最小二乘复频域法PolyMax

1、最小二乘复频域法(PolyMax)LM安司推出的PolyMax模态识别方法，届丁多自由度时域识别法，也称作多 参考点最小二乘复频域法 (Polyreference least squares complex frequency domain method),是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和 模态参预因子进行整体估计的多自由度法，一般首先通过实验建立稳态图，以判 定真实的模态频率、阻尼和参预因子； 建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基丁正则方程缩减最小二乘问题，得到压缩正则方程，丁是模态参数可以通过 求解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSC成法的优点，可

2、以得出非常活晰的稳态图，并且密集空间可以被分离出来，尤其在模态较密集的系统(动 力总成系统)，或者FR嗷据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立活晰的稳态 图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别 精度，是国际最新发展并流行的基丁传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：(1) 建立频率响应函数模型多参考点最小二乘复频域识别技术(PRLSC或PolyMAX要以频响函数矩阵 作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统 输出o ( o=1,2，No ,其中No为输出点数)和全部输入的关系可用右矩阵分 式模型(RMFD来描述，右矩阵分式模型的表达式

3、为H。® )=U°)D0 尸(1)式中：Ho(。广ClxNi理论频响函数的第。行，M是输入点数，即激励数；Uo伽卜clxNi 一分子多项式行向量；Do幻炉C Ni时一分母多项式矩阵。且U°0井日D°(。)可以表示成如下形式：NU° )=£ (ZrS ) Bor )(o=1,2No)(2)r =0ND°0 )=，(Zr 何)A )(3)r =0其中分母系数矩阵AwRNi州和分子系数行向量BowR熟是待估计的参数。所 有这些系数合并为一个矩阵。u =打.；其中Eo =户1 yr5,Bon式（2）和式（3）中出现的多项式基函数i

4、.对丁连续时域模型，可取为aT T（4）A、Eo=<Ai：rNWW，（5）ANZ> ）, 一般地，有以下两种选择：(6)1 'N式中：%= 缩放因子，用来提高方程的数值状况。2ii.对丁离散时域模型，可取为Zr（o）=e（"rs）式中：Ts一采样周期。通常采用离散时域模型。（2）参数的线性化通过试验测量出的频率响应函数矩阵 目SfcNo>Ni，用目。（幻kc1XNi表 示实测频响矩阵的第0行，（0=1,2，No, f =1,2，Nf）那么关丁参数矩阵9的 非线性最小二乘（NLS目标函数可表示为N0 Nf。次）=点 tr妃"f,网 SN"f

5、,8）（8）0 4 f兰式中：，H一矩阵的复共扼转置；tr(,)一矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和通过对式(8)求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系 数的估计值，即8矩阵的估计值。式(8)中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：/LS仙f £ )=W)(S Ho®f ,8 )点。(幻)=双知 jUoSf, Po ) D”3 f ,a )-氏3 f )(9)上式中W。(幻)是一个加权函数。一般地，为了提高估计的质量，我们采用Wof =varlH。 f(10)式中：vaMJ一方差，可用相关函数求取。也可使用公式"""f来做加权函数

6、的。这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏：测得频响 的方差越小，对目标函数的贡献越大。非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问题。实际上，通过 对端NLS(C0f,8 )右乘D(C0f,a),则可以得到一个关丁参数为线性的方程，此加权 线性最小一乘(LS)方程误差*S (co f, e )为/"f广-；0JLS n广 f,：= Wo(Of XUo3f,P。)D(斜,a )Ho(<Of )D仲f ,8 )(12)N.=Wof ' Z"f Bor -Z" f Ho ， Ar =0这样式(12)关丁参数为线性，将所有频率点装配成一列，f

7、=1,2，Nf ,它可用矩阵形式来表示 L%谷 LSW e ls o "1,) JPJ*SB)昌：=【Xo Y°j o =Jo o(13)I LS/ la J 9 JNf尸其中:- -Wo（0 ）-Zo01 ）, Z1（切1 ），Zn （切 1 ）XoWo（G0Nf ） Zo （向山）,Z （句 Nf ），%（皿NfNf -Wo（皿1 ）Zo（0 ）, Z1 佃 1 ），,ZN（m）® Ho何1）CNf NiN1 （15）Nf , Z1 ' 'Nf / , ZN '，Nf J'、： Ho ' ' Nf式中:加权线性最

