“双勾函数”的性质及应用

1、.“双勾函数”的性质及应用问题引入 ：求函数 yx25的最小值x24问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，yx241x241，此时x24x24如 果 利 用 均 值 不 等 式 ， 即 yx2412，等式成立的条件为x24x241，而x241显然无实数解，所以“ ”不成立，因而最小值x24x24不是 2 ，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢 ?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1“双勾函数”的定义我们把形如 f (x)k（ k 为常数， k0 ）的函数称为“双勾函数

2、”因为函数xxf ( x)x k （ k 为常数， k0 ）在第一象限的图像如“”，而该函数为奇函数，其图x像关于原点成中心对称，故此而得名2类比“二次函数”与“双勾函数”的图像ya0yk0)y x(kxyxxb2akbOxxxOk2aa0二次函数图像“双勾函数”图像3类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（ 1）“二次函数”的性质当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着 x;.的增大而增大；当xb时，函数4acb22ay 有最小值4a当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x的增大而减小当xb时，函

3、数y 有最大值 4acb22a4a（ 2）“双勾函数”性质的探究当 x0 时，在 xk 左侧， y 随着 x 的增大而减小；在xk 的右侧， y 随着 x的增大而增大；当xk 时，函数 y 有最小值 2k当 x0 时，在 xk 的左侧， y 随着 x 的增大而增大； 在 xk 的右侧， y 随着 x 的增大而减小当xk 时，函数y 有最大值2k 综上知，函数f ( x) 在 (,k 和 k ,) 上单调递增，在k ,0) 和 (0,k 上单调递减下面对“双勾函数”的性质作一证明证明 ：定义法设x1 , x2R ，且 x1x2 ，则f ( x1)f (x2 )x1 ax2k ( x1x2 )(

4、x1x2k)( x1 x2 )(1k) x1x2x1 x2x1 x2以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先 x0 ， x0 就是一个分界点，另外我们用“相等分界法 ”，令 x1x2 x0 ，k0可得到 xk ，因此又找到两个分界点k ，k 这样就把 f ( x) 的定义域12x0分为 (,k ， k ,0) ， (0,k ， k ,) 四个区间，再讨论它的单调性设 0 xx2k ，则 x1x20 ， x1 x20 ， 0x1 x2 k ，1 x1 x2 k0 f ( x1 )f ( x2 )kx2k (x1x2 )( x1 x2k )x1x2x1 x20 ，即 f (x1 ) f (x2 )

5、 x1 f (x) 在 (0, k 上单调递减同理可得，f (x) 在 k ,) 上单调递增；在(,k 上单调递增；在k ,0) 上;.单调递减故函数 f ( x) 在 (,k 和 k ,) 上单调递增，在 k , 0) 和 (0, k 上单调递减性质启发 ：由函数 f ( x)xk (k0) 的单调性及 f (x) 在其单调区间的端点处取值的x趋势，可作出函数 yf (x) 的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质 此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能4“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（ 1）“二

6、次函数”的区间最值设 f (x) ax2bx c(a) m， n 上的最大值与最小值0 ，求 f ( x) 在 x分析 ：将 f ( x) 配方，得对称轴方程xb，2a当若a 0时，抛物线开口向上bm，n 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；2a若bm，n ，此时函数在 m， n 上具有单调性， 故在离对称轴 xb 较远端2a2a点处取得最大值，较近端点处取得最小值当 a0 时，抛物线开口向下若若bm，n 必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；2abm，n ，此时函数在 m， n 上具有单调性， 故在离对称轴 xb 较远端2a2a点处取得最小值，较近端点处取得最大值以

7、上，作图可得结论当 a0时， b 1如图)f (m)(mn)(2a21f ( x)max；b1 (mf (n)，n)(如图 2)2a2，b如图3f (n)2an()bb， 如图4f ( x)minf () m2an()2a，b如图5f (m)2am()mnnmmnxnxmxmxn x;.图1图2图3图4图5.当 a0时，b如图6f (n)2an()b， b如图7；f ( x)maxf ()m2an()2a，b如图8f (m)2am()f (m)， b 1 ( mn)(如图 9)f ( x)min2a2f (n)， b1 ( m n)(如图10)2a2mnmnmmnmnxxxn xx图 6图 7

8、图 8图 9图 10（ 2）“双勾函数”的区间最值设f()xk (k0)，求 f ( x) 在 x，n 上的最大值与最小值x mx分析 ：当 x0 时，其图像为第一象限部分若km， n ，则函数必在界点xk 处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；若km， n ，此时函数在 m， n 上具有单调性， 故在离直线xk 较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值当 x0 时，其图像为第三象限部分若 k m， n ，则函数必在界点 x k 处取得最大值， 最小值需比较两个端点处的函数值；若km， n ，此时函数在 m， n 上具有单调性，故在离直线xk 较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大

