导数常考题型全归纳（七大题型）解析版-2025年高考数学复习热点题型专项训练（新高考）

热点题型•解答题攻略

专题09导数常考题型全归纳

0----------------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）................................................1

题型02导数与最值（含恒成立和有解问题）......................................................13

题型03导数与方程的根（含隐零点问题）.......................................................25

题型04极值点偏移问题........................................................................35

题型05导数与不等式..........................................................................46

题型06导数中其他双变量问题..................................................................57

题型07导数结合数列..........................................................................70

♦>----------题型探析•明规律-----------O

题型01导数与极值（含有参数的单调性分类讨论）

【解题规律•提分快招】

「二J含参豆单词桂讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的

I

;区间）；

I

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，

|无需单独讨论的部分）；

|（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

I

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

I

（5）导数图像定区间；

【一般性技巧】

I

11,导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，

I

I讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区

I间.

I2、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，

I

判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

3、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.I

二、函数的极值：

i

函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(X)</(x0),则称f(x0)是函数的一个极大值，|

i

记作》极大值=/(%0).如果对飞附近的所有点都有/(X)>/(%0)，则称/(Z)是函数的一个极小值，记作!

i

歹极小值=/(%0).极大值与极小值统称为极值，称与为极值点.i

求可导函数/(X)极值的一般步骤；

i

(1)先确定函数/(x)的定义域；；

I

(2)求导数1(X)；

i

(3)求方程/'(x)=0的根；

i

(4)检验/(x)在方程/(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那；

I

么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在|

I

这个根处取得极小值.

注①可导函数/(X)在点X。处取得极值的充要条件是：X。是导函数的变号零点，即/(%)=(),且在X。左侧］

I

与右侧，/'(X)的符号导号.1I

②/'(%)=0是X。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=/,/,(0)=0,但x0=0不是极值点.另外，

i

极值点也可以是不可导的，如函数〃x)=|x|,在极小值点％=0是不可导的，于是有如下结论：/为可导：

函数的极值点n/'(Xo)=O；但/'&)=0名0为的极值点.

Tiwwr

一、解答题

1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(无)=2(加尤-lnx)+e,讨论〃无)的单调性与极值.

【答案】答案见解析

【分析】求定义域，求导，分加40和〃?>0两种情况，求解函数的单调性和极值.

【详解】由题得，“X)的定义域为(0,包).

①当机V0时，/'。)<0恒成立.

.•./(X)在(0,+«))上为减函数，此时/(x)无极值；

②当〃？>0时，由/'(x)>0,得尤〉‘，由/得0<x<,，

mm

在(o,』上单调递减，在仕,上单调递增，

Im))

故/(X)的极小值为/(；j=21n加+2+e,无极大值.

综上可得，当机40时，〃x)在(0,y)上单调递减，/(x)无极值；

当机>0时，/(x)在［(),'］上单调递减，在(工,上单调递增.

〃X)的极小值为2In”?+2+e,无极大值.

2.(2024・河南开封•二模)已知函数〃x)=lnx-£.

(1)讨论/(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

⑵函数g(x)=三;若方程〃x)=/(g(x))在xe/J上存在实根，试比较/(/)与In1的大小.

【答案】(1)答案见解析

2

⑵/⑺>吟

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，分。20、。<0两种情况讨论，分别求出函数的单调性与极值;

(2)利用导数说明g(x)的单调性，即可得到0<g(x)<；,xe1°，£|，令仁g(M，则方程/(x)=/«)在

上存在实根，结合⑴中函数的单调性，可得0<F<g,即一<”0,则

2

/(a)=21n(-a)-l,令加(a)=21n(-a)-：,-1<«<0,利用导数说明函数的单调性，即可得到w(a)>InJ,

从而得解.

【详解】(D函数/(尤)=lnx-1•的定义域为(0,+动,

又/⑴=:+/=手，

当a20时，/'(尤)>0恒成立，所以/(x)在(0,包)上单调递增，无极值，

当。<0时，令/'(x)=0,解得x=-a,

所以当xe(O,-a)时/(x)<0,〃x)单调递减，

当xe(-a,+s)时r(x)>0,〃x)单调递增，

所以当X=-“时，/(X)取到极小值/(-a)=ln(-a)+l,无极大值，

综上所述，当时，〃x)在(0,内)上单调递增，无极值，

当。<0时，/(%)在(0,-。)上单调递减，在(-见+00)上单调递增，极小值为ln(-a)+l,无极大值.

