北师大版八年级数学下册习题《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、平行四边形全章复习与巩固(提高)【学习目标】1 .掌握平行四边形的性质定理和判定定理 .2 .掌握三角形的中位线定理.3 .了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式4 .积累数学活动经验，发展推理能力 .【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD己作“ 口ABC读作“平行四边形 ABCD .要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：(1)平行四边形的性

2、质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的 性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形 三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：(1) 这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握

3、，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法 .(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离1 .两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值 .2 .平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等 .要点五、三角形的中位线三角形的中位线1 .连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2 .定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半要点诠释：(1)三角

4、形有三条中位线， 每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个1小三角形的周长为原三角形周长的-,每个小三角形的面积为原三角形2一，1面积的-.4(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和n边形的内角和为(n 2) 180° ( n >3).要点诠释：(1)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 (n 2) 180 ;n多边形的外角和为 360° . n边形的外角和恒等于 360° ,它与边数

5、的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、(2015TW江区二模)如图 1,在 ABC 中，AB=AC Z ABC=x , D 是 BC边上一点，以 AD为边作 ADE 使 AE=AD / DAE廿 BAC=180 .(1)直接写出/ ADE的度数(用含 “的式子表示)；(2)以AB, AE为边作平行四边形 ABFE如图2,若点F恰好落在 DE上，求证：BD=CD如图3,若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF国1国士图3【思路点拨】（1）由在 ABC中，AB=AC/ABC引，可求得/ BAC=180 -2”， 又由AE=AD /DAE廿BAC=180 ,可求得/ DAE=2z

6、,继而求得/ ADE 的度数；（2）由四边形 ABFE是平行四边形，易得/ EDCWABC形，则可得/ADCW ADE廿EDC=90 , 证彳导ADLBC 又由AB=AC根据三线合一的性质， 即可证得结论； 由在 ABC中，AB=ACABC形,可得/ B=Z C=a ,四边形ABF比平行四边形，可得AE/ BF, AE=BF即可证得：/ EACW C=a ,又由（1）可证得 AD=CD又由AD=AE=BF证得结论.【答案与解析】解：（1） .在4ABC中，AB=AC /ABC形， ./ BAC=180 - 2a , / DAE廿 BAC=180 , / DAE=2z , .AE=AD / AD

7、E=90 - a ;（2）证明：二四边形 ABFE平行四边形， .AB/ EF. ./ EDCW ABC书,由（1）知，/ ADE=90 a , / ADCW ADEM EDC=90 , ADL BC .AB=AC.BD=CD证明：AB=AC /ABC形， / C=/ B=a . 四边形ABF弱平行四边形， .AE/ BF, AE=BF / EAC= C=a , 由（1）知，/ DAE=2x , / DAC通, / DAC= C.AD=CD .AD=AE=R F .BF=CD .BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意（2）中证得ADLBC是关键

8、，（2）中证得 AD=CM关键.举一反三：【变式】分别以 口 ABCD（/ CDAW 90° ）的三边 AB, CD, DA为斜边作等腰直角三角形， ABE, CDG ADF.(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF, EF.请判断GF与EF的关系并证明)；(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF, EF, (1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.【答案】解：(1) GF± EF, GF= EF成立；四边形ABC比平行四边形，AB= CD / DAB+ /ADC= 180° ,. ABE, A

9、CDG ADF都是等腰直角三角形，DG= CG= AE= BE, DF= AF, / CDG= / ADF= Z BAE= 45° ,，/GDF= / GDCF / CD" / ADF= 90° +Z CDA/EAF= 360° - Z BAE- Z DAF- /BAD- 270° - ( 180° -乙 CDA =90° +Z CDA ./ FDG= / EAF,在 EAFA GDF中,DF AFFDG FAE ,DG AE .EAF AGDI3 (SAS ,EF= FG / EFA= / DFG 即 / GF* / GF

10、A= / EFA+ / GFA，/GFE= 90° ,GF± EF;(2) GF± EF, GF= EF 成立；理由：.四边形 ABC皿平行四边形，AB= CD / DA拼 Z ADC= 180° , ABE CDG ADF都是等腰直角三角形， G= CG= AE= BE, DF= AF, / CDG= / ADF= Z BAE= 45° , BA曰 / FAA / EAF+ / ADF+ / FDC= 180° , ./ EAF+ / CDF= 45° , / CD斗 / FDG= 45° , / FDG= /

11、EAF, 在 £人5和4 GDF中，DF AFFDG FAE ,DG AE EA阵 GDF(SAS), .EF= FG / EFA= / DFG 即 / GFDF / GFA= / EFA+ / GFA ./ GFE= 90° ,GF± EF.、如图，点D是 ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD BF为邻边作平行四边形 BDEF又A网BE （点P、E在直线AB的一一 ，/1_ 同侧），如果 BD= _AB,那么 PBC的面积与 ABC面积之比为（4解：过点P作PH/ BC交AB于H,连接CH PF, .AP_BE, 四边形

