二维随机变量的函数分布PPT学习教案

1、会计学1二维随机变量的函数分布二维随机变量的函数分布3.5.1 和的分布和的分布3.5.1.1 离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布3.5.1.2 连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布3.5.2 一般函数一般函数 的分布的分布 ),(YXgZ 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布第1页/共37页 在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形然后将其推广到多个随机变量的情形.

2、当随机变量当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?第2页/共37页一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 和的分布：和的分布：Z =

3、 X + Y 第3页/共37页解：依题意解：依题意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 第4页/共37页riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的

4、泊松分布.21r=0,1，第5页/共37页例例3 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的密的密度度 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.一、连续型分布的情形一、连续型分布的情形和的分布：和的分布：Z = X + Y 第6页/共37页 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ

5、),()()(由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第7页/共37页 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(第8页/共37页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域

6、例例4 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式 1010 xzx即即 110 xzxx第9页/共37页其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示如图示:于是于是为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 1010 xzx即即dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx第10页/共37页解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf

7、),(x+y = z当当z 0 时时，0)( zFZ1yx1 可用可用卷积公式直接求密度函数卷积公式直接求密度函数与与通过分布通过分布函数求密度函数函数求密度函数两种方法求和的分布两种方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(X第11页/共37页x+y = z当0 z 1 时， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zz第12页/共37页x+y = z当1 z 2 时，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz第13页/共37页1yx1x+y = z22当2 z 时，1)(zFZ0)

8、(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或第14页/共37页例例5 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午1212时时3030分在某地会面分在某地会面. .如果甲来到的时间在如果甲来到的时间在12:1512:15到到12:4512:45之间是均之间是均匀分布匀分布. . 乙独立地到达乙独立地到达, ,而且到达时间在而且到达时间在12:0012:00到到13:0013:00之间是均匀分布之间是均匀分布. . 试求先到的试求先到的人等待另一人到达的时间不超过人等待另一人到达的时间不超过5 5分钟的概率分钟的概率. . 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解: 设设X为甲到达时刻为

9、甲到达时刻, ,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以1212时为起点时为起点, ,以分为单位以分为单位, ,依题意依题意,XU(15,45), YU(0,60)第15页/共37页其它, 04515,301)(xxfX所求为所求为P( |X-Y | 5) 及及P(XY)其它, 0600,601)(xyfY解解: 设设X X为甲到达时刻为甲到达时刻， Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以1212时为起点，以分为单位，依题意时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人

10、等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率第16页/共37页解一：解一： 45155x5xdxdy18001P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yx=P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy18001第17页/共37页解二：解二：5| yx |dxdy18001P(X Y)P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yxxy01545106040yx 第18页/共37页例例6 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立相互独立,且均服从标准正态且均服从标准正态分布分布N(0

11、,1),求求Z= X+Y的概率密度函数的概率密度函数.解解 由题意得由题意得 ( )( ,)( )()ZXYfzf x zx dxfx fzx dx( ),( )xyXYfxefye22221122X和和Y相互独立相互独立,故故()xz xeedx222212()zzxeedx224212)tzx22( 令 dteety2422221 ()uedu2224221ye )2 , 0( NY第19页/共37页结论结论: 两个独立的正态分布的随机变量的和两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布仍服从正态分布.X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正态分布的可加性正态分布的可加性.即即:若若X

12、1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立独立,则则第20页/共37页三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),第21页/共37页M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=P(Mz

13、)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 第22页/共37页 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz)第23页/共37页设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,)(xFiX(i =0,1，, n)它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: )()(1zFzFXM )(z

14、FnXN=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是)(1 1)(1zFzFXN )(1 zFnX 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n与二维情形类似，可得与二维情形类似，可得: 第24页/共37页 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值

15、分布具有重、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值要的作用和实用价值.第25页/共37页解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记记1-p=q例例7 设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的并且有相同的几何分布几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .第26页/共37页解二解二: P(Y

16、=n)=P(Yn)- -P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpq第27页/共37页练习练习.1 .1 设系统设系统L L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)(i)串联，串联，(ii)(ii)并联，如图所示设并联，如图所示设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X X与与Y Y，已知它

17、们的概率密度分别为，已知它们的概率密度分别为( )xXexfxx11000( )yYeyfyy22000其中其中 , ,试分别就以上两种联结方式写出试分别就以上两种联结方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度的概率密度,.121200第28页/共37页解解:(1)此时系统此时系统L的寿命的寿命,( ),( ),xyXYexeyFxFyxy1110100000min,ZL LX Y12的分布函数分别为的分布函数分别为(),( ),zZezFzz 121000所以所以Z的分布函数为的分布函数为()(),( ),zZezfzz1212000概率密度函数为概率密度函数为().E12从这里得出，从这里

18、得出， 服从指数分布服从指数分布min,ZL L12这个结论可以推广到一般情况这个结论可以推广到一般情况.第29页/共37页(2)此时系统此时系统L的寿命的寿命()(),( ),zzZeezFzz1211000max,ZL L12的分布函数为的分布函数为()(),( ),zzzZeeezfzz12121212000概率密度函数为概率密度函数为第30页/共37页2 2、 设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立，并且相互独立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,max, ,min, XYX YX Y的概率密度函数的概率密度函数.由卷积公式可得由卷积公式可得: :当当 时时z01( )( ,

19、)zzx zzZfzf x zx dxedxe001当当 时时z 1( )( ,)()x zzZfzf x zx dxedxee11001当当 时时z 0( )Zfz 0Y( )( )yXxeyfxfyy1010000其它解解（1）令）令 , 由题意由题意ZXY第31页/共37页2 2、 设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立，并且相互独立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,max, ,min, XYX YX Y的概率密度函数的概率密度函数.故故(),( )( )( ),ttTXYtetFtFt Ftett1011100Y,( )( )yXxeyFxxxFyyx 0010010011解解（2）令）令 , 由题意由题意max, TX Y进而，得进而，得,( )( )( ),tttTXYetetftFt Ftett 101100第32页/共37页2 2、 设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立，并且相互独立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,max, ,min, XYX YX Y的概率密度函数的概率密度函数.故故,( )( )( ),rrRXYererFrFrFrrr 1011111100Y,( )( )yXxe