2021年高考数学第一轮专题复习-课题：不等式问题的题型与方法

1、第119-122课时：课题：不等式问题的题型与方法课题：不等式问题的题型与方法一复习目标：1 .在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其 它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解 决问题的能力以及计算能力；2 .掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;3 .通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数 学归纳法等），使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问 题；4 .通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基

2、本数学思想 方法证明不等式的能力；5 .能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题.6 .通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立 体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而 提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问 题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.2 .考试要求：1 .理解不等式的性质及其证明。2 .掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 的定理，并会简单的应用。3 .掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4 .掌握简单不等式的解法。5 .理解不等式|aHb|

3、f|a + b|w|a| + |b|。3 .教学过程：（I）基础知识详析1 .解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式 变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地 联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一,通 过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、 数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不 等式，运用图解法可以使得分类标准明晰.2 .整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用 不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等

4、式等化归为整式不等式（组）是解不等式 的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数 的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互 转化和相互变用.3 .在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形 象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰,通 过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等 式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.4 .比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一

5、般步骤 是：作差（商）T变形一判断符号（值）.5 .证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综 合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用.在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的 结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待 证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可 从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者 是执果索因，后者是由因导果，为沟通联系的途径，证明时往往联合使 用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.6 .证明不等式的方法灵活多样，但上瞰法、综合法、分析法和数学归纳法 仍是

6、证明不等式的基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法， 要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.7 .不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应 用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所 学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据 题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式 的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之 中.诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确 定，三角、数列、复数、立体几何、解析

7、几何中的最大值、最小值问题，无一 不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。8 .不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一 类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值,利用平 均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等三个条件缺一 不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本 步骤：1。审题，2。建立不等式模型，3。解数学问题，4。作答。9 .注意事I页：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等 式（组）或一元二次不等式（组）来求解解含参数不等式时，要特别注意数形结合

8、思想，函数与方程思想，分类讨 论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在 掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注 意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。（n ） 2004年高考数学不等式综合题选1.（ 2004年高考数学广西卷，5 ）函数八hog.u2-1）的定义域为（）C . 2,-1) U (1,2答案：A2 . ( 2004年高考数学广西卷,8 )不等式i<|x + i|<3的解集为()A .(0,2) B . ( 2,0)U (2,4) C . (-4,0) D . (-4-2)

9、U(0,2)答案：D3 .( 2004年高考数学广西卷,11)设函数/“)=卜+之<1 ，则使得/(x)ni 4-1的自变量X的取值范围为()A . (-00-2U 0,10B . (-oo,-2Uo,iC . (-oo-2Ul,10D . -2,0 u 1,10答案：A4 . ( 2004年高考数学广西卷，19 )某村计划建造一个室内面积为800/的矩 形蔬菜温室。在温室内，沿左.右两侧与后侧内墙各保留L宽的通道,沿 前侧内墙保留宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面 积最大。最大种植面积是多少？分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和 方法解决

10、问题的能力.解：设矩形温室的左侧边长为a m ,后侧边长为b m ,则ab=800.蔬菜的种植面积 S = (a-4)(0-2) = ab-4b-2a + S = 808 2(a + 2b).所以 S < 808 - 472 = 648(/n2).当 a = 2b,即a = 40(。力=20(，*寸,S最人心=648()答：当矩形温室的左侧边长为40m ,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.5 .（ 2004年高考数学江苏卷，1）设集合 P=1,2,3,4, Q=#|w2.nk,贝U PAQ等于（）A . 1 , 2 B. 3,4 C. 1 D. -2,1,

11、0,1,2答案：A6 .（2004年高考数学江苏卷，10 ）函数“）=-3»1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是（）A . 1 , -1B . 1 , -17 C . 3 , -17 D . 9 , -19答案：C7 （ 2004年高考数学江苏卷,12股函数m一八目，区间M = a zb（a<b）, 1+H集合N=y|-”，w,则使M = N成立的实数对（a ,m有（）A.0个B.1个 C.2个D.无数多个答案：A8 .（ 2004年高考数学江苏卷，13 ）二次函数尸ax2+bx+c（xwR）的部分对应值如下表：X-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax

12、2+bx+c>0的解集是答案：（s,-2）U（3,+s）9 .（2004年高考数学江苏卷,22 ）已知函数x）o满足下列条件：对任意的实数Xi , X2都有人 “1 -4)2 4*1 -叼)/。1)-/。2)和|/(占)-/*2)|4卜1-引，其中入是大于。的常数.设头数 3Q , 3 , b ；两足/(。0)= 0和=4-?/(4)(1)证明入41,并且不存在-a。，使得/仇)0 ；(n)证明他-询尸“。-入2)(0-40)2 ；(HI)证明划2 (l-X2)/(fl)2 .分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问 题的能力。证法一：(I )任取演/2 uR

13、,X W/,则由 2(x, -x2)2 <(x, -x2)/(x,)-/(x2)和) - f(x2 )1<1 %1 -X2 I 可知 A(x, -X2)2 < (x, - a-2)/(x,) - /(A-,)J <1 Xj - X, I I /(x,) - f(x2) l<l X, - a-2 I2 ,从而2<1,假设有dW劭,使得/(4)=0,则由式知。< “劭 一%)2 < (劭 一%)"(劭)一 /(d)=。矛盾. 不存在。W 4,使得/(%) = 0.(n )由 =a-歹(a)可知 (Z> a0)2 =a a0Af(a)2

14、 =(a-a0)22A(a a0)f(a') + A7f(a) (4) 由 。0)= 0和式,得(。-。0)。) = 3-。0)"3)-/(%)之4(。-。0)2由/(&)=。和式知，/2 ="(。)一/(/) W(a-g)2由、代入式，得(一。0)2 « (。一。0)2 -2之25一斯)2 +丸25一旬)2=(1 -2