先考虑确实定，设当前存货数量，且决定进货，这时进货数量成为决策变量。和报童卖报一样，的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。为进货数量取，而需求量为时商店在下周的利润。取其数学期望，得：假 设 记， 那 么。三模型求解令，得最优性条件：，其经济意义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。我们也直接从最优性条件获得， 不管当前存货数量取何值，只要决定进货， 那 么 最 优 的 订 货 量 总 是 使 得 下 期 起 初 的 货 物 量到 达确 定 的 值 ：，即应满足。按照前面的进货策略，根据当前存货数量