(2)因为g(x)=—,0<x<-

1-x29

2x,(1—x)—(—l)x22x—x2x(2-x)

则g'(x)=

(1-x)2(1-1)2(1-4

令g'(%)=o,解得x=2或0(舍),

所以当xe(0,£|时g，(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(O)<g(x)<g［；］,即0<g(x)<；,

令/=g(x),0<x<-,贝(JO<f<L

22

若方程/(x)=〃g(x))在xe(o,/J上存在实根，

则方程/«=/(0在xe上存在实根，

当a上0时/(%)在(0,；］上单调，则x=g(x)在上有解，

即》=三应该在上有解，但是2x2-尤=0在［o4［上无解，不合题意，

所以/(x)在10,£|上不单调，即。<0,

由(1)知0<-<7<一,即—<a<0,

22

所以/(a2)=ln/_/=21n(-a)_：,一g<a<0,

令-加(a)=2］n(-Q)9<a<0,

EI“、212«+1

贝［|加(。)=---+—=——>0,

-aaa

所以加(。)在1;,o］上单调递增，

所以加(a)>"(-g］=21ng+2=ln/,

2

所以

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极(最)值问题处理.

3.(24-25高三上•山西吕梁・期末)已知函薮/(x)=e2工-办+a(aeR),g(x)=(3-2x)e21

⑴求函数/(无)的单调区间；

⑵求函数/(X)的极值；

(3)若/为函数/'(x)的极值点，则称为函数/(尤)的“靓点”.证明：g(x)上任意一点都有可能成

为“X)的“靓点”.

【答案】(1)当aWO时，/(元)的单调递增区间为R,无单调递减区间；

当心0时，〃x)的单调递减区间为单调递增区间为1in|,+4

(2)当时，/(x)无极值；当。>0时，无极大值.

(3)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数/(X),分别谈论aWO和。>0,然后由/'(x)=0得到函数的增减区间；

(2)由(1)中的单调性分别求出对应情况的极值；

(3)由(2)得到函数/'(x)的“靓点”，分析函数/(x)的“靓点，，的坐标满足g(x)解析式即可证明.

【详解】(1)r(x)=2e2x-«,

当aV0时，/'(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，由2e2，-a=0,得e?，==1in£,

222

当x<g呜时，/(x)<0J(x)在[y,；In|J上单调递减；

当x>gln]时，/''aAOja)在(；ln?上单调递增；

综上，当时，/(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间；

当a>0时，/(x)的单调递减区间为(-巩小口事；单调递增区间为

(2)由(1)知当aWO时，f'(x)>0恒成立，此时/'(x)无极值.

当Q〉0时，由(1)知，

\A11衅2a〕Q3a.a丁m一…

/(x)极小值"/['In'J"e--ln-+a=-a--ln-f无极大值.

综上，当时，/(x)无极值；

当a>0时，/(x)极小值=]”无极大值.

/、，，、八「/、Jl13a.a

(3)由(2)知，-In-=-a--ln-

故”X)的“靓点”为，

令;呜=(eR),贝吟=e%所以/'(x)的“靓点”为“,(3-2兴)，在曲线”g@)上,

因为"R,故g(x)上任意一点都有可能成为/■(“的“靓点”.

4.(24-25高三上•安徽淮北•阶段练习)已知函数f(x)=ln(x+l).

⑴求曲线y=/(x)在X=3处的切线方程.

⑵求函数尸(幻=》一色-(。+1)/(》一1)的极值;

X

⑶设函数g(x)=(x+1)/Q11-/Q+1

证明：存在实数〃2,使得曲线>=g(x)关于直线工="?对称.

X

【答案】⑴x-4y+81n2-3=0

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(D求出/'(3),求导，得到/(3)=；,由导数的几何意义求出切线方程；

(2)求定义域，求导，对导函数因式分解，分0<«<1,。=1和四种情况，进而可求解;

(3)先求函数定义域，根据定义域的对称性得到加=-；,再求出g(T-x)=g(x),证明出结论.

