2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理解析

1、 2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学理解析 .选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求 的。 (1 )设 P= x | x4 ,Q= x | X24? ( B) k 5? (C) k 6? ( D) k 7? 解析：选 A,本题主要考察了程序框图的结构， 以及与数列有关的简 单运算，属容易题 (3)设Sn为等比数列 G詁勺前n项和，832 3 0 ,则S5 = (A ) 11 ( B) 5 ( C) -8 ( D) -11 解析：解析：通过 8a2 a5 = 0，设公比为q，将该式转化为8a2 a2q3 =0，

2、解得q =-2，带入所求式可 知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n项和公式，属中档题 兀 ” 2 (4)设 0vxv ，贝V xsin X1 是 Xsin xv1”的 2 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 解析：因为 0 X v ，所以 sinx v 1，故 xsin2x v xsinx，结合 xsin2X与 xsinx 的取值范围相同，可知答案选 2 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档 题 (5)对任意复数z=x yi x,yR , i为

3、虚数单位，则下列结论正确的是S-2S+k (第2题) () z z =2y (B) z2 =x2 + y2 (C) z Z Z2x (D) z 2y , 故 C 错，D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题 () 设I，m是两条不同的直线， 二是一个平面，则下列命题正确的是 (A)若 I _ m, m 二：乂，则 I _ (B)若 I _ ： ， I/ m，则 m _ (C)若 I/ :，m 二輕，则 I/ m (D)若 I/ : , m/ ：,则 1 m 解析：选 B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判 定定理，也

4、蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 x 3y -3 _ 0, (7) 若实数x，y满足不等式组丿2x-y-3兰0,且x + y的最大值为 9，则实数m = x my十猪0, (A ) -2 ( B) -1 ( C) 1 (D) 2 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C,本题主要考察了 用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 2 2 (8) 设 R、F2分别为双曲线 与-2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P，满足 a b PF2 = F1F2 ,且F2到直线PF1的距离等于双曲线

5、的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 (A) 3x 二 4y=0 (B) 3x 二 5y=0 (C) 4x 二 3y = 0 (D) 5x 二 4y=0 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，可知答案选 C, 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 (9) 设函数f(x) =4sin(2 x，1)-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是 (A)-4,-21 ( B)-2,0 1 (C)0,21 (D) 1.2,4 1 解析：将f x的零点转化为函数 g x =4sin 2x 1与h x二

6、x的交点，数形结合可知答案选 A，本题主 要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对 能力要求较高，属较难题 (10) 设函数的集合(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 1 1 解析：当 a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意，故答案选 B ,本题主要考察了 2 2 函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考 察，属中档题 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 (11)函数 f(x)二s

7、in(2x )-2、2sin2x 的最小 4 正周期是 解析：f(x) = sin 2x+ 2 I - 4 2故最小正 周期为n，本题主要考察了三角恒等变换及相 关公式，属中档题 (12)若某几何体的三视图(单位： cm)如图所示, 则此几3 cm 解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为 144,本了对三(13)设抛物线y2 =2px(p 0)的焦点为F，点 A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上, 则B到该抛物线准线的距离为 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 2 , B 点坐标为(/ ,)所以点 B 到抛物线 4 准线的距离为3 .2，

8、 本 p = f(x) =log2(x+a) +b a =丄,0丄1;13 = 1,0, 2 2 平面上点的集合 I 1 1 Q =x, y) x = -20, 21； y = 1,0,1j， 则在同一直角坐标系中， P中函数f (x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 iE视 1 1 (14)设 n_2,n N,(2x )n _(3x )n 2 3 2 n 二 ao aix a2X 亠 亠anx , 将ak (0兰k兰n)的最小值记为Tn，贝 U 所以 sinC= 10 4 11 11 T2 =0,T3 二尹一壬币=0,T5 二尹-尹,Tn, - 其中Tn= _ . 解析：本题主要考察了

9、合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 (15 )设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an?的前n项和为&，满足S5S6 T5 = 0, 则d的取值范围是 _ . 解析： (16) 已知平面向量，：(驀土0,用二卜)满足一：=1，且：与 F ：的夹角为 120 贝 U |叫的取值范围是 _ . 解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算 及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。 (17) 有 4 位同学在同一天的上、下午参加 身高与体重”、立定跳远”、肺活量”、握力”、 台阶”五个项目的

10、测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复 若上午不测握 力”项目，下午不测 台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人 则不同的安排方式共 有 _ 种(用数字作答) 解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题 三、解答题：本大题共 5 小题共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 (18) (本题满分 14 分)在厶 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知COS2C =-一 4 (I)求 sinC 的值； (n )当 a=2, 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长. 解析：本题主要考察三角变

11、换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 2 1 (I)解：因为 cos2C=1-2sin2c= ，及 0v C vn 4 I a c (n)解：当 a=2, 2sinA=sinC 时，由正弦定理 ，得 si nA si nC c=4 2 1 由 cos2C=2cos C-仁 ,J 及 ov Cv n 得 4 cosC= - 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b2 .6 b-12=0 解得 b=、, 6或 2 6 所以b= 76 卩=屈 c=4 或 c=4 (19) (本题满分 14 分)如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自 上而下落 A 或 B 或 C

