新集合问题中常见易错点归类分析答案

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变.初学时，由于未能真正 理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 .代表元素意义不清致误例 1 设集合 A= ( x, y) I x + 2 y=5, B= ( x, y) I x 2 y= 3,求 A B .x 2y 5x 1错解： 由得从而A B=1 , 2.x 2y 3y 2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合 A、B中元素为点集，所以 A B = (1 , 2)例 2 设集合 A =

2、y I y = x2 + 1, x R , B=x I y= Vx +2,求 APB.错解：显然 A= y|y>lB= xly>2.所以 A A B=B .分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A = yI y > 1,但集合B中的元素为x ,所以B = x I x > 0,故A A B=A .变式：已知集合 A y | y x2 1,集合B y | x y2,求A B解：A y | y x2 1 y|y 1, B y | x y2 RA B y|y 122例3设集合A x x 6 0,B x|x x 6 0,判断A与B的关系。错解：A B

3、2,3分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合 A中的元素属性是方程， 集合B中的元素属性是数，故 A与B不具包含关系。例4设B = 1,2 , A=x|x? B,则A与B的关系是()A. A?B B. B? A C. ACB D.BCA错解：B分析：选 D. B 的子集为1 , 2 , 1,2 , ?, .A = x|x? B=1 , 2 , 1,2 , ?,从集合与集合的角度来看待A与B,集合A的元素属性是集合，集合 B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来 看待 B 与 A,B

4、C A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A= 1,3, a,B=i,a2a + i,且 a B,求 a 的值.错解：经过分析知，若 a2 - a 1 3,则a2 a 2 0,即a 1或a 2 .若22a a 1 a,则 a 2a 1 0,即 a 1.从而 a=1, 1,2.分析 当a = 1时，a中有两个相同的元素 1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故 a =-1 ? 2 .例6 设人= x I x2+(b + 2)x + b+l = 0,bR,求A中所有元素之和.错解：由 x1一 综上所述，m

5、一或m一或m0 2 + (b + 2) x + b+ l = O 得 (x+1) (x + b + 1) = 0(1 )当b =。时，x i =x2 1 ,此时A中的元素之和为一2 .(2)当 b 。时，xi +x2=b 2.分析 上述解法错在(1 )上，当b = 0时，方程有二重根1 ,集合A= 1 ,故元素之和为一1 ,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参

6、数的范围后，再具体解决问题。3 .忽视空集的特殊性致误例 7 若集合 A=x|x2+x 6=0, B=x|mx+ 1 = 0,且 B与 A,求实数 m 的值.错解：A= x|x2+x- 6=0 = - 3,2.B 回 A,(1) B 3mx+ 1 = 0的解为一3,1由 m (3)+ 1 = 0,得 m=三；3(2) B 2mx+ 1 = 0的解为2,1由 m 2+ 1=0,得 m=- 2；1 ,1综上所述，m或m32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B 的情况。正解：A= x|x2+x- 6=0 = - 3,2.B 睦 A,(1) B ,此时方程 mx 1 0无解， m 0(2) B 3

7、mx+ 1 = 0的解为一3,1由 m (3)+ 1 = 0,得 m=Q；3(3) B 2mx+ 1 = 0的解为2,1由 m 2+1=0,得 m= - 2jA,求例 8 已知 A x|x2 4x 0, B x|x2 2(a 1)x a2 10,若 Ba的取值范围。解：A x|x2 4x 0 4,0(1) B ,4(a 1)2 4(a2 1) 8(a 1) 0,即 a 1(2) B 4,方程 x2 2(a 1)x a2 1 0有两等根4由168(a1)(3) B 0,方程 x2得a 1 ,所以无解0 a 1或 722(a 1)x a 1 0有两等根0,0 a1由。 得，所以a 1a2 1 0

8、a1(4) B 4,0,方程 x2 2(a 1)x2a 1 0有两不等根4, o0a 1由 4 02(a 1)得 a2_4 0a 1 a综上所述，a 1或a 1例 9 已知集合 A x|x1或x 4 , B x| 2a x a取值范围。解：(1) B , 2a a 3得a 3(2) B，贝U a 3a 3 a 3或 得a 4或2 a 3a 312a 4综上所述 a4或a 2例10 已知集合 A x| x1或x 4 , B x11 a x求a的取值范围。解：(1) B ，则a 0,符合题意a 0(2) B ，则 1 a 10 a 21 a 4综上所述，a 2变式：已知集合 A x | x1或x

9、4 , B x |1 a x 1a的取值范围。解：当A B 时，a 2a,若A B ，求所以当A B 时，a 2评注：对于任何集合A,皆有A=,AU = A,A.的特殊性不容忽视.尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能 是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘 了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。4 .忽视端点值能否取得致误例 11 已知集合 人=*1*>4,或*-5,B=xl a+lWxWa + 3,若AUB = A，求a得取值范围.错解：由A U B = A得B A.，a + 3 w 5,或 a