【详解】(1)/'(x)=占，/")=；，

又〃3)=ln4=21n2,

故V=/(x)在x=3处的切线方程为了-21n2=；(x-3),

即X-4y+81n2-3=0；

(2)F(x)=x---(df+l)/(x-l)=x---(tz+l)lnx,定义域为(0,+8),

，/、aa+\x2-(a+\\x+a

F(x)=l+------=---------------=-----%---乙，

XXXX

当aVO时，令尸'(x)>0得x>1,令尸'(x)<0得0<x<1,

故厂(无)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,函数尸(无)有极小值尸(1)=1-。，无极大值;

当0<°<1时，令尸'(x)>0得0<x<a或x>1,令尸'(x)<0得.<x<l,

故厂(无)在(0,。)和(L+")上单调递增，在(«,1)上单调递减，

函数b(x)有极小值尸⑴=1-。,极大值尸(a)=a-l-(a+l)lna；

当。=1时，/(无)=(萼20恒成立，故户(x)在(0,+8)上单调递增,函数尸(x)无极值；

当a>l时，令尸'(x)>0得0<》<1或，令/'卜)<0得l<x<“，

故厂(x)在(0,1)和(凡+⑹上单调递增，在(L。)上单调递减，

函数b(x)有极大值尸⑴=1-4,极小值尸⑷=。-1-(a+l)lna；

综上，当aWO时，函数尸(x)有极小值/⑴=1-。，无极大值；

当0<。<1时,函数3(x)有极小值尸(1)=1-a,极大值尸⑷=a-l-(a+l)lna；

当。=1时，函数尸(无)无极值；

当。>1时,函数尸(x)有极大值尸=，极小值尸(a)=a-l-(a+l)lna；

(3)函数g(x)=(x+l)ln]l+：j_ln12+：),

函数g(x)的定义域为(-°°,-1)30,+8).

若存在加，使得曲线>=g(x)关于直线>加对称，

则(-”，-1)"0,+8)关于直线x=加对称，所以m=_g

由g(_一)=(一皿)+土,心土]

1x.2x+l1工+112%+1(、+1x+1.2x+1

二-xln-----In-----=xln------In-----=(1+xjln-----Itn------In-----

x+lx+1xx+lxxx+l

(1x.x+1.2x+l/、

=(1+x)In-----In-----二g⑴

可知曲线产g(x)关于直线X=对称.

【点睛】结论点睛：函数的对称性：

若/(尤+a)+/(-x+b)=c,则函数/(X)关于中心对称,

若/■(x+a)=/(r+b),则函数/(x)关于x=一对称，

5.(23-24高三上•安徽六安湖末)已知函数〃》)=2加+£/-(2加+1》+1(加eR).

⑴求函数“X)的极值;

⑵设函数/(无)有两个极值点七,々，求证：/(^)+/(%2)<2/

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求定义域，求导，对导函数因式分解，分加40,m=1,m>1,0<m<1,得到函数的单

调性，进而得到函数的极值情况;

(2)由(1)得加©，并得到/(%)+/(x?)=21n-----2m――-----2,

\2)]m2m

合用的范围得到结论.

【详解】(1)〃x)=2血+-(2机+l)x+l的定义域为(0,+切，

.2,.mx2—(2.m+l}x+2(x-2)(mx-l),.

f'(x)=-+mx-(2m+l)=-----------------'——=——△------\x>0)

①若机V0,贝mZ,nO,xe(O,2)时/'(x)>0,xe(2,+s)时/'(尤)<0,

故/'(x)在xe(0,2)上单调递增，在xe(2,+“)上单调递减，

所以函数的极大值为/⑵=21n2-2m-l,无极小值，

②若加=；，则/（"（7）-*/'（x）在（0,+8）上单调递增，无极值.

③若〃由/=----------^=0得工=2或》=一，

2''）xm

xe（02］时xejLz］时/''（x）＜0,xe（2,+＜x＞）时，'（x）＞0,

Im）\m）

故〃x）在（o。］,（2,+⑹上单调递增，在（A，2）上单调递减，

所以极大值为/f-K-21n〃--1,极小值为42）=21n2-2机-1.

\m）2m

④若0＜/＜:，由f（x\=----------------^=0得》=2或》=一，

2J、）xm

尤e（0,2）时/'（x）＞0,n€（2,工］时/'（尤）＜0,xe］—,+＜»|g^f'（x）＞Q,

ImJ）

故/（x）在（0,2）,上单调递增，在［2,上单调递减，

所以极大值为/（2）=21n2-2m-l,极小值为/仕］=一21丽-；-1.

