湖南省常德市官垱中学2021年高三数学理期末试题含解析

1、湖南省常德市官垱中学2021年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（    ）a. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少b. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍c. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同d. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所

2、增加参考答案：d【分析】设2016年参考人数为，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。【详解】设2016年参考人数为，则2016年一本达线人数，2019年一本达线人数，a错；2016年二本达线人数，2019年二本达线人数，增加了，不是一倍，b错；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，c错；2016年不上线的人数，20196年不上线的人数，d正确。故选：d。【点睛】本题考查统计表格的应用，解题关键是读懂表格给出的数据，并能加以应用。2. 已知f是双曲线c：的一个焦点，点p在c上，o为坐标原点，若，则的面积为abcd参考答案：b设点，

3、则又，由得，即，故选b 3. 设正项等比数列中， ，则a12            b10        c8         d参考答案：b4. （5分）（2015?上海模拟）关于函数和实数m、n的下列结论中正确的是（） a 若3mn，则f（m）f（n） b 若mn0，则f（m）f（n） c 若f（m）f（n），则m2n2 d

4、 若f（m）f（n），则m3n3参考答案：c【考点】： 指数函数单调性的应用【专题】： 综合题；探究型【分析】： 观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+）上的单调性，再由偶函数的性质得出在r上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：函数是一个偶函数又x0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，a选项无法判断m，n离原点的

5、远近；b选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；c选项是正确的，由f（m）f（n），一定可得出m2n2；d选项f（m）f（n），可得出|m|n|，但不能得出m3n3，不成立综上知，c选项是正确的故选c【点评】： 本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题5. 已知集合则（  ）.参考答案：

6、b略6. 已知集合a=x|log2（x1）1，b=x|，则“xa”是“xb”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件参考答案：a【分析】利用对数函数的单调性化简集合a，利用不等式的解法可得b，再利用简易逻辑的判定方法即可得出【解答】解：由log2（x1）1，可得0x12，解得1x3a=（1，3）由0，?（x+1）（x3）0，解得1x3b=（1，3）则“xa”是“xb”的充分不必要条件故选：a7. 复数（i是虚数单位）等于         （    ）

7、60;   a4+3i           b43i          c4+3i         d43i参考答案：d8. 已知复数，复数满足，则 ()a. 2b. c. d. 10参考答案：b【分析】先根据已知求出复数，再求.【详解】由题得，所以.故选：b【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算

8、，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9. 执行右面的程序框图输出的t的值为  (a)4    (b)6(c)8    (d)10 参考答案：b略10. 已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为   (a)  (b) (c)(d)参考答案：d 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在，已知，则的大小为      参考答案：120°12. 函数的图象恒过定点

9、,且点在曲线上，其中，则的最小值为_.参考答案：13. 如右图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为且 ，记矩形的周长为，则            。参考答案：21614. 现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是      参考答案：等比数列的通项公式为，由，所以为偶数，即为奇数，所以，解得，即，所以共有8个，所以从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8

10、的概率是。15. 是圆o的直径，为圆o上一点，过作圆o的切线交延长线于点，若dc=2，bc=1，则       . 参考答案：16. 已知等差数列an的前n项和为sn，若3，a7，a5也成等差数列，则s17参考答案：51【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列通项公式求出a1+8d=3再由=17（a1+8d），能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为sn，3，a7，a5也成等差数列，2（a1+6d）=3+（a1+4d），a1+8d=3=17（a1+8d）=51故答案为：51【点评】本题考查等差数列的第17项的求法，是基础题，

11、解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用17. 若函数，已知，则_参考答案：3【分析】根据分段函数性质求参数，再代入求【详解】因为，所以，因此故答案为：3【点睛】本题考查分段函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线c1的极坐标方程为，曲线c2的极坐标方程为，射线与曲线c1分别交异于极点o的四点a，b，c，d.（1）若曲线c1关于曲线c2对称，求a的值，并把

12、曲线c1和c2化成直角坐标方程；（2）求|oa|·|oc|+|ob|·|od|的值.参考答案：（1）：，-2分：，-4分因为曲线关于曲线对称，：-5分（2）；， -8分-10分已知定义在19. r上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)f(y)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1) (1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在r上是减函数；(3)求f(x)在3,6上的最大值与最小值参考答案：(1)令xy0，可得f(0)f(0)f(00)，从而f(0)0. 令yx，可得f(x)f(x)f(xx)f(0)0.即f(x)f(x)，故f(x)为奇

13、函数(2)证明：设x1，x2r，且x1>x2，则x1x2>0，于是f(x1x2)<0，从而f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)<0.f(x)为减函数(3)由(2)知，所求函数的最大值为f(3)，最小值为f(6)f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2，f(6)f(6)f(3)f(3)2f(3)4.于是f(x)在3,6上的最大值为2，最小值为4.20. 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，

14、每年初的价值为上年初的75%   （）求第年初的价值的表达式；   （）设，若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新，证明：须在第9年初对更新参考答案：解：（i）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列           当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以           因此，第年初，m的价值的表达式为 (ii)设表

15、示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，由于s6=570.故因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对m更新 21. 5a级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入万元之间满足：，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元。（参考数据：，）求的解析式。求该景点改造升级后旅游利润的最大值。（利润=旅游增加值-投入）参考答案：（1）由条件可得，解得a=-，b=1则f（x）=-+x-ln（x10）（2）由t（x）=f（x）-x=-+x-ln（x10），则t（x）=-

16、+-=-，令t'（x）=0，则x=1（舍）或x=50，当x（10，50）时，t'（x）0，因此t（x）在（10，50）上是增函数；当x50时，t'（x）0，因此t（x）在（50，+）上是减函数，故x=50为t（x）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元即该景点改造升级后旅游利润t（x）的最大值为t（50）=24.4万元略22. （本题满分14分）如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd,dab为直角，abcd,ad=cd=24b,e、f分别为pc、cd的中点.（）试证：cd平面bef;（）设pak·ab,且二面角e-bd-c的平面角大于,求k的取

17、值范围.参考答案：解法一：（）证：由已知dfab且dab为直角，故abfd是矩形，从而cdbf. 又pa底面abcd, 故pacd，而cdad，从面cd平面pad.cdpd. 3分在pdc中，e、f分别pc、cd的中点，故efpd,从而cdef,由此得cd面bef. 6分 （）连结ac交bf于g.易知g为ac的中点.连接eg,则在pac中易知egpa.又因pa底面abcd,故bc底面abcd.在底面abcd中，过c作ghbd,垂足为h,连接eh.由线面垂直知ehbd.从而ehg为二面角e-bd-c的平面角. 8分 设ab=a,则在pac中，有bg=pa=ka.以下计算gh，

18、考察底面的平面图（如答(19)图）.连结gd.因scbd=bd·gh=gb·of.故gh=.在abd中，因为aba,ad=2a,得bd=a而gb=fb=ad-a.df-ab,从而得gh= 因此tanehg=由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k14分 解法二：（）如图，以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设ab=a,则易知点a,b,c,d,f的坐标分别为a(0,0,0),b(a,0,0),c(2a,2a,0),d(0,2a,0),f(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), ·=0,故  .设pa=b,则p(0,0,b),而e为pc中点.故        e.从而=.·=0,故.由此得cd面bef.（）设e在xoy平面上的投影为g，过g作ghb