ch2-4DFT分析信号频谱-离散傅里叶变换数字信号处理陈后金解析

1、数字信号处理数字信号处理 信号与系统系列课程组信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地国家电工电子教学基地)(txttxXtxtde)()j ()(jtx(t)0X(j)0图图1 连续非周期信号及其频谱连续非周期信号及其频谱 )(txT TtnTTttxTnXtxde )(1)()(0j0X(n0)0图图2 连续周期信号及其频谱连续周期信号及其频谱 kx kkkxXkxjje )e(kxk0X(ej)0.22图图3 离散非周期信号及其频谱离散非周期信号及其频谱 kx 102jeNkmkNkxmXkx图图4 离散周期信号及其频谱离散周期信号及其频谱 ttxXtxtde)()j()(jTtnTT

2、ttxTnXtxde)(1)()(0j0kkkxXkxjje)e(102jeNkmkNkxmXkx有限长序列有限长序列xNk的傅里叶变换的傅里叶变换DFT102je NkmkNNNNkxmXkx 利用信号傅里叶变换具有的信号利用信号傅里叶变换具有的信号与与之间的对应关系，建立信号的之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信与四种信号频谱之间的关系。号频谱之间的关系。tx(t)0X(j)0t0)(txkxk00kxkX(n0)0)(txkxN假设连续信号持续时间有限，频带有限假设连续信号持续时间有限，频带有限离散化抽样mXN点 DFT)2( j 1)e (jTnXTXn1, 0,)e (2jNmX

3、mXN)2( j 1)e (jTnXTXn)( j 1samnXTnT的抽样值2/0:s)(NmNNmsss Nms在mN/2，Xm对应于X(j)在在N/2 mN1，Xm对应于X(j)02/:s的抽样值例：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz, 用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定Xm中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1 和f2 (kHz)。 对连续信号x(t)按fsam=8kHz进行抽样，得到对应的离散序列xk，在利用离散序列xk的DFT Xm分析连续信号x(t)的频谱时，Xm 与X(j)存在以下对应关

4、系： 当m=600时，由于0m(N/21)，所以 kHz3kHz60016008sam1 mNff当m=1200时，由于N/2mN，所以 kHz2kHz)16001200(16008)(sam2 NmNffAmmX(j A/TmX(ej2/NXm 解：解：求x(t)=e-t u(t)的幅度谱-50-40-30-20-100102030405000.20.40.60.81近 似 值理论 值j11)j (X211)j (Xfs=16Hz,N=256010203040506070809010000.20.40.60.81t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);求x(t)=e

5、-t u(t)的幅度谱-50-40-30-20-100102030405000.20.40.60.81近 似 值理论 值-50-40-30-20-100102030405000.20.40.60.81近 似 值理论 值fs=16Hz,N=256fftshift(X)12,1 ,0,1,12,21NXXXNXNXNXmX将Xm重排为 讨论：讨论：（1） 无限长，其频带有限无限长，其频带有限)(txmXkx加窗加窗22)(jeXN022)(jeX0TAm)j (X0AmmmX01N)(tx抽样抽样kxNDFT（2） 有限长，其频带无限有限长，其频带无限)(tx)j (X0A22)(jeX0mmX0

6、1N)(tx抽样抽样kxmXDFT（3） 无限长，其频带无限无限长，其频带无限)(txkxN加窗加窗出现三种现象出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏)j (X0A22)(jeX022)(jeXN0mmX01Nkx)(tx抽样抽样mXDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象（1）混叠现象混叠现象-10-5051000.20.40.60.81Fs=8 HzFs=4 Hz理论值幅度谱-10-5051000.20.40.60.81Fs=8 HzFs=4 Hz理论值幅度谱-10-5051000.20.40.60.81Fs=8 HzFs=4 Hz理论值幅度谱避免混叠：避免混叠：a)提高抽样率提高抽样率b)抗混滤波抗混

7、滤波抗混滤波抗混滤波)j (X0A0A22)(j0eX)j (X0A0mm)(tx抗混滤波抗混滤波抽样间隔抽样间隔T)(0tx抽样抽样0kxmXDFT（2）泄漏现象：）泄漏现象：d)e ()e (21)e ()j(j2jNNWXX其中：凯塞窗布拉克曼窗哈明窗汉宁窗矩形窗 kwNkwkxkxkxNN 加窗加窗mXDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象加窗引起的频谱计算中多余的高频分量矩形窗：其它 001Nkkw)(jeWNNN2N4N2主 瓣旁 瓣旁 瓣021jje)2/sin()2/sin(DTFT)e (NNNNkRWNw/2矩形窗：其它 001Nkkw主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由直流分量

8、组成。由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多高频分量。32)2/3(1)2/3sin()2/3sin()e ()e (0 j/3 jNNNNWWNdB46.13)e ()e (log200 j/3 j10WWAN常用窗函数特性常用窗函数特性 窗函数类型窗函数类型时域表达式时域表达式主瓣宽度主瓣宽度旁瓣峰值旁瓣峰值衰耗衰耗(dB)矩形413Hann8 / N31Hamming8 / N41Blackman12 / N57Kaiser(b=5.86)10 / N57)()/21 (1(020bbINkIkw)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0NkNkkw)/

9、2cos(46.054.0Nkkw)/2cos(5 . 05 . 0Nkkw其它 001NkkwNk 0的频谱分析利用tttx),cos()(DFT0)()()j (00XkkkTkx),cos()cos(00)()()e (0202jXkx)(txkxN加窗加窗抽样抽样mXDFTkwkxkxNN)()(5 . 0)e (00jNNNWWX)j (X000()()j (32X000频率泄漏)j (64X000频率泄漏kx)(txkxN加窗加窗抽样抽样mXDFT1）造成频谱泄漏2）降低频率分辨率加窗对谱分析的影响频率分辨率指分辨信号频谱中相邻谱峰的能力-300-200-1000100200300