\mJ2m

综上，当W7V0时，极大值为/⑵=21n2-2加-1,无极小值；

当0〈根时，极大值为/（2）=21n2_2〃Ll,极小值为/（工］=_21n〃—二-1；

2）2m

当加=g时，/（X）无极值；

当冽〉短时，极大值为加一，

=—21n--1,极小值为/'⑵=21n2-2加-1.

，J2m

U，+,

（2）由（1）知函数/（x）有两个极值点时，(2°°)

/(X)+/(X)=/(2)+/=21n2-2m-1-21n加——-——1

122m

2In--2m-----2,

m2m

所以〃玉）+〃/）一2/

因为m所以"^+^^片2

所以〃占）+〃马）一2/<0,

即〃西）+/人）＜一2.彳.

【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关

键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据

导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.

6.（24-25高三上•云南德宏•期末）已知函数/（x）=olnx-x+03（aeR）.

⑴若函数〃x）在x=2处的切线与直线2x-3y+l=0垂直，求实数公

（2）若函数/（x）有极大值，且极大值不大于0,求实数a的取值范围.

【答案】⑴a=7

⑵（05

【分析】（1）求导，由导数的几何意义结合垂直关系求解即可；

（2）利用导数分类讨论分析函数的单调性，由极值求解参数的取值范围即可.

【详解】（1）由题意可知：函数/（x）的定义域为（0,+动，/卜）=q_1=二

XX

因为函数/（X）在X=2处的切线与直线2x-3y+l=0垂直,

所以r(2)=晟一1=一|,解得：«=-1.

(2)因为/'(司=亨.

当aWO时，r(x)<0,所以函数/'(x)在(0,+8)上单调递减，所以无极值；

当°>0时，令/'(x)>0得0<x<°；令/''(x)<0得x>a；

可知函数/(x)在(0,。)上单调递增，在(。,+8)上单调递减，

则f(x)的极大值为/1⑷=a]na-a+a\

因为极大值不大于0,即“Ino+a34o,

且。>0,可得Ina+a?-1M0,

记0(a)=lna+/-1,(a>0),贝!!0'(a)=工+2a>0,

所以夕(a)=Ina+/_1在(0,+(»)上单调递增.

而/⑴=Inl+1~-1=0,所以由Ina+/-1<0可解得0<a<\.

即实数。的取值范围为(0』.

7.(2025高三•全国•专题练习)设函数/("=尤2+加In(尤+1乂加eR).

⑴当冽=一4时，求函数/⑺的单调区间；

⑵已知函数/(无)有两个极值点，求小的取值范围.

【答案】⑴单调减区间为(T,l)J(x)的单调增区间为。,+⑹

(2)机

【分析】(D求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

(2)/'(x)=0在(T+⑹上有两个不同的变号零点，即2/+2尤+〃?=0在(T+s)上有两个不同的实数

根.参变分离，结合二次函数的单调性及特殊点函数值，得到机

【详解】(1)由函数/(*)=市+血11(%+1)广图(一1,+8),

—rzB\八m2x2+2x+m

可得fX

Mv7=2+x——+1=----x-+--1-----,

2x2+2x-4_2(x+2)(x-l)

m=-4,/z(x)=--------------------------,

x+1x+1

当时，/(x)<0,当xe(l,+°o)时，/(x)>0,

故函数/(x)的单调减区间为(Tl)J(x)的单调增区间为(1,+⑹;

(2)因为函数/(x)有两个极值点，

所以r(x)=2x+旦=2/+2X+俏=o在(_1,+⑹上有两个不同的变号零点，

即2x2+2x+加=0在(-1,+«0上有两个不同的实数根.

即〃?=一2,一2x,令/z(x)=-2，-2x,开口向下，对称轴为x=-g,

火尤)在[-1,-；[上单调递增，上单调递减，

A(-1)=A(O)=O,A^-1^=1,所以加

8.(2025•山西临汾一模)已知函数/(x)=e*-ox.

⑴当a=l时，求曲线y=〃x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)当”=2时，求函数g(x)=/(x)+sinx-cosx在-',+<»]上的极值.

【答案】⑴(e-l)x-y=0

(2)极小值0,无极大值

【分析】(1)对/(x)求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再求出切点坐标，利用点斜式，即可

求解；

(2)对g(x)求导，得至！Jg'(x)=e，+sinx+cos尤-2,构造函数〃(x)=e*+sin尤+cosx-2,利用导数与函数

单调间的关系，得力⑴在区间上单调递增，从而可得xe-],oj时，g'(x)<0,x«0,+8)时，

g，W>0,再利用极值的定义，即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，f(x)=e-x,则广(x)=T-l,

所以16=e-l,/(l)-e-l,故所求切线方程为y-(e-l)=(e-D(x-l),

即——>=0.

