2020版高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练(三)数列

1、(三)数列、, 、 . 、 、 .一一 一 .、 、, * . . .1. (2019 宁波中学模拟)设数列an的前n项和为&,对于任意nCN满足：an>0,且an是 4s和3 a2的等差中项.求ai的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n,都有云+扇+/<4，2 .,(1)解an是4&和3-an的等差中项，2 an = 4S，+3 an,对于上式，令n=1,则 2ai = 4ai + 3 ai? ai = 3 或 ai = 1,又 an>0,ai = 3.(2)解 易知，4Sn= an+ 2an - 3 ,4Si+1 = an+1 +

2、2an+i 3, nCN,上述两式作差并化简得2( an+ 1 + an) = 3n+ 1 ch ,即 2( oi+1 + 0i) = (an+i + an)( an+i an), *又 an>0,所以 an+1an=2, n N,即数列an为等差数列，公差为 2 ,由 ai = 3,可知 an = ai + 2(n-1) = 2n+1,即数列an的通项公式为 an=2n+1, nC N*.5口口 1111(3) , a2 2n + 1 24n2+ 4n+ 1<4n2 + 4n1 11= ? 4 n n+ 11 1 11即耳4 l nr?，于是 L+ %+ 4ai a2 an111

3、1111<4 LI + 23 + 厂_ 111=4 1 -n+ 1 <4'即对一切正整数n,都有2+2a1a2an 42.已知数列an满足 a1=2,an+1= 2(S+n+1)( nCN*),令bn=an+1.(1)求证：bn是等比数歹U； (2)记数歹Unbn的前n项和为Tn,求Tn；11111111 11求证：2E<a;+£+i+an而(1)证明a1=2, a2= 2(2+2) = 8,*、an+1 = 2(Sn+ n +1)( n1N),an=2(S 1+n)( n>2),两式相减，得 an+1=33n + 2(n>2).经检验，当n =

4、 1时上式也成立,即 an+ 1=3an+2(n>1).所以 ch+ 1 + 1 = 3( an+ 1),即 bn+1=3bn,且 b1= 3.故bn是首项为3,公比为3的等比数列.(2)解由(1)得 bn= 3 , nbn= n 3 .Tn= 1 X 3+2X 3 2+ 3X 3 3+ nX3n, 3Tn= 1 X 3 2+ 2X 3 3+ 3X 3 4+ nX 3n十二两式相减，得-2Tn = 3+32+ 33+ 3nnx3n+133 3化简得= 2n 4 X3n + 证明 由(1)得bn= 3n,所以an= 3n 1,所以3k+1-13k1= 3k1 3k+1- 1 + 1 + -

5、+-+ 工 >：+5a1 a2 a3an 3 3311-J3-二二12 2 3-33k+1<3k-1 3k+1-13112 3k-1 3k+1-1，aia2a3an1 3<2+21321133 113311口 +3 -1 31_n+1 - 11 3=一十 一 2 2132113n +1 1n+T_ 11 二7<帝111.1.12 2 x 3 n a1 ' a2' a31 113. (2019 余高等三校联考,-,., 一 1)已知an是公比大于0的等比数列，bn是等差数列，且 a1=-,=+ 4, as = 、a2a3- a4 ".b4 + b

6、6b5 + 2b7求数列 3和 bn的通项公式;4 n+2 an+1、，、31*(2)右 Cn= - >.,记 Sn= C1+ C2+ + Cn,求证：-< Si<-( n C N).n+ 1 bn+182解 设数列an的公比为q( q>0),1 a1=5.naq ayq- 2=0,解得 q=1(舍)或 q = 2,1*、 an=列nC N).设数列bn的公差为d,b + 4d = 4,3b1 + 16d= 16,16 3b1+16d'b1 = 0, 解得d= 1,* .bn=n-1(nN).(2)证明n+21 Cnn+ 1an + 1n+2bn+1n n+1n

7、n+ 1Sn =7- Z 21X2 2X21T 22X213X23+n 1n+ 122 n+1F <5 ；2'又 Sn+ 1 - Sn= -22 n+2 n+3nn =nTn+ 1 -2n+1 n + 2 2»0, 数列$递增,综上，-< Sn<-(n N). 824.(2019 衢二中模拟)设数列an的前n项和为S,已知a1=1,an1an= 2Tai(n>2)-求数列an的通项公式;(2)求证:11-nW Sn<.12-=+ 1an11一+ 1=2 an1 一十1an11又=1, a11.v11- an=27l_ *(nC N).(2)证明n

