肇庆市届高中毕业班第一次统一检测(理数)（精编版）

1、试卷类型： a* 市 2016 届高中毕业班第一次统一检测题数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共24 小题，满分150 分. 考试用时 120 分钟 .注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、* 、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2b 铅笔将 * 号涂黑 .2. 选择题每小题选出答案后，用2b 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原

2、来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.第卷一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合m x | x25x60， nx | x2160，则 mn （ a ）（ 4,1（b ） 1,4（ c） 6,4）（d ） 6,4）（2） 已知复数z11ii ，则复数z 的模 z（ a ）2（ b）22（ c）10（ d）102（3） “x2 ”是“x2 4 0”的（ a ）必要而不充分条件（b ）充分而不必要条件（ c）充要条件（ d）既不充分也不必要条件（4） 复数 z20151i1 i（

3、a ） 1（ b ）1（ c） i（ d） i（5） 已知x, y 的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.75从散点图分析，y 与 x 线性相关，且y 0.95 xa ，则当 x 5 时，y 的值是（ a ） 7.35（ b） 7.33（ c）7.03（ d） 2.6（6） 已知m xn |66xn ，则集合 m 的子集的个数是（ a ） 8（ b） 16（ c） 32（d ） 64（7） 若如图1 所示的程序框图输出的s 是 30，则在判断框中m 表示的 “条件 ”应该是（ a ） n3（ b） n4（ c） n5（d ） n6（8） 已知x, y 满足不等式xy0xy30 ，

4、则函数zx3 y 取得最大值是x3（ a ） 12（ b） 9（ c） 6（d ）3（9） 在 oab 中， o 为直角坐标系的原点，a ，b 的坐标分别为a（ 3,4），b（ 2， y ）， 向量 ab 与 x 轴平行，则向量oa 与 ab 所成的余弦值是（ a ）35（b ）35（ c） 35（ d ） 35（10） 已知在 abc 中， abc 60°，ab 2，bc 6，在 bc 上任取一点d ，则使 abd为钝角三角形的概率为（ a ） 23（ b） 12（c） 13（ d） 16（11）设 k 1， 2，3， 4， 5，则 (x2) 5 的展开式中xk 的系数不可能是（

5、a ） 10（b ）40（ c） 50（d ）80（12） 已知 a ， b ，c， d， e 是球面上的五个点，其中a ， b ，c， d 在同一圆周上，若e不在 a ，b ， c， d 所在圆周上，则从这五个点的任意两点连线中取出2 条，这两条直线是异面直线的概率是（ a ） 15（ b ） 35（c） 215（ d） 415第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22题第 24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13） 执行图 2 的程序框图，若p 0.8，则输出的n （14） 已知一个几何体的三视图如图

6、3 所示， 正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于x1（15） 已知xy2 xy10，则 ( x202) 2( y1)2 的最小值为（16） 有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3，已知球的半径r 2，则此圆锥的体积为三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12 分）从我市某企业生产的某种产品中抽取20 件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：质量指标值分组10,20 ）20,30 ）30,40 ）40,50 ）50,60 ）60,70 ） 频数234542（ ）请你填写下面的频率分布表：若

7、规定“质量指标值不低于30 的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？质量指标值分组10,20 ）20,30 ）30,40 ）40,50 ）50,60 ）60,70 ） 频率0.150.2（ii ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）。18、（本小题满分12 分）如图 4，正三棱柱abc a 1b1 c1 的所有棱长都为4， d 为 cc1 中点。（ i）求证： ab 1平面 a 1bd ；（ ii）求直线ab 1 与平面 bcc 1b1 所成角的正弦值。19、（本小题满分12 分）某社团组织50 名志愿者参加社会公益活动

8、，帮助那些需要帮助的人，各位志愿者根据各自的实际情况，选择了两个不同的活动项目，相关的数据如下表所示：宣传慰问义工总计男性志愿者111627女性志愿者15823总计262450（1） 先用分层抽样的方法在做义工的志愿者中随机抽取6 名志愿者，再从这6 名志愿者中又随机抽取2 名志愿者，设抽取的2 名志愿者中女性人数为，求的数学期望。（2） 如果 “宣传慰问 ”与“做义工 ”是两个分类变量，那么你有多大把握认为选择做宣传慰问与做义工是与性别有关系的？附： 2× 2 列联表随机变量k 2n(adbc)2.p(k 2k ) 与 k 对应值表：( ab)( cd )( ac)( bd )p(

9、 k 2k)0.150.100.050.0250.0100.005k2.0722.7063.8415.0246.6357.87920、（本小题满分12 分）如图 5，已知边长为2 的等边 pcd 所在的平面垂直于矩形abcd 所在的平面，bc 2 2 ， m 为 bc 的中点。（ i）证明： am pm（ ii）求二面角p cm a 的余弦值。21、（本小题满分12 分）某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成a ，b 两种规格的小袋，每袋大米可同时分得 a ， b 两种规格的小袋大米的袋数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为 5 袋和 10 袋，市场急需a ，b 两种