(2)当〃=2时，g(x)=ex-2x+sinx-cosx,所以g'(x)=e'+sinx+cosx—2,

令〃(x)=e*+sinx+cosx-2,贝(x)=e*—sinx+cosx=ev+V2cos[x+:],

当n£时，cosfx+yKo,Xex>0,所以当时，〃'(x)>。，

当时，由©兀>4,知/〉也，又收cos1%+卜-亚，

所以当时，〃，(x)>e二五>0-拒=0,即”(无)>0,

故知M无)在区间-会+"上单调递增，即g'(x)=e'+sinx+cosx-2在区间上单调递增，

又g，(0)=0,所以尤e-］，°1时，g'(x)<。，g(x)单调递减；xe(0,+8)时，g,(x)>0,g(x)单调递增,

又因为g(0)=0,故>=g(x)在x=0处取得极小值0,无极大值.

9.(24-25高三下•河北沧州•阶段练习)已知函数/(x)=x-21n(x+l)+“xer,aeR.

⑴当。=1时，求函数/(x)的单调区间；

⑵若x=l是函数/(尤)唯一的极值点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(T1)

Q)(e］

【分析】(1)当时。=i时，求得函数定义域，然后求导，在定义域上研究导函数的正负，即可求得函数的单调区

间；

(2)由X=1是函数的唯一极值点，转化为苫=1是歹=/'(无)唯一变号零点，结合导函数解析式，转化为恒成立

问题，求得a的取值范围.

【详解】(1)当°=1时,/@)=》-2111@+1)+疣二其定义域为(-1,+8),

则/'⑴=>击+(-)/=(1)［占一：］

设g(x)=e*-(尤+1)(x>-1)，则g，(x)=eA-1,

当x>0时,g［x)>0；当T<x<0时,g<x)<0,

二g(x)上g(0)=0,er>x+1>0,-7-0-

.•.当x>l时J'(x)>0;当-1<X<1时,/'(x)V0.

因此，函数/(X)的单调递增区间为(1,+8)，单调递减区间为(-1,1).

ia

(2)/,(x)=(x-l)

x+1ex

・・・x=1是函数/(x)唯一的极值点,

・••当x〉-1时,20恒成立或40恒成立,

即e"2a(尤+1)或e，Wa(x+1)恒成立,

当x>T时,e'4a(x+l)恒成立，则工恒成立，即ex

x+1

X+1max

令”(力=七。>一1)，则〃'（"=产下

（X+1）

当-1<x<0时，力'(x)<0,当x>0时,。'(X)>0,

所以何力在(T0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

当X趋向于-1时，函数〃(x)f+8,

当X趋近正无穷大时，与一次函数相比，函数y=e，呈爆炸性增长，所以〃(》)=/卜>一1)“+8,

所以函数〃G)=鼻。>-1)不存在最大值，故x>T时，e，4a(x+l)不恒成立;

当x>T时，.4工恒成立，即aV邑，

X+l［x+1」1111n

由上分析知："(X)在x=0处取得最小值40)=1,

即实数a的取值范围是(一叫1］.

故实数a的取值范围是

题型02导数与最值(含恒成立和有解问题)

【解题规律•提分快招】

二，菌薮的最值

函数y=/(X)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(X)最小值为极小值与靠近极大值

的端点之间的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在［〃?，"］上的函数，y=/(x)在(根，")内有导数，求函数y=/(x)在阿，"］上

的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(冽，〃)内的极值(极大值或极小值);

(2)将y=/(x)的各极值与〃间和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

二、恒成立和有解问题

1、若函数/(X)在区间。上存在最小值和最大值〃x)1Mx,则

不等式/(x)在区间D上恒成立u>/(x)1nhi>a；

不等式在区间。上恒成立o/(x)1nhi>a；

不等式/(x)<6在区间。上恒成立台/(x)111ax<6；

不等式/(x)46在区间。上恒成立o/(x)1Mx46;

2、若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(九")，则

不等式/(x)>°(或/'(x)>a)在区间D上恒成立=>a.

不等式“X)<6(或/'(x)46)在区间D上恒成立Wb.