8、= 1 时，S = a1 = 1,3 1_ 2-2=1n+ 1当 n>2 时，an>2n,即 &>1 + 1+23+ 2n-=3-l12 2 2Sn>2-2n(ne N),.an>0, .$递增,a1= 1 , a2= Z,321当 n > 3 时，an<2n = 2，1,1111即 $<1 +3+亍+23+ 2n-i44 11111 11111- 81<S<S5<, 6_ *nC N)综上所述，| 4n< Si<7t( n N). 2 2633an5.已知数列an的首项 a1 = -, an+1 =-, n

9、 = 1,2 , .52an 1(1)求an的通项公式;(2)证明：对任意的 x>0, an>-二标一X , n=1,2 ,; 1+x1+x32(3)证明：a+a2+ an>-.n+ 1解1=2, 33anOn+ 1,2an+ 11_2OnT = 3厂=$(nN)-(2)证明,“3n由(1)知 an=3Z2>0,12H+1, On 32n x3111+x 1+x112an1 + x2 3 1 + x1anan2 I 7 + an< an,，原不等式成立.证明由(2)知，对任意的x>0,1ai + a2 + an 1 + x12112112K3 x +eTTT

10、 32x +eTTT 3n1+x 1 + x 2 3+1 2 2211.取 x= n3 + 37+,"+ 3n =n>3n则 a + a2+ + an>11 + n，原不等式成立.6. (2019 浙大附中模拟)在数列an中，a=1, an+1 = can+cn1(2n+1)( nC N*),其中实数CW0.(1)求an的通项公式;(2)若对一切kC N*有a2k>a2k1,求c的取值范围.解 (1)方法一 由 a1=1, a2= ca1+ c2 , 3= 3c2+ c= (2 21) c2+ c,as= ca2 + c3 - 5= 8c3+c2=(32 1) c3

11、 + c2, a4=ca3 + c4 7= 15c4+ c3= (42-1)c4+c3, 猜想 a= (n21) cn+cnT, nCN*.下面用数学归纳法证明.当n= 1时，等式成立；假设当n=k时，等式成立，即 ak = (k21)ck+ckT, 则当n= k+1时，ak+1 = cak+ ck”(2 k+1)=c( k2- 1) ck+ ck1 + ck+1(2 k+ 1)=(k2 + 2k)ck+1+ck= ( k+1)2- 1 ck+1+ c：综上，an= ( n2- 1)cn+ cn 1对任何nCN*都成立.an+1an_万法一 由原式得cnri = cn+(2n+1).an1令

12、bn=,则 b1 = -, bn+1= bn+ (2 n+1), cc因此对 n > 2 有bn = (bn bn1) + (bn1 bn2)+ (bz b) + b1= (2n1) +(2 n- 3) + 3+= n2-1+1, c因此 a= (n21) cn+cnT, n>2.又当n= 1时上式成立.因此 d= (n21) cn+cnT, nCN*.(2)方法一由 a2k>a2k-1,得(2 k)2- 1c2k+c2k1>(2 k1)21 c2k1+c2k 2,因为 c2k 2>0,所以(4k2 1) c2(4k24k 1)c- 1>0,为关于c的一元二

13、次不等式，4k2- 1>0,解此不等式得对一切kCN*,有c>ck或c<cJ ,其中ck =4k 一4k 1 +4k2、- 4k- 1 2+4 41 12 4k2 1fck4k 4k 1 -4k“ 4k 1 ”+4 4k”-彳2 4k21易知 kiimooC-1，又由 y 4k24k 1 2+4 4k2 1<、4k21 2 + 4 4k2 1 + 4 = 4k2 + 1 知,4k2-4k- 1 +4k2+1 8k2 4kck<2 4k2- 18k2-2 <1?因此由c>ck对一切ke N*成立得c>1.又ck'-24k2- 4k 一 1

14、+ 4k之一 4k一 1 2+ 4 4k2- 1易知c/关于k单调递增，故ck' > c1z 对一切 k e N* 成立,因此由c<cJ对一切ke N*成立得c<c11+yi36从而c的取值范围为一8, 方法二 由a2k>a2k-1,得(2 k)2- 1 c2k+c2kt>(2 k-1)2-1 c2k、c2k 2, 因为 c2k 2>0,所以 4(c2 c) k2+ 4ck c2+ c1>0 对 k e N*恒成立. 记 f (x) =4(c2c)x2+4cx c2 + c 1,下面分三种情况讨论.当c2 c= 0即c= 0或c= 1时，代入验证可知只有 c =1满足要求.当c2c<0时，抛物线y=f(x)开口向下,因此当正整数k充分大时，f(x)<0,不符合题意，此时无解.当c2 c>0即c<0或c>1时，抛物线y=f(x)开口向上，其对称轴1x=2 1c必