不定积分PPT学习教案

1、会计学1不定积分不定积分 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函数.定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.(,) 32()3xx 2x33x(,) (sin )cos x x4.1 不定积分的概念与性质第1页/共54页 (2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个注:(1)如果函

2、数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出 例如而在 上 是 的原函数(,) sin1,sin2xx sin xcos xsin1,sin3xx 也是它的原函数即 加任意常数都是 的原函数.sinxcos x (3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.此结论由Lagrange定理推论可证第2页/共54页定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作( )df xx其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x

3、)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. ( )d( )f x xF xC，即2.不定积分的概念第3页/共54页例2 求21d .1xx21(arctan)()1 ，x xx解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例1 求.d4xx54()5由由于于，xx解54d.5xCxx所所以以第4页/共54页例3 求.d1xx,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 时，有当解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx时，有当1dln (0).xxCxx所所以以, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx当当1dln().xxCx又又第5页/共54页3 不定积分

4、与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特别地，有d.xx C(2) ( )d( ) d( )( )F xxF xCF xF xC或或，第6页/共54页(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC不定积分的基本积分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa第7页/共54页22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) s

5、ec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx第8页/共54页例4 计算下列积分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx第9页/共54页例5 计算下列积分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )

6、( )122ln 2 2ln2xxxxCC (2)第10页/共54页4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.( )d( )dkf xxk f xx).0(kk是常数，性质2可以推广到有限多个函数的情形，即1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .nnxxxxxxxxxxffffff性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即 ( )( )d( )d( )d .f xg xxf xxg xx第11页/共54页例6 求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2

7、d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解43215 23.23xCxxx 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 第12页/共54页例7 求xxxd )sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解2 ( cos )2cos.ln3ln333xxxCxC 例8 求2d .(1)xxx 531222221()(所所以以xxxxxxxd) d53122222,(1) xxxxx解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx第13页/共54页例9 求2cosd2xx21cos1cosdddc

8、os d222xxxxxxx1(sin )2xxC解.arctanCxx例10 求xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解xxxd11d2第14页/共54页.arctan33Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例11 求第15页/共54页.dtan2xx.tan Cxx例12 求xxxx)d1(secdtan 22解xxxddsec2 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 第16页/共54页

9、函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.4.1.4.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.第17页/共54页 21d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，例13设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解 设所求的曲线方程

10、为 ,依题意可知( ) yf x ，yx因此所求曲线的方程为21.2xy第18页/共54页.d2cosxx求4.2.1 第一类换元法例11dd2，xu 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而xx d cos11 cos2 dcosdcos d22xxuuuu所以有？1cos2 dsin2.2x xxC分析4.2 换元积分法第19页/共54页.sin21dcos21 cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，即对新的积分变量由于.2sin21sin21 2CxCuxu代回，得再把

11、综合上述分析，此题的正确解法如下：第20页/共54页,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d .d2cosxx求第21页/共54页 )()()d( 有具有连续导数，则如果，设xuCuFuuf ( )( )d ( ) (1)fx xxFxC 定理1证依题意有 )()d(，CuFuuf即有),()(ddufuFx又由复合函数微分法可得)()(xuf. )()(xxf)(ddxFuxuuFudd)(dd)(xx令 第22页/共54页根据不定积分的定义，则有.)(d)( )(CxFxxxf 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，

12、应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx凑微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux变量代换还原第23页/共54页例2 求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d 42xxx d2d4 2则，则令xxuux解 d21 d42uuxxx例3 求Cu233221=.31)4(223Cx第2

13、4页/共54页例4 求2dxxex解222211ddd22xxuxexexeuxu变量代换凑微分221122uxeCeCux还还原原例5 求 .d tanxx=ln |cos|.xC类似地，有 dln sincot|.xxxC dcossin d tan xxxxx解)d(cos cos1xx第25页/共54页(1)22d xax=1arctanxCaa0a221 dxab arcsin.xCa(2)2211 d ln.2xaxCaxaxa(3)cscdln csccotxxxxC(4)secdxx ln sectanxxC(5)此外还可以得到一组积分公式： 第26页/共54页4.2.2 第二

14、类换元积分法12dd 11txttx1d .1xx例6 求22d1tt22ln 1.xxC12 d2d(1)1ttt22ln 1ttC解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有,xt第27页/共54页 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.xxfd)()(txtxxfd )()()(1xt第28页/共54页设 是单调可导的函数， 且定理2)(tx( )0t( )( )d( )ftttF tC那么( )d( )( )d( ) f

15、 xxftttF tC1( ) FxC应用第二类换元法求不定积分的步骤为 ( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg ttF tCxt 换换元元( ) tx 还还原原1( )FtC 第29页/共54页例7 求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解tttxxtd21d11 2 .1)1 (3212CxxxCtt3322第30页/共54页).0( d22axxa，例8 求ttattataxxadcos dcoscosd 2222解 ).22( x cos sin1 sin dcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，设）（

16、tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta第31页/共54页并有，则，因为,arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d 22222.cos ,cos2222axataxat斜边邻边直接写出：角形也可由图所示的直角三上面axtax22第32页/共54页0).( d22axax，例9 求ttataxaxdseccos1d1222解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt

17、第33页/共54页，邻边斜边可得，利用图所示三角形，根据aaxtaxt22sec tan).ln( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22ax t第34页/共54页0).( d122axax，例10 求，令 sec tax 解，于是tttaxtaataaxd tansecd tan1sec1122222 d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt第35页/共54页，邻边对边得利用图所示三角形，易根据aaxtaxt22tan ,sec).ln( ln ln d1 12212222aCCCxaxCaaxax

18、xax其中ax22ax t第36页/共54页.),(2222根号的是去掉被积函数中的函数，三角换元法的目构成的有理和表示由其中xaxxaxR 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：第37页/共54页(14) tan dln|cos|.x xxC 补充的积分公式：(15) cot dln|sin|.x xxC(16) sec dln|se

19、ctan|.x xxxC22d1(19) ln|.2xxaCxaaxa(17) csc dln|csccot|.x xxxC22d1(18) arctan.xxCaxaa第38页/共54页22d(20) arcsin.xxCaax2222d(21) ln|.xxxaCxa2222d(22) ln|.xxxaCxa第39页/共54页由函数乘积的微分公式d()d( )d( )uvvuuv，移项得d( )d()d( )uvuvvu，dd (1)u vuvv u对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . dd (2)uv xuvu v x或 分部积分法第40页/共54页注意： 使

20、用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定第41页/共54页.d, dedcosdsin. 1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的为令的不定积分，形如.,dd darcsin,darctan,dln. 2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的为定积分，令的不形如即一般情况下，u与dv按以下规律选择.d ,d dcose,dsine. 3应保持一致和部积分公式，两次选择因为要使用两次分，但应注意和任意选择的不定积分，可以形如vuvuxbxxbxaxax第42页/共54页例1 求.ds

21、inxxx cosdddsind ，则，则，令xvxuxxvxu解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos第43页/共54页.de2xxx例2 求 d2dddee2xxvxxuxvux，则，令解d 2d eeee22xxxxxxxxx则 dd eee22xxxxxxxx则eedd d d xxvxuxvxu，则，令继续使用分部积分法 . )22 (22 22eeeeCxCxxxxxxx第44页/共54页例3 求.dtanarcxxx解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21 darctan 222 d)111 (

22、21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx 2d11d22，则，则xxvxu第45页/共54页.dln4xxx例4 求 )5(dlndln 54xxxxx解xxxxd51ln545 .25ln555Cxxx例5 求.dlnxx)ln(dlndln xxxxxx解.lndlnCxxxxxx第46页/共54页.dcosexxx例6 求 )(dcos dcos eexxxxx解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx这样便出现了循环公式,sincosdcos2 1eeeCxxxxxxx移项得).2( )sin(cos2dcos1eeCCCxxxxxxCx