华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数实用教案

1、定义(dngy) 称级数（4.3）为复常数(chngsh)，称为双边(shungbin)幂级数（4.3）的系数 为双边幂级数，其中 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.4.4.1 双边幂级数第1页/共29页第一页，共30页。负幂项部分(b fen)非负幂项部分(b fen)主要(zhyo)部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)第2页

2、/共29页第二页，共30页。收敛(shulin)半径收敛(shulin)域收敛(shulin)半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1az0RrHf(z)=f1(z)+ f2(z)1R 时，收敛第3页/共29页第三页，共30页。z0212z 双边幂级数在圆环域双边幂级数在圆环域 内收敛内收敛. .例如(lr)(lr)：双边幂级数 这时,级数(4.3)在圆环H:r|z-z0|R 收敛(shulin)于和函数f(z)=f1(z)+ f2(z)第4页/共29页第四页，共30页。 在收敛圆环域内也具有(jyu). (jyu). 例如, , 可以证明, , 上述级数在收敛域内其和函数是解

3、析的, , 而且可以逐项求积和逐项求导. .幂级数在收敛圆内的许多性质(xngzh), (xngzh), 级数现在(xinzi)(xinzi)反问, , 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数? ?先看下例. .第5页/共29页第五页，共30页。其次(qc),在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的负次幂级数:1Oxy 函数函数 在在 及及 都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域 及及 内部都是解析的内部都是解析的. .先研究先研究 的情形的情形: :1( )(1)f zzz 0z 1z 0 | 1z 0 |1| 1z 0 | 1z 由此可见由此可见, 内是可以展开为内是可以展

4、开为z的负次幂级数的负次幂级数.( )0 | 1f zz在在第6页/共29页第六页，共30页。 定理(dngl)4.7 (洛朗定理(dngl) 在圆环H:r|z-z0|R, (r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数其中其中(qzhng)(4.3)4.4.2 4.4.2 解析(ji x)(ji x)函数的洛朗展式z0第7页/共29页第七页，共30页。证 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向(zhn xin)圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1 RK2 z0由柯西积分(jfn)公式得和泰勒展式一样(yyng)可以推

5、得：第8页/共29页第八页，共30页。第9页/共29页第九页，共30页。CR2R1z0 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个(y )式子来表示:第10页/共29页第十页，共30页。 称为(chn wi)函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为(chn wi) f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开(zhn ki)为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数.其中(qzhng)第11页/共29页第十一页，共30页。注1

6、 1：注：注3：Taylor级数(j sh)是Laurent级数(j sh)的特殊情形第12页/共29页第十二页，共30页。 注4：同一(tngy)函数在不同区域内的展开式不同； 例如 在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。12( )()if zz zi 展开展开(zhn ki)点为点为i：f(z)在复平面内有两个奇点在复平面内有两个奇点: z=0与与z=-i, 分别在以分别在以i为中心的圆周为中心的圆周: |z-i|=1与与|z-i|=2上上. 因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括(boku)圆域)内的展开 式有三个: 1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2

7、中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;Oii 展开点为展开点为 i：f(z)在复平面内有一个奇点在复平面内有一个奇点: z=0在以在以-i为中为中心的圆周心的圆周:|z+i|=1上上. 因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| + 中的洛朗展开式。i0第13页/共29页第十三页，共30页。将函数(hnsh)展为洛朗级数常用方法(fngf) : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接(zhji)展开法利用定理公式计算系数nc然后写出缺点: 计算往往很麻烦.第14页/共29页第十四页，共30页。4.4.3

8、 典型典型(dinxng)例题例题例1 1解：由定理(dngl)知:其中(qzhng)故由柯西古萨基本定理知:由高阶导数公式知:第15页/共29页第十五页，共30页。根据(gnj)正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数运算、代换、求导和积分等方法(fngf)去展开 .优点(yudin) : 简捷 , 快速 .2. 间接展开法间接展开法第16页/共29页第十六页，共30页。另解 ! 4! 3! 211122zzzz本例中圆环域的中心(zhngxn) z = 0 (zhngxn) z = 0 既是各负幂项的奇点, ,第17页/共29页第十七页，共30页。例2 2 内是处处(chch)解析的,试

9、把 f (z) 在这些(zhxi)区域内展开成洛朗级数.解：oxy1第18页/共29页第十八页，共30页。1 z由12oxy 21111zzz第19页/共29页第十九页，共30页。2oxy2 z由12 z此时zzz211121 仍有zzz111111 21111zzz第20页/共29页第二十页，共30页。注意注意:0 z奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点 .本例中圆环域的中心是各负幂项的说明说明(shumng):1. 函数)(zf在以0z为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有0zz 的负幂项, 而且0z又是这些项的奇点, 但是0z可能是函数)(zf的奇点,也可能)(zf的奇点.不

10、是第21页/共29页第二十一页，共30页。2. 给定了函数)(zf与复平面内的一点0z以后, 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例).回答(hud)：不矛盾 .朗展开式是唯一(wi y)的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否(sh fu)相矛盾?(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛第22页/共29页第二十二页，共30页。解： z0例3 将函数 及 在z0=0的去心邻域内展成洛朗级数. 2 sinsinzzzz z0第23页/共29页第二十三页，共30页。2113()()zz 13|z 例4:4:求函数在圆环内的罗朗级数展式. . 13|z 1113|,|zz 解：由于，那么 我们(w men)得而 所以(suy)有第24页/共29页第二十四页，共30页。例例4 4解： 第25页/共29页第二十五页，共30页。习题(xt)(xt)内的洛朗展开式. 解： 第26页/共29页第二十六页，共30页。第27页/共29页第二十七页，共30页。第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的观看(gunkn)！第29页/共29页第二十九页，共30页。NoImage内容(nirng)总结定义 称级数。第1页/共29页。第2页/共29页。(r0,R+)内解析的函数f(