12、APEB是平行四边形，PE/ AB, PE= AB, 四边形BDEF是平行四边形， .EF/ BD EF=BD,即 EF/ AB,. .P, E, F 共线，设 BD= a ,BD= IaB,PE= AB= 4a,4贝U PF= PE EF= 3 a , PH/ BC-SAHBCSA PBC，1. PF/ AB,四边形BFPH平行四边形，.BH= PF= 3 a , Sahbc : S；Aabc=BH AB= 3a： 4a =3: 4,SAPBC : S*AABC =3： 4-此题难度较【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形

13、面积的比等于其对应底的比.举一反三：【变式】已知 ABC中，AB= 3, AC= 4, BC= 5,分别以 AB AG BC为一边在 BC边同侧作正ABD正4ACE和正 BCF求以A、E F、D四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明：AB=3, AG= 4, BG= 5, BAC= 90°.ABD ACEDABCF为正三角形， AB= BD= AD, AC= AE= CE, BG= BF= FC ,Z 1 + Z FBA= / 2+/ FBA= 60° 1 = / 2 易证 BA% BDF （SAS）, DF= AC= AE= 4, Z BDF= 90° 同理

14、可证4 BA黄 FEC AB= AD= EF= 3四边形AEFD平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） DF/ AE, DF± BD延长EA交BD于H点，AHI± BD则H为BD中点3，平行四边形 AEFD的面积=DFX DH= 4X - = 6.23、在平行四边形 ABCM,点A1, A2, A3, A4和C, G, G, C4分别AB和CD的五等分 点，点B, B和D, D分别是BC和DA的三等分点，已知四边形 A4B2GD的面积为1,则平行 四边形ABCD1积为（）A. 2 B. 3C. 5D. 1553口 GQ G ? cH Af A2 A3 A4 B【

15、思路点拨】可以设平行四边形 ABC而面积是S,根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2GD2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解.【答案】C；【解析】解：设平行四边形 ABC而面积是S,设AB= 5a, BC= 3b. AB边上的高是 3x, BC边上的高是 5y.S 则 S=5a?3x=3b?5 y.即 ax=by =.1514 一 AAD与B2CC全等，RC= -BC= b , BC边上的图是 ?5y =4y.352S则AAQ和AB 2CC的面积是2b y =.15S同理!) 2C4D与4A 4BB的面积是 .1526 2s

16、sS 9s9s则四边形A4B2c4D2的面积是S-±S-±S- - = 9S,即出=1,15 15 15 15 1515.一 5解得S= 5 .3【总结升华】 考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义， 得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键.4类型二、三角形的中位线 、如图， ABC的周长为26,点D, E都在边BC上，/ ABC的平分线垂直于 AE,垂足为Q / ACB的平分线垂直于 AD,垂足为P,若BC= 10,则PQ的长为（）As D £ CA. 3B. 5 C.3D.422【答案】C;【解析】解：易证 AB*4EBQ, AB=BE

17、, Q为 AE中点， AC国DCP, AC= CD P 为 AD中点，八1 .PQ/ DE,PQ= - DE,2 . AB+ AC+ BC= 26, BC= 10, .AB+ AC= BE+ CD= 16= BD+ DE+ DE+ EC= BC+ DE,.DE= 6, PQ= 1DE= 3.2【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形.类型三、多边形内角和与外角和5、若一个多边形的每个外角都等于60° ,则它的内角和等于（）A . 180° B . 720°C , 1080

18、° D , 540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60° ,根据n边形的外角和为3600计算出多边形的边数n,然后根据n边形的内角和定理计算即可.【答案】B;【解析】解：设多边形的边数为 n ,多边形的每个外角都等于 60° ,n = 360 +60° = 6,，这个多边形的内角和=（ 6 2） X180° =720° .【总结升华】 本题考查了 n边形的内角和定理：n边形的内角和=（n -2） ?180° ；也考查了 n边形的外角和为360° .举一反三：【变式】（2015春?宜阳县期末）一个

19、多边形，除了一个内角之外， 其余内角之和为 2680。， 求这个内角的大小.【答案】 解：设多边形的边数为 x,由题意有（x - 2） ?180> 2680,解得x>1心，因而多边形的边数是 17,则这一内角为（17-2） X 180° - 2680° =20° .66、甲、乙两人想在正五边形 ABCD西部找一点P,使得四边形ABP曰平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD CE两线段相交于 P点，则P即为所求（乙） 先取CD的中点M,再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A.两人皆正确B.两人皆错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确