北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2019.01

1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （理科）2019.1一、选择题：本大题共8 小题 ,每小题 5分,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 .1 函数 yx1 ( x 0) 的值域为xA 2,B (2,)C (0,)D, 22,2如图， PAB 、 PC 分别是圆 O 的割线和切线（ C 为切点），若PA AB3 ，则 PC 的长为A62B 6CC32D 3OPBA2y23已知双曲线 x1 ，那么它的焦点到渐近线的距离为3A 1B 3C 3D 44已知 m, n 为两条不同直线，, 为两个不同平面，那么使m /成立的一个充分条件是A m / ,/B m,Cmn,n

2、, mDm上有不同的两个点到的距离相等5先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于 6 的条件下， 先后出现的点数中有 3 的概率为A1B 1C 126D5356如图，向量 ab 等于bA 2e14e2B 4e12e2e2C e13e2D e13e2e1a7某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2 名同学，那么不同的分配方案有A72 种B54 种C36 种D18 种8点 P 在曲线 C ： x2y21 上，若存在过P 的直线交曲线C 于 A 点，交直线 l ： x 44于 B 点，满足 PAPB或PAAB ，则称点 P 为 “H

3、 点 ”，那么下列结论正确的是A曲线 . C .上的所有点都是 “H 点 ”B曲线 C 上仅有有限个点是 “H 点”C曲线 C 上的所有点都不是 “H 点”D曲线 C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第 II卷（共 110 分）二、填空题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分,共 30 分.把答案填在题中横线上 .9若直线 l 的参数方程为x 1t，y2， （ t为参数），则直线 l 的斜率为 _.3t10阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1 ，8则输入的实数x 值为 _.开始11一个几何体的三视图如下图所示，则该几何输入 x体的表面积为 _.22是否x >

4、033y2x21xy11211212正视图侧视图输出 y结束俯视图12设关于 x 的不等式 x2x2nx ( n N* ) 的解集中整数的个数为 an ，数列 an 的前 n 项和为Sn ，则 S100的值为 _.13在区间 0,2上任取两个数 a,b ，那么函数 f ( x)x2axb2 无零点的概率为 _.14考虑以下数列 an ， nN * ： an2n 1； an2n 1； anlnn.nn1其中满足性质 “对任意正整数 n ， an 2anan1 都成立 ”的数列有（写出满足条2件的所有序号） ；若数列 an 满足上述性质， 且 a11 ， a2058 ，则 a10的最小值为.三、解

5、答题:本大题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15（本小题满分13 分）在ABC 中，角A,B,C的对边分别为a, b,c,C， b5 ，ABC的面积为 10 3 .3（）求a ， c 的值；（）求sin( A)的值 .616（本小题满分13 分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3 分，答错或不答得0 分；第二空答对得2 分，答错或不答得0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000 的样本，统计结果如下表：第一空得分

6、情况第二空得分情况得分03得分02人数198802人数698302（）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17 （本小题满分13 分）已知四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为2 的正方形， PD底面 ABCD ，E， F 分别为棱BC， AD 的中点 .（）求证： DE平面 PFB；（）已知二面角P-BF -C 的余弦值为6，求四棱锥P-ABCD的体积 .6PDCF

7、EAB18.（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)x2a （其中 aR ） .x1（）若函数f (x) 在点 (1, f (1) 处的切线为 y1 x b ，求实数 a, b 的值；2（）求函数f (x) 的单调区间 .19（本小题满分14 分）2已知抛物线 W : yax 经过点 A(2,1)，过 A 作倾斜角互补的两条不同直线l1 ,l 2 .（）当直线l1 与抛物线 W 相切时，求直线l 2 与抛物线 W 所围成封闭区域的面积；（）设直线l1 ,l2 分别交抛物线W 于B， C两点（均不与A 重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.20（本小题满分14

8、分）给定项数为 m (m*, m3) 的数列 an ，其中 ai 0,1 ( i1,2, , m) .N若存在一个正整数k (2km 1) ，若数列 an 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列 an 是 “k 阶可重复数列 ”，例如数列 an 0,1,1,0,1,1,0.因为a1, a2 , a3, a4 与a4, a5, a6, a7 按次序对应相等，所以数列 an 是 “4阶可重复数列”.（）分别判断下列数列 bn : 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0. cn :1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1 .是否是

9、“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5 项；（）若数为m 的数列 an 一定是“3阶可重复数列”，则 m 的最小值是多少？说明理由；（III ）假设数列 an 不是 “5阶可重复数列”，若在其最后一项 am 后再添加一项0 或 1，均可使新数列是 “5阶可重复数列 ”，且 a41 ，求数列 an 的最后一项 a m 的值 .海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （理）参考答案及评分标准2019 1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第卷（选择题共40分）一、 选择题（本大题共8小题,每小题 5分,共 40分）题号12345678答案ACBCCDBD第卷（非选择题共 110 分）

10、二、填空题 （本大题共6 小题, 每小题 5分 ,有两空的小题， 第一空 3 分，第二空2 分，共 30 分）9 310 311 2412121010013 314 ;2844三、解答题 ( 本大题共6小题,共 80分)15（本小题满分 13 分）解：（）由已知，C3， b5 ，因为S ABC1abs i nC ，2即1 0315 s i n ， .1 分a23解得a8. .3 分由余弦定理可得 : c2642580cos49 , .5 分3所以c7 . .7 分（）由（）有cos A4925641, .9 分707由于 A 是三角形的内角，易知sin A1cos2 A4 3 , .10 分7