10、规格的成品数分别为 15 袋和 27 袋。（ i）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需a ， b 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？（要求画出可行域）（ ii）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率。请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用 2b 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22（本小题满分10 分）选修4 1：几何证明选讲。如图 6， abc 内接于 o，ae 与 o 相切于点a ， bd 平分 abc ，交 o 于点 d， 交 ae 的延长线于点e， df ae 于点 f。（ i）求证：a

11、bae ；adde（ ii ）求证： ac 2af 。23（本小题满分10 分）选修4 4: 坐标系与参数方程。在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 c 的方程为 x2y1 ，直线 l 的极坐标方程为2cossin2 0。24（ i）写出 c 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（ ii ）设 l 与 c 的交点为p1，p2，求过线段p1p2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程。24、（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲。设函数f ( x)| xa |；（ i）当 a 1 时，解不等式f (x)f (x)4 ；（ ii）证明：f ( x

12、)f12 x数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案adbcabbacbcd二、填空题13 4144015 1016或 3（答对一个给3 分，答对两个给5 分）311144014 解析：几何体的直观图如下图所示，体积vsbcc ecd44313236916 解析：由r 23得圆锥底面半径为r3 ，如图设oo1x ，则 xr2r 222231 ，圆锥的高hrx3 或 hrx1所以，圆锥的体积为v1 sh1333或 v1 sh1313333三、解答题质量指标值分组10 ，20)20， 30)30 ， 40)40， 50)50， 60)60 ， 70）频率0.10.150

13、.20.250.20.1（ 17）（本小题满分12 分）解：（）频率分布表如下：该企业生产的这种产品的合格率为：（ 2 分 ）p0.20.250.20.10.75 （ 4 分）（）因为众数是频数最大的区间的“中间值 ”，故众数405045 （ 6 分）2因为平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值 ”之和，所以平均数为：x150.1250.15350.2450.25550.2650.141 （ 9 分）中位数：因为中位数左边和右边的频率相等，从表中可知，中位数落在区间40 ，50)内，设中位数为 x ，则0.10.150.20.25x40100.5 ，解得 x42 .即这种产品质量指标值的中位

14、数的估计值为42 .（ 12 分）（ 18）（本小题满分12 分）解法一：（）证明：如图，取bc 中点 o ，连结 ao ，b1o . abc为正三角形，aobc （1 分）正三棱柱abca1b1c1 中，平面abc 平面bcc1b1 ，且面 abc面 bcc1b1 =bc，ao面bcc1b1 （2 分） bd面 bcc1b1 ， bdao .（ 3 分）在正方形bb1c1c 中， o， d分别为bc， cc1 的中点，bd b1o .（ 4 分） aob1oo ，ao, b1o面ab1o ， bd 面ab1o .（ 5 分）又 ab1面 ab1o ,ab1bd （ 6 分）在正方形abb1

15、a1 中，ab1 a1b ，（ 7 分）又 bda1bb ab1 平面a1 bd （ 8 分）（）解：由（）知，ao平面影，bcc1 b1 ，所以ob1 是直线ab1 在平面bcc1b1 内的射故ab1o 是直线ab1 与平面2bcc1b1 所成的角 .（ 9 分） aoab2bc 2422223 ，（ 10 分）ab1ab 2bb242 ，（11 分）1 sinab1oao236，即直线ab1 与平面bcc b 所成角的正弦值为6 .ab14244（ 12 分）11解法二：（）如图，取bc 中点 o ，连结 ao （ 1 分） abc 为正三角形，ao bc ，2222bc且 aoab242

16、23 （ 2 分） abca1 b1c1 是正三棱柱，平面abc 平面 bcc1b1 ，且面 abc面 bcc1b1 =bc， ao 平面bcc1b1 （ 3 分）以 o 为 原 点 ， 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 b(2,0,0)，d(2,2,0)（4 分），a1 (0,4,23)，a(0,0, 23)，b1(2, 4,0). ab1(2,4,23) ， bd(4, 2,0) ，ba1(2,4,23)（ 5 分） ab1bd8800 ， ab1ba1416120 ，（ 6 分） ab1 bd ，ab1 ba1 ，即ab1bd, ab1ba1 .（7 分）又 bdba1

17、b, bd , ba1面 a1bd ，ab1 平面a1bd （ 8 分）（） 由（） 知， ab1(2,4,23) ， ao(0,0,23)是平面bcc1b1 的一个法向量，（ 9 分）所以 cosoab1ab1ao126.（ 11 分）| ab1 | ao |41612234因为直线ab1 与平面bcc1b1 所成角的正弦值等于向量ab1 、ao 所成角的余弦值， 所以直线 ab1 与平面bcc b 所成角的正弦值为6 .（ 12 分）114（ 19）（本小题满分12 分）解：（）若在做义工的志愿者中随机抽取6 名， 则抽取比例为61244，女性志愿者的应该抽取 8142 人.（ 2 分）c

