初探高考解析几何中的定点、定值问题

1、    初探高考解析几何中的定点、定值问题    林全德【摘 要】解析几何是高考中数学的重要组成部分，每年的高考都会涉及若干个小题，及一道大题。这道大题经常考查直线与圆锥曲线的位置关系，其中尤为常见的是考查直线过定点、某些几何量的斜率、长度、角度、面积为定值等问题。这部分内容对考生的运算求解能力、数形结合思想、坐标建模思维、用代数方法解决几何问题要求比较高。本文通过近三年全国各地高考试卷定点、定值问题的分析，希望对考生如何做好解析几何此类问题有所帮助。【关键词】解析几何；定点；定值g633.65 b 1671-8437（2018）10-0066-02题型

2、一：过定点问题直线或者曲线过定点问题，是高考中数学的热点，我们通常可以通过联立方程组，求出直线中含有参数的方程，然后证明其过某个定点。例1.【2017课标1，理20】已知椭圆c： （a>b>0），四点p1（1，1），p2（0，1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上。（1）求c的方程；（2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点，若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点。分析：（1）略；（2）先设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：y=kx+m（m=1），将y=kx+m代入+y

3、2=1，写出判别式，韦达定理，表示出k1+k2，根据k1+k2=-1列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点。解法：设p2a，p2b的斜率分别为k1，k2（k1+k2=-1）p2a与p2b两直线方程为（k1x+1-y）（k2x+1-y）=0化简得k1k2x2+（1-y）2+（1-y）（k1+k2）x=0椭圆方程变形为x2=4（1-y2），代入可得得4k1k2（1-y2）+（1-y）2-x（1-y）=0，此方程的解是椭圆与两条直线的三个公共点p2，a，b的坐标。若y1，即a，b两点坐标满足4k1k2（1+y）+（1-y）-x=0（此即直线ab方程）根据直线系方程可得该直线系必过点（2，-1

4、），本题得证。点评：双联立的解法，非常巧妙，计算量非常小，其关键是抓住了本质：两条直线同时与椭圆联立得到的方程的解就是三个公共点的坐标，从而得到直线ab方程，再结合直线系方程求得定点，直线与圆锥曲线相交问题，不应该是简单粗暴的联立方程组，而是在根本上体现数与形的转化。例2.【2017课标ii，理】设o为坐标原点，动点m在椭圆c：+y2=1 上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足 。（1）求点p的轨迹方程；（2）设点q在直线x=-3上，且 ·=1。证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f。分析：（1）略；（2）利用·=1可得坐标关系-3m-m2+tn-n2=1，结合（

5、1）中的结论整理可得 ·=0，即，据此即可得出题中的结论。解法：（2）由题意知f（-1，0）。设q（-3，t），p（m，n）则=（-3，t），=（-1-m-n），·=3+3m-tn，=（m，n），=（-3-m，t-n）。由·=1得-3m-m2+tn-n2，又由（1）知m2+n2，故3+3m-yn=0。所以·=0，即。又过点p存在唯一直线垂直于oq，所以过点p且垂直于oq的直线i过c的左焦点f。点评：利用·=1可得坐标关系-3m-m2+tn-n2=1，结合（1）中的结论整理可得·=0，即，据此即可得出题中的结论，从而大大减少计算量。题型

6、二：定值问题解决定值问题的方法，常将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例3.【2015高考新课标2，理20】已知橢圆c：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m。（）证明：直线om的斜率与的斜率的乘积为定值；分析：题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点a，b的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦ab的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦ab的中点，并寻找两条直线斜率关系。解法一：（）设直线l：y=kx+b（k=0，b=0），

7、a（x1，y1），b（x2，y2），m（xm，ym）。将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xm= =- ，ym=kxm+b= 。于是直线om的斜率kom= =- ，即kom·k=-9所以直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值。例4.【2016年高考北京理数】已知椭圆c：（a>b>0）的离心率为，a（a，0），b（0，b），o（0，0），opq的面积为1。（1）求椭圆c的方程；（2）设p的椭圆c上一点，直线pa与y轴交于点m，直线pb与x轴交于点n。求证：|an|·|bm|为定值。分析：（1）略；（2）根据已知条件分别

8、求出|an|，|bm|的值，求其乘积为定值。解：（2）由（）知，a（2，0），b（0，1）设p（x0，y0），则x02+4y02=4当x0=0时，直线pa的方程为y= （x-2）令x=o，得ym=-从而|bm|=|1-ym|=|1+ |直线pb的方程为y= x+1令y=0，得xn=-从而 |an|=|2-xn|=|2+ |所以|an|·|bm|=|2+ |·|1+ |= =4当x0=0时，y0=-1，|bm|=2，|an|=2所以|an|·|bm|=4。综上，|an|·|bm|为定值。点评：本题直接利用题目条件，得到直线pa、pb的方程，然后求出|an|、|bm|的值。例5. 【2016高考山东文数】已知椭圆c：（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2。（i）求椭圆c的方程；（）过动点m（0，m）（m>0）的直线交x轴与点n，交c于点a，p（p在第一象限），且m是线段pn的中点.过点p作x轴的垂线交c于另一点q，延长线qm交c于点b。（i）设直线pm、qm的斜率分别为k、k'，证明为定值。分析：（i）略；（）（i）设p（x0，y0）（x0>0，y0>0），由m（0，m），可得p（x0，2m），q（x0，-2m）.得到直线pm、直线qm的斜率，即可得证。解：（）（i）设p（x0，y