9、值以上，作图可得结论当 x0 时，;.f (m)， kn(如图 11),f ( x)maxmax f (m), f (n), kf (n)， km(如图 13).f (n)， kn(如图 11),f ( x)minf ( k ), k m, n(如图f (m)， km(如图 13). m, n( 如图 12),12),m nkxmknxkm n x图 11当 x0 时，f (n)， -f ( x)max f ( k ), f (m)， -图12图13kn(如图 14),k m,n(如图 15), k m(如图 16).f (m)， -kn(如图 14),f ( x)minmin f ( m),

10、 f ( n),k m, n(如图 15),f (n)， -km(如图 16).m nkmk nk m nxxx图 14图 15图 16二、实践平台例 1 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间时， 其生产的总成本 y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为yx230 x 4000 问：10（ 1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；;.（ 2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润分析 ：将问题归结为 “双勾函数” 问题， 利用 “双勾函数” 的性质， 可使问题轻松获解解：（ 1）由题意可知，

11、每吨平均成本为Sy万元x即 Syx40003014000030 ，因为函数在区间(0,200 上为减函x10x10(xx)数，在区间 200,) 上为增函数所以当x200时，函数yx4000140000有最小值为Sx10x30(xx) 301 (20040000) 3010S最小10 （万元），10200所以当年产量为200 吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元（ 2）设年获得总利润为Q 万元，2则 Q16xy16xx30x40001 ( x 230) 2 1290 ，1010当 x230(150,250) ， Q最大1290 ，故当年产量为230 吨时，可获得最大利润1290万元评注

12、 ：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题例 2 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位） ，由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元（ 1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h) 的函数，并指出这个函数的定义域（ 2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶

13、分析： 要计算全程的运输成本ys ( a bv 2 ) ( a bv)s ( 0 v c ) ，而已知每小vv时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本ys (abv2 )( abv)s ( 0 v c )，所要解决的问题是求abv 何时取最小值，显vvv然要对 c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与a 的大小b解：（ 1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s ，因此全程运输成本为s( avy(abv2 )bv) s ，又据题意 0v c ，故所求函数及其定义域分别为：vavybv) ， v ( 0, c s (v;.a bv b(va（ 2）设 uf (v)b

14、 ) ，vv u 在 (0,a 上是减函数，在 b , ) 上是增函数ba若a c ，结合“双勾函数”的性质知，b当 va时运输成本 y 最小b若ac ，函数在 (0, c 上单调递减，所以当 vc 时，全程运输成本最小b评注： 解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、 接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题例 3（ 2006 安徽高考） 已知函数f ( x) 在 R 上有定义， 对任意实数a0 和任意实数 x ，都有 f (ax)af (x) （）证明f (0)0 ；，x ，（）证明 f ( x)

15、kx0，x其中 k 和 h 均为常数；hx0.（）当（）中的k0 ，设 g( x)10) ，讨论 g( x) 在 (0，) 内f ( x)( xf ( x)的单调性并求最值分析 ：承接第（）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题证明 ：（）令x 0，则 f0af0，a0， f00 （）令 xa ， a 0， x0 ，则 fx2xf x假设 x0时， f ( x)kx (kR ），则 fx2kx2 ，而 xfxx kxkx2 ，f x2xfx ，即 f (x) kx 成立令 xa ， a0 ， x0 ， fx2xf x假设 x0时， f ( x)hx (hR) ，则 fx

16、2hx2 ，而xfxx hx hx 2 ， fx2xf x，即 f (x) hx 成立 fxkx, x0成立hx, x0;.111（）当 x0 时， gxk (xk2) ，ff xkxxkxx由“双勾函数”性质知在(0,1 上为减函数，在 1 ,) 上为增函数，1kk所以当 x2时， g( x)mink评注 ：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点， 找到解决问题的突破口， 是分析问题中思维过

17、程的主要组成部分本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数” 区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉例 4（2001 广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2 ，画面的宽与高的比为 (1) ，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5 cm 空白怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求2,3，那么为何值时，能使宣传34画所用纸张面积最小?分析 ：设定变元 x ，寻找它们之间的内在联系 ( 等量关系 ) ，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解解：设画面高为x cm，宽为x cm，则x24840设纸张面积为S cm2S (x16)(x10)x2(1610) x160 ,22105将 x代入上式得 , S5000 35210(8) ,5令t(t0)，则 S(t)500035210(t 8 )(t0) ，t函数 S在(0,5 上为减函数，在 5 ,) 上为增函数，885所以当 t时， S 取最小值，8此时55484058(1) ，高： x88 cm，宽： x88 55 cm88;.如果 2 , 3 ，则 t 2 ,3 5 ,) ，34348所以函数 S在 2,3 上为增函数，故当t2 时， S 取最小值