3、若函数〃x)在区间。上存在最小值"xL和最大值/⑺厘，即/(x)目加河，则对不等式有解问题有

以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解oa<f(x)max；

不等式aV/(x)在区间。上有解oa4f(x)max；

不等式a>/(x)在区间D上有解u>a>f⑴面口；

不等式/(x)在区间。上有解oaN/(x)^；

4、若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，〃)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a<(或a</(x))在区间D上有解oa<n

不等式6>/(x)(或b2/(X))在区间。上有解o6>〃z

5、对于任意的王e[a,6],总存在々e[m,〃],使得/(xjVg(9)。几Vg仁人；

6、对于任意的国e[a,可，总存在％e[m,〃],使得〃再)Ng(9)=/(再)晶28(%)端；

7、若存在国e[a,b],对于任意的％e[m,司,

8、若存在”[a,b],对于任意的々egn],使得/(xj2g(%)。/(占Dg昆濡；

9、对于任意的再e[a,6],马©[m,〃]使得〃再)vg(七)o)(士工Wg仁心；

10、对于任意的西斗，可,马€[111,〃]使得/(西)*伉)07(占需冷卜人；

11、若存在X]e[a,b]，总存在x2e[m,n],使得/(x1)<g(x2)o/(x1)n]in<g(x2)max

12、若存在国«a,如总存在％e[m,〃],使得〃xj2g(%)=/(%2g(%心.

【典例训练】

一、解答题

1.（24-25高三下•四川内江•阶段练习）已知函数/（无）=3公2+（4-l）x-lnx.

（1）讨论/（x）的单调性;

（2）当a>0时,求函数/（尤）在［1,2］的最小值g（a）.

【答案】（1）答案见解析；

4«-2-ln2,0<tz<；

।1111

⑵g(a)=,I------FInfl,一<〃<1.

2a2

31―

-a-La>1

2

【分析】（1）对函数求导，讨论。40、”>0研究导数的区间符号，即可得对应单调性;

（2）应用导数研究函数的单调性，讨论。与区间［L2］的位置关系求函数最小值.

x+11

【详解】（1）由题意知“X）的定义域为（0,+8）,f'（x）=ax+a-l--=（）（^~）,

XX

①若a«0,/'（x）<o恒成立，所以/（X）在（o,+。）上单调递减.

②若Q>0,由/'（X）=O,得％=,，

a

所以当时，f'（x）<0；当时，f'（x）>0；

所以/'（x）在'J］上单调递减，在上单调递增.

综上：当aWO时，〃尤）在（0,+"）上单调递减；

当“>0时，［（X）在（0,£|上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，/（x）在（0,£|单调递减，在+e）单调递增.

①当,N2,即0<。<工时，”X）在［1,2］单调递减，

a2

当x=2时，/（x）有最小值/⑵=4"2-ln2；

②当即:<a<1时，小）在11,£|上单调递减，在\,2］上单调递增.

当x=!时，/⑺有最小值/仕］+（a-1）^In—=1---I-Ina；

a2aa2a

③当’41,即时，/（无）在［1,2］上单调递增，

a

i3

当x=i时，/(无)有最小值=；

4Q-2—In2,0<47W—

1Ii1।

综上:g(a)=,1-------FIntz,—<a<1

la2

31

-a-La>1

2

2.(2025・辽宁・模拟预测)已知函数〃x)=x+alnx("0)的图象的一条切线方程是y=2x-L

(1)求。；

⑵若关于x的不等式有解，求小的取值范围.

【答案】⑴。=1;

(2)(-<»,l)U(l+e,+oo).

【分析】(1)设切点伉,2%-1),根据导数的几何意义求得。=%,结合构造

A(x)=liw-1+1,应用导数研究其零点，即可求参数值；

(2)问题化为x〈(加-l)lnx有解，构造g(x)=x-(/M-l)lnx(x>0)研究不等式能成立求参数范围.

【详解】(1)设/(可的图象与直线y=2x-l切于点(%,2%-1),贝！］2%-l=x()+alnx(^,

f'(x)=l+-,则/'(%)=1+2=2,即。=%,代入①式得lnx°-1+工=0.

XX。工0

1x—1

令〃(%)=lux-1+—,贝!)1(X)=——,

当不£(0,1)时，h\x)<0f〃(x)在(0,1)上单调递减，

当X£(l,+8)时，/(X)〉O,〃(x)在(1,+8)上单调递增，

所以〃(耳2"1)=0,当且仅当x=l时取等号，

故玉)=1，即。=1.