11、所以s i nA(6)sAi nc o sA c o s s i n .11 分664331113. .13 分72721416（本小题满分13 分）解：（）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得:x0198380206982302，.4分10003.01据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01 分 .5分（）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3， .7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或 A 与 B 同时发生，.9 分故有： P( A)

12、P ( AB)0 . 80 . 20.7. 0.94.12 分答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.13 分17 （本小题满分 13分）解：（）因为E， F 分别为正方形ABCD 的两边 BC， AD 的中点，所以 BE FD ,所以，BEDF 为平行四边形 ,.2 分得ED /FB，.3 分又因为 FB平面 PFB ，且 ED平面 PFB,.4 分所以 DE 平面 PFB .5 分（）如图，以D 为原点，射线DA,DC ,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0), B(2,2,0)z则有：PPF(

13、1,0, a ), FB(1,2,0),.6 分因为 PD 底面 ABCD ，所以平面 ABCD 的一个法向量为 m(0,0,1) ，.7 分DC设平面 PFB 的一个法向量为n ( x, y, z) ，则可得FyAEPFn0BxFBn = 0即xa z 0x + 2y= 0令 x=1,得 z1 , y1 ，所以 n(1, 1,1). 9 分a22a由已知，二面角P-BF-C 的余弦值为6，所以得 :616cos < m, n >m na,. 10 分516| m | n |4a 2解得 a =2. 11 分因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高，VP ABCD128. 13 分

14、所以，其体积为34318.（本小题满分13 分）2x22 x a解：由xf ( x)a ，可得 f ( x)1)2x1(x（）因为函数f ( x) 在点 (1,f (1) 处的切线为1f (1)21f (1)b2a1解得1b2.2 分1y x b ，得 :2.4 分.5 分（）令 f ( x)0 ，得 x22 xa 0 .6 分当44a0 ，即 a1时，不等式在定义域内恒成立，所以此时函数f ( x) 的单调递增区间为 (,1)和 ( 1,) .8 分当44a0 ，即 a1时，不等式的解为x11a 或 x11a ，.10 分又因为 x1 ，所以此时函数 f (x) 的单调递增区间为(,11a

15、) 和 ( 11 a, ) ，单调递减区间为 ( 11a , 1) 和 ( 1, 11a ) .12 分所以，当 a1 时，函数 f ( x) 的单调递增区间为(,1)和 (1,) ；当 a1 时，函数 f (x) 的单调递增区间为 (,11a ) 和 (11a,) ，单调递减区间为( 11a , 1) 和 ( 1, 11a ) .13 分19（本小题满分14 分）解：（）由于A(2,1) 在抛物线 yax2 上， 所以 1 4a ，即 a1 .2 分4故所求抛物线的方程为y1x2 ，其准线方程为 y1 . 3 分4（）当直线 l 1 与抛物线相切时，由yx21 ，可知直线 l1 的斜率为 1

16、，其倾斜角为 45，所以直线 l2 的倾斜角为135，故直线 l2的斜率为1，所以 l 2 的方程为 yx3.4 分将其代入抛物线的方程y1x2 ，得x24x 1 2 ,0 解得x12, x26,.5 分4所以直线 l2 与抛物线所围成封闭区域的面积为:y2212212( x 3)d xx d x( x 3x )d x66 464.6 分1213264x.8 分A(3xx )32126Ox（）不妨设直线AB 的方程为 y1k( x2) ( k 0) ，.9 分y 1k (x2)y由1 2yxC4得 x24kx 8k 40 ,.10 分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k2 ，所以点 B

17、的坐标为(4k2,4k 24k1),AO Bxy1同理可得 C 点坐标为 (4 k 2,4k 24k1),.11 分所以 |BC|(4 k2)(4k2)2(4 k24k 1)(4k24k1)2(8k)2(8k )282k,.12 分线段 BC 的中点为 ( 2,4k21) ，因为以 BC 为直径的圆与准线y1 相切，所以4k 21 (1 )4k20 ，解得2.13 分,由于 kk2此时，点 B 的坐标为 (222,3 22) ，点 C 的坐标为 (22 2,32 2)，直线 BC 的斜率为(322)(322)1，( 222)(222)所以， BC 的方程为 y (322) x(222) ，即

18、x y 10 .14 分20（本小题满分14 分）解：（）记数列为bn，因为23456与6789 10 按次序对应相等， 所以数列是 “5b , b , b , b , bb ,b , b , b ,b阶可重复数列 ”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列为cn，因为 c1 ,c2 ,c3 , c4,c5 、c2 , c3 , c4 , c5 ,c6 、c3 , c4 , c5 , c6 , c7 、c4 , c5 , c6 , c7,c8 、 c5 , c6 ,c7 , c8 , c9 、c6 , c7 , c8 , c9 , c10 没 有 完 全 相 同 的 ， 所 以 cn不是“5阶可重复数列”.3 分（）因为数列 an 的每一项只可以是0 或 1，所以连续3 项共有 238种不同的情形 .若 m 11，则数列 an 中有 9 组连续3 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为 11 的数列 an 一定是 “3阶可重复数列 ”；若 m 10，数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是 “3阶可重复数列 ”；则 3 m 10 时，均存在不是 “3阶可