12、o已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落 到 A, B, C,则分别设为1, 2, 3 等奖. (I)已知获得 1, 2, 3 等奖的折扣率分别为 50 %, 70%, 90 %记随变量 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣 率，求随机变量 的分布列及期望 E ； (II)若有 3 人次(投入 l 球为 I人次)参加促销活动，记随机 变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P( =2). 解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期 望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意 识。 (I )

13、解：由题意得E的分布列为 E 50% 70% 90 % P 3 3 7 16 8 16 小 3 3 7 3 则 E E 二一X 50% + X 70% + 90% 二一. 16 8 16 4 3 3 9 (n)解：由(i)可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 + 3=. 16 8 16 9 由题意得n(3, ) 16 则 P ( n =2) =Cf( )2(1- )= . 16 16 4096 (20) (本题满分 15 分)如图， 在矩形ABCD中，点E,F分别 2 在线段AB, AD上，AE二EB二AF FD =4 .沿直线EF 3 将VAEF翻折成VAEF，使平面AEF _平面 BE

14、F . (I)求二面角 A -FD -C的余弦值; (n)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线 MN将四 边形MNCD向上翻折，使 C与A重合，求线段FM 的长。 解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象 能力和运算求解能力。 EF 的中点，所以AH _ EF, 又因为平面 AEF_平面BEF. 如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A (2, 2, 2 2 ), C (10, 8, 0), F (4, 0, 0), D (10, 0, 0). T, l T 故 FA = (-2, 2, 2 丁2 ), FD= (6, 0, 0) 设n

15、 = (x,y,z)为平面A FD的一个法向量, (I)解：取线段 EF 的中点 H，连结AH，因为AE = AF及 H 是 (-2x+2y+2 z=0 所以 6x=0. 取 z2，则 X =(0, _2,、,2)。 又平面BEF的一个法向量 斤=(0,0,1), 故cos灵m匸專。 所以二面角的余弦值为 (H)解：设 FM =x,则 M (4 - x,0,0), 因为翻折后，C与A重合，所以CM二AM， 故，(6 -x)2 82 02= (-2 -x)2 22(2、2)，得 x 经检验，此时点 N在线段BC上, 方法 (I )解：取线段EF的中点H , AF的中点G ,连结 A G, A H

16、 , G H 因为AE = AF及H是EF的中点， 所以AH _ EF 又因为平面 AEF 平面BEF , 所以AH _平面BEF, 又AF 平面BEF , 故 AH _ AF , 又因为G、H是AF、EF的中点， 易知 GH / AB , 所以GH _ AF , 于是AF 面AGH , 所以.AGH为二面角A-DH -C的平面角， 在 RtLAGH 中，AH =.2 , GH =2, AG = 2.321 7， 所以FM 21 4 所以 cos. AGH (n)解：设 FM = x , 因为翻折后, C与A重合, 所以 CM =AM， AM2 =AH2 MH 2 二 AH2 MG2 GH2

17、=(2.2)2 经检验，此时点N在线段BC上, 21 所以FM二 4 (21) (本题满分 15 分)已知 m 1,直线l:x-my- VBFi F2的重心分别为G, H 若原点0在以线段 故二面角A-DF -C的余弦值为 .3 而 CM 2 二 DC2 DM 2 =82 (6-x)2, (I)当直线 (n)设直线 2 y =1, RE分别为椭圆C的左、右焦点. I过右焦点F2时，求直线I的方程; I与椭圆C交于代B两点，V AR F2, GH为直径的圆内，求实数 m的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质, 直线与基本思想方法和综合解题能力。 (I)解：因为直线 I : x - my

18、2 _ 岁丸经过F2C齐,。), _ 2 所以-m2T号，得八2，4 又因为m .1, 所以m = . 2 , (n)解：设 A(xyj, B(X2,y2)。 m2 x = my 由 2，消去x得 M y2“ m2 y 2 2 m 2y my 1=0 4 2 则由：-m2 -8(m -1) - -m2 8 0，知 m2 : 8， 4 2 1 且有y1 殳心厂于匚。 由于 FcQ), F2(c,0), 故O为证的中点, 由 AG =2GO,BH =2HO， 可知 G(pf),h(|, 2 _ (xi -X2)2 (% -丫2)2 -9 9 设M是GH的中点，则M（T，亍）， 由题意可知2 MO

19、c GH , 2 2 即 4( jX2)2 y1 y2)2 *(X1 -X2). (yr) 6 6 9 9 即 x-i x2 y1 y2 :：: 0故直线 I 的方程为 x - 2 2 2 2 -=0。 GH (%2i ) 2 2 所以 m _! ：o 8 2 即 m2 : 4 又因为m 1且二 0 所以 1 ： m ： 2。 所以m的取值范围是(1,2)。 2 2 (22)(本题满分 14 分)已知a是给定的实常数，设函数 f (x) =(x-a)(X b)e x =a是f (x)的一个极大值点. (i)求b的取值范围； (n )设X!,X2,X3是f (x)的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到X4 R 的某种排列x,Xi2，X3，X4(其中讣234鼻1,2,3,4冷依次成等差数列 及相应的X4 ；若不存在，说明理由. 解析： 本题主要考查函数极值的概念、 导数运算法则、 导数应用及等差数列等基础知识,