10、+1> 4,解得 a w 8,或 a > 3 .分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 a=8时，不符合题意；当 a = 3时，符合题意，故正确结果应为av8,或a>3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号， 否则会导致解题结果错误.5 .忽视隐含条件致误例 12 设全集 U = 2, 3, a +2 a - 3,A=I2 a 一 1 I , 2,CuA=5, 求实数a的值.错解：.金 A= 5 ,5 S且 5 A,从而，a2+ 2 a 3 = 5 ,解得 a =2 ,或 a = 1 4 .分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，

11、因为u是全集，所以Au.当a =2时，12 a - 1 1=3 s ,符合题意；当 a = 4时，12 a - 1 1=9 s ,不符合 题意；故a = 2 .评注：在解有关含参数的集合时， 需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件.6、忽视补集的含义致错例13已知全集I R,集合M x|x2 x 0,集合N x|1 1,则下列关 x系正确的是()A.同"例 b.由刖C.口.IMUN-R1 1错解：N x|- 1的补集为Ci N x|- 1,故选C。 xx剖析：本题错误地认为A x|f(x) 0的补集为CIA x|f(x) 0。事实上对 于全集I R,由补集的定义有A CIA

12、R ,但3网“02倒fQ 口) x|f(x) 0 x|f(x) 0 x| 使 f(x)有意义，x R,即为 f (x)的定义域。所 以只有当f(x)的定义域为R时才有A x| f(x) 0的补集为CI A x| f (x) 0,否则先求 A,再求 CIA。一一1x 1正斛：N x| - 1 x| 0 x|x 0或 x 1,所以 CIN x 10 x 1,xx而 M x|0 x 1,应选 A7、考虑问题不周导致错误例14已知集合A x|ax2 4x 4 0, x R, a R只有一个元素，求 a的值和这个元素。解：(1) a 0,由4x 4 0得x1,此时A 1符合题意a 0曰,、“人(2)得a

13、 1 ,此时A 2符合题意16 16a 0综上所述，a 0或a 1一、对代表元素理解不清致错。 22例 1.已知集合 A y|y x 2x,x R, B y|y x 6x 16,x R,求 A B o22错解 1：令x2xx6x16,得 x2,所以 y 8,AB 8 o错解 2：令x22xx26x16,得 x 2,所以 y 8,A B 2,8o剖析：用描述法表示的集合 x|x p中，x表示元素的形式，x P表示元素所具有的性质，集合(x,y) 1y f(x),x R表示函数f(x)的图象上全体点组成的集合，而本题B实际上是求两个函数值域的交集。y|y f(x),x R表示函数f(x)的值域，因

14、此求A1,22正解：由 A y |y x 2x,x R y |y (x 1)1 y|y_，2B y|y x_ ，_ 26x 16,x R y |y (x 3)27 y|y 7,得 A B y|y 7 o、遗漏空集致错。例2.已知集合A x| 2 x5 , B x |m 1 x 2m 1,若 A取值范围。错解：解不等式2 m 12m 1 5,得2 m 3。剖析：空集 是特殊集合，它有很多特殊性质，如 A,AA,空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研 究A B时，首先要考虑 B 的情况。正解：若B 时，则m 12m 1,iPm 2。2 m 1,

15、若B时，则m 1 2m 1,即m 2。由2m 1 5得3 m 3。所以2 m 3。由知m的取值范围是(，3。三、忽视元素的互异性致错。例3.已知集合x,所。xy) 0,|x|,y,求x y的值。错解：由xy 0,根据集合的相等，只有lg(xy) 0,xy 1。所以可得|x| 1或1y| 1。x 1或 x1，y 1y1所以 x y M x y 2。剖析：当x y 1时，题中的两个集合均有两个相等的元素1,这与集合中元素的互异性相悖。其实，当xy 1时，集合x，1,6 0,|x|,y,这时容易求解了。正解：舍去x y 1 ,故x y 2。四、混淆相关概念致错。 222例 4.已知全集 U=R，集合

16、 A x |x 4ax 4a 3 0,x R, B x |x (a 1)x a20,x R, C x |x 2ax 2a 0,x R，若A、B、C中至少有一个不是空集，求实数 a 的取值范围。2-31(4a)4( 4a 3)0,得 a-或a错解：对于集合A,当22时，A不是空集。11 a同理当3时，b不是空集；当a 2或a 0时，C不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知a的取值范围为。剖析：题中“ A、B、C中至少有一个不是空集”的意义是“ A不是空集或B不是空集,心 八 口 a (, -1,)或C不是空集”，故应求不等式解集的并集，得2。同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风!8五、忽视补集的含义致错

17、。例5.已知全集I R,2集合M x |x x0,集合N1x|- 1x,则下列关系正确的A.CINB.M CiNC.CIND.CIM错解:1N x |- x1，、一的补集为CIN1 x| 1 ' x ，故选Co剖析：本题错误地认为 A x |f (x)0的补集为CIAx|f(x)0。事实上对于全I R,由补集的定义有 A CIA R，但x|f(x) 0 x1f(x) 0x|使f(x)有意义,R,即为f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为R时才有Ax|f(x) 0的补集为CIAx|f(x) 0，否则先求A,再求CIA。正解:1N x|- 1 x|x0 x|x 0或 x 1，所以CINx 1