(2)由题意得x+lnx〈冽Inx有解，即x<(m—l)lnx有解.

令g(x)=x—(m—l)lnx(x〉0),贝!|%(加」,

xx

(j_Aj_

若加-1<0,贝!love^vl，则ge涓=e^-l<0,符合题意；

\7

若加一1=0,即加=1,贝!|g(x)=x>0,不符合题意；

若加一1>0,

当了£(0,冽-1)时，gf(x)<0,g(x)在(0,冽-1)上单调递减，

当xe(加-1,+s)时，g'(x)>0,g(x)在(加-1,+e)上单调递增，

所以gOO*=g(加-1)=加一1一(加T)/n(加解得加>l+e.

综上，机的取值范围为(-8,l)u(l+e,+8).

3.(24-25高三上•湖北•期中)已知x=2为函数”x)=x(x-c)2」的极小值点.

e

⑴求C的值；

Izy

⑵设函数g(x)=1,若对%e(O,y),弱eR,使得〃xj-g(x,)“，求上的取值范围.

e

【答案】⑴c=2；

(2)(-oo,-l]u(0,+oo).

【分析】(1)求出函数/(%)的导数/'(%),由r(2)=。求出。并验证即可得解.

(2)由(1)求出/(%)在(0,转)上的最小值，再按左>0,左=0,左<0分类，并借助导数讨论g«值即可求解.

【详解】(1)函数/(x)=x(x-c)2」的定义域为R,求导得/(x)=(x-c)(3x-c),

e

依题意，f(2)=(2-C)(6-e>0,解得。=2或c=6,

27

当c=2时，/V)=(x-2)(3x-2),当或x>2时，/'(x)>0,当(<x<2时，f\x)<Q,

因此x=2为函数/(无)=x(尤-c)2-L的极小值点，符合题意，贝！Jc=2；

e

当c=6时，/'(%)=(x-6)(3x-6),当％<2或x〉6时，/1x)>0,当2<x<6时，/'(%)<0,

因此x=2为函数〃x)=x(尤-cP-」的极大值点，不符合题意，

e

所以c=2.

221

(2)由(1)知，函数/⑴在(0,彳),(2,+8)上单调递增，在(二2)上单调递减，因此/(%)皿=/(2)=——,

33e

1111

①当左>0时，对VX]£(0,+co),3X=--,使得g(%)=g(——)=-e^<-1<—</(%),

2kke

因此/Oi)-8区”。，符合题意,贝!1左>0;

②当左=0时，g(x)=0,取再=2,对V&ER,有/区)—g(%2)<°，不符合题意；

③当左<0时，函数g(x)=丁，求导得g'(x)=」(l-x)eT,

e

当x<l时，gz(x)<0,g(x)在(-8,1)上单调递减；

当x>l时，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上单调递增，贝!|g(x)1nLg⑴=£

e

若对X^e(O,+⑹，3xeR,使得/区)一g(X2)Z0,只需4/(x)曲，解得左4一1,

21nee

所以左的取值范围为(-°°，T50,+00).

4.(24-25高三下•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知函数/'@)=村+(尤(x-a^aeR),/(无)的导函数为/'(x),

且/'(0)=0.

⑴求「⑺的最值；

e"1

(2)求证：一+lnx+—x>2.

x2

【答案】⑴最小值为/(0)=1,无最大值.

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，通过/'(0)=0,求得。，进而确定函数单调性，即可求解；

(2)不等式等价转化成e，+gx2-x>x-xlnx,构造函数g(x)=x-xlnx,确定其最值，再结合(1)的结

论即可求证；

【详解】(D由f(x)=e，+；x(x-a),得/(力=/+%-事，

所以广(0)=1-1=0,

解得a=2,所以〃x)=e，+gx2r.

因为/'("的定义域为RJ'(x)=e'+x-l,令〃(无)=e，+x-l,求导，得=e，+1>0,所以/(x)在R上

单调递增.

又/'(0)=0,所以当x<0时，r(x)<0,当x>0时，r(x)>0,

所以f(x)在(-巩0)上单调递减，在(0,+e)上单调递增，所以/(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，无

极大值，

所以/'(x)的最小值为/(0)=1,无最大值.

e%]1]

(2)要证——i-liu+-x>