18、 cc cc281在上述抽取的6 名志愿者中有2 人是女性志愿者， 其余 4 人是男性志愿者，可能的取值为 0， 1， 2.（ 3 分）因为 p(0)02c5，224p(1)611，24c6215p(2)22c6215，（ 6 分）所以的数学期望为e281012515152.（8 分）3（） k 250(1181615)2272326242.981 ，（ 10 分）且 p( k 22.706)0.110% ，有 90% 的把握认为选择做宣传慰问与做义工是与性别有关系的.（12 分）（ 20）（本小题满分12 分）( ) 证明：解法一： 取 cd 的中点 o，连结 op，则 op cd .（ 1

19、 分）面 pcd面 abcd ,且面 pcd 面 abcd =cd ， op面 pcd ， op面 abcd .（ 2 分）从而apo,mpo 为直角三角形 .pcd 是边长为2 的正三角形，po3 .又 abcd 是矩形，且adbc22,abcd2 ， oaad2do 2222123 ，paao 2amab2po 2bm 22323222223 ，（ 3 分）6 ，（ 4 分）1122又 ombd222223 ，2 pmpo 2om 26 ，（5 分） pa2pm 2am，即 ampm .（ 6 分）解法二： 取 cd 的中点 o，连结 op，则 opcd .（ 1 分）面 pcd面 abc

20、d ,且面 pcd 面 abcd =cd ， op面 pcd ， op面 abcd .（ 2 分） am面 abcd , amop .（3 分）又 abcd 是 矩 形 ，m , o 分 别 是bc ,cd的 中 点 ， 且adbc22,abcd2 oaad2do 22222123 ，amab2bm 22226 ，1122ombd2222223 ， oa2om 2am， amom .（ 4 分） poomo, am面 pom ，（ 5 分）又 pm面 pom ， ampm .（ 6 分）（）解： 由（）知，pm6 ，又 pc2, cm1 bc2 ，22 pm 2pc2cm，（ 7 分）故 pc

21、bc .（ 8 分）又 abcd 是矩形， cdbc .（ 9 分）dcp 是平面 pcm 与平面 abcd 所成二面角的平面角.（ 10 分）dcp60 ，二面角 p cm a 的余弦值为解法三：cos 601.（ 12 分）2证明：（） 取 cd 的中点 o，连结 op，则 op cd .（ 1 分）面 pcd面 abcd ,且面 pcd 面 abcd =cd ， op面 pcd ， op面 abcd .（ 2 分）pcd 是边长为2 的正三角形，po3 .以 o为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系（如图），则 a, m , p的坐标分别为a(22,1,0), m (2,1,0).

22、p(0,0,3).（3 分） am(2, 2,0), pm(2,1,3).（4 分） ampm2221030 ，（ 5 分） ampm ，即 ampm .（ 6 分）解：（） 由（）知，c, m , p 的坐标分别为c (0,1,0),m (2,1,0). p(0,0,3) ，则 pc(0,1,3) ， pm(2,1,3) .（7 分）设 n1( x, y, z) 是平面 pcm 的一个法向量，则n1pcn1pm0,y3z0,即0.2xy3z（ 8 分）0.令 z1，则 x0, y3 ，所以 n1(0,3,1) 是平面 pcm 的一个法向量， （ 9 分）又 n2(0,0,3) 是平面 abc

23、d 的一个法向量， （10 分）设平面 pcm 与平面 abcd 所成的二面角的平面角为，则 cosn1n231，| n1 | n2 |03132所以二面角p cm a 的余弦值为12.（ 12 分）（ 21）（本小题满分12 分）解：（）设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x 、 y ，所用的袋装大米的总袋数为z ，2 xy15x3 y270x50y10则（ 3 分）zxy,( x, y 为整数 )（ 4 分）作出可行域d 如图（ 6 分）从图中可知，可行域d 的所有整数点为： （ 3，9），（3， 10），（4， 8），（4， 9），（4， 10），（ 5， 8），（5， 9），（5， 1

24、0），共 8 点.（ 8 分）因为目标函数为zxy,( x,y 为整数 ) ，所以在一组平行直线 x yt(t 为参数 )中，经过可行域内的整点且与原点距10离最近的直线是x y12，其经过的整点是（3， 9）和（ 4， 8），它们都是最优解 （ 9 分） 所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3 袋、 9 袋或 4 袋、 8袋可使所用的袋装大米的袋数最少.（ 10 分）（）由（）可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个， 所以所求的概率为p21 .8412（ 22）（本小题满分10 分）证明：（） ae 切 o 于点 a， ead = eba.（ 1 分） 又 e =e， dae abe.（3 分）（ 12 分） da = de ， 即abaeabae=.(5 分)adde（）过点d 作