8、小二乘估计表达式为NoLS 口 tr ；So 4No f=L tr omH IS ；。 U:T Ro-t_S：S°goToJ（16）尺=Re XoHXor N 1 N 1W°(%f )* (切式中，® Kronecker 积。(3) 缩减标准方程S。=Re XoHYo i- RN 1 Ni N 1T。=Re YoHY。RNiN1 NiN1同时,目标函数(16)等价丁LsE i=tr uT Re JH J（17）式中,J 是 Jacobian 矩阵,X10被如下定义0X2丫1丫2C&NfN 1 No 'Ni（18）XnYnoPo和a求导，并令其为零为

9、使ls(8 )值最小，将£ls(b )对系数矩阵切 H） = 2 心 o+E =。（o = U'No） （19）(*氏心。+m=0（20）由式(19)得到Eo = RSo a，把它代入式(20)得No2 稿(T。一gRoSO )宸=M & = 0(21)一其中，M =2版(ToSWS)。X一由式(19)和(20)得到标准方程，经过整理，此标准方程的表达式为§ 1 r S2E"?2-、= 2Re(JH J )旧=0oR000&099+(22)SN°No2 I '-'-|0。Rno.stsNo式(21)即为“缩减”标准

10、方程，其中矩阵 M维数为NN +1< NJN +1 ), 比标准方程式(22)中的Re(JHJ)的维数(No + N XN+1)x(No + N XN+1)要小 的多。(4) 求解缩减标准方程通过求解“缩减”标准方程，便可得到分母系数矩阵 a。根据线性方程组的 求解理论，先对系数矩阵a施加一个约束。假如，设定系数矩阵a中的一个系数 矩阵块等丁正则常数矩阵(例如设系数矩阵的最后一个矩阵块a(N+1)=lNi ), 在这种前提下，缩减标准方程变为A X = B(23)其中A = M 1: NiN,1: NiNB =M 1: NiN NiN 1: Ni N 1系数矩阵«的最小二乘估计

11、为WLS = !X 1 X =AB(24)1 Ni一旦求得了必LS ,那么通过吧=-"So仪就可得到所有的分子系数凡S,o这种方法 考虑了标准方程的结构特性，比直接求解方程(22)要快得多。确定了分母系数矩阵0（后，通过求解0（的伴随矩阵的特征值和特征向量，这样就可以得到了系统 的极点和相应的模态参与因子。方程如下-0I 00 10000S'i+ .9V = VA(25)000IL-A0-atAn _2An-上式中，V,AW CN°N浏。N，矩阵V的最后Ni行就是模态参与因子；对角阵A的角 元记录为i （i =1,2，N°N）由不稳定的数学极点和稳定的物理

12、结构点两部分组成 。记稳定 的物理结构极点为Ar=e-s,通过对这些物理结构极进行转换，便可得出结构 的固有频率和模态阻尼比L;关系式如下*.*2妃 Ar =crr±i 斜 或 %,% =一-斜±|寸一-斜（26）（5）计算频率点和阻尼比点根据信号与系统基本理论中对系统稳定性的描述：系统的全部极点落丁s域左半平面（不包括虚轴），且满足有界输入有界输出原则，系统是稳定的。复特 征矩阵A中的复特征值总是以共钥对的形式出现，同时也包含实数（虚轴上）， 在求解频率点叫和阻尼比点4时，对丁每个共钥对只取其中一个进行分析，且 不考虑实数。复特征矩阵A中的对角元A =/爪，由式（26）

13、, Ai用Re（Ai ）+i lm（Ai ）描 述，则 Re(4 )+i Im (与)= e3也)s =eEs e志Ts =eTs cos(c<Ts )i sin (c<Ts)(27)(28)(29)Re * i Im i =e-iTsarctan'kdTslRe(4 V i s所以=-L|n (|aJ )<T.iTs(30)-1(Im(A ). _团=arctan (31)TslRe(A)J由此可求得频率哼和阻尼比4在求得的频率和阻尼比。包含有结构的固有频率 斜和模态阻尼比1,因此, 必须对所有求得的o,和匕进行有效的分析和选取，以确定系统真实的固有频率 和阻尼比。建立稳态图就是一种行之有效的方法。(6)建立稳态图在模态分析中，稳态图是帮助实验者分离结构物理极点和数学极点的一个有 力工具，如图1所示。通过逐渐增大多项式的阶次 N ,且进行