10、0246810幅度谱频率( H z)的频谱分析利用)2cos()2cos()(DFT21tftftxHz600,Hz120,Hz10021sfffN=20例:频谱泄漏不能分辨两个谱峰kx)(txkxN加窗加窗抽样抽样mXDFT如何提高频率分辨率如何提高频率分辨率?减小窗函数频谱主瓣宽度减小窗函数频谱主瓣宽度即增加窗函数长度即增加窗函数长度N-300-200-100010020030005101520幅度谱频率( H z)N=30fTN223020600ffNs提高频率分辨率提高频率分辨率Hz600,Hz120,Hz10021sfffHz2021fffNw/2利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱利用

11、矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30; %数据的长度L=512; %DFT的点数f1=100; f2=120;fs=600; %抽样频率T=1/fs; %抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);hd=plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱)-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱-300 -200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)矩形窗N=25矩形窗N=5

12、0的频谱分析利用)2cos(15. 0)2cos()(DFT21tftftxHz600,Hz150,Hz10021sfff例:2450120022fffTNs如何解决如何解决?Hz5021ffffTN24由于泄漏使得信号中幅度小的频率分量难以检测选择旁瓣幅度小的窗函数选择旁瓣幅度小的窗函数哈明窗哈明窗其它 010),12cos(46. 054. 0NkNkkw0 1 2N-1kwk0.081)(jeWN4N4)(jeWN2N4N2N4Nw4-300-200-100010020030001020频率(Hz)幅度谱哈明窗N=50改用哈明窗截短fTN28485024004ffNsHz600,Hz15

13、0,Hz10021sfffHz5021fff利用利用Hamming窗窗计算有限长余弦信号频谱计算有限长余弦信号频谱N=50; %数据的长度L=512; %DFT的点数f1=100;f2=150;fs=600; %抽样频率T=1/fs; %抽样间隔ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N);f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱)(3 ) 栅栏效应：栅栏效应：对对信

14、号补零信号补零，抽样率不变，频域抽样点数增加，可以，抽样率不变，频域抽样点数增加，可以更多地显示出频谱中的细节更多地显示出频谱中的细节NffsdDFT的两个相邻点对应的连续信号的频谱间隔为Ns混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kxkkkkkxkxkxXj30jjeeDTFT)e ()21cos623cos4(e23 .jkmkkmNNkkxkxmX42j302j10eej1 , 0 , j1 ,10解：解：j1 , 0 , j1 ,10mmXmX223 .j42j)21cos623cos4 (e)e (，m=0

15、,1,2,3kkkxkxXj7011j1eDTFT)e (kkkxj301e2 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kx解：解：kmkkmkkmNkkxkxkxmX82j3082j70182j1011eeej6.52.7 j,1 j0.5,1.3 , 0 j0.5,-1.3 , j1 j6.5,-2.7 ,10)21cos623cos4(e23 .jmmXmX423 .j82j1)21cos623cos4 (e)e ()e (jX002468102 /32 /2kx| |mX| )(|jeX002468102 /32 /21kx| |1mX|

16、)(|j1eX2 , 3 , 3 , 2kx0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 3 , 21kx解：解： -300 -200 -100 0 100 200 300 0 10 20 幅度谱 频率(Hz) -300 -200-100010020030001020幅度谱频率(Hz)N=30, )(jNeXN=30, L=64, = 600/64 dfN=30, L=128, = 600/128 dfN=30, L=256, = 600/256 df-300-200-100010020030005101520幅度谱频率(Hz)-300-200-100010020030001020幅度谱频率

17、(Hz)2cos()2cos()(21tftftxDFTDFT参数选取参数选取msam2 ffmsam211ffTfcNTT1p) ,(mdfff1.抽样频率或间隔抽样频率或间隔:2.时域抽样点数或抽样时间时域抽样点数或抽样时间:3.DFT点数点数:dsamffM矩形窗时取c=1，哈明窗时取c=2 ffcfTcNsam1例：例： 试利用DFT分析一连续信号，已知其最高频率=1000Hz，要求频率分辨率f2Hz，DFT的点数必须为2的整数幂次，确定以下参数：最大的抽样间隔，最少的信号持续时间，最少的DFT点数。解：解：(1)最大的抽样间隔Tmax为 s105 . 0s100021213mmax

18、fT(2)最少的信号持续时间Tpmin为 s5 . 0s211pminfT(3) 最少DFT点数M为 1000105 . 05 . 03maxminpTTNM选择DFT的点数为M=1024，以满足其为2的整数幂次。 小结1.掌握Xm与X(j)的关系)( j 1mRnNmXTmXNssn2.如何选取DFT参数：fs、TP和M1)选取合适的fs以减小频谱混叠2)增加TP以提高频率分辨率3)增加DFT点数M以显示更多频谱细节利用利用DFT进行确定信号谱分析作业进行确定信号谱分析作业 1.利用DFT分析x(t)=Acos(2f1t)+Bcos(2f2t)的频谱，其中f1=100Hz，f2=120Hz。 (1)A=B=1; (2)A=1,B=0.2 要求选择不同的DFT参数及窗函数，并对实验结果进行比较,总结出选择合适DFT参数的原则. 2.P133 M2-1(1), M2-2, M2-3,M2-4,M2-5 3.分析矩形窗、 Hann窗、 Hamming窗、 Blackman窗、 Kaiser窗的频谱，并进行比较。 4.利用DFT分析x(t)=e |t| u(t)的频谱。 5.利用DFT分析计算x(t )=cos2t的频谱,设0= / 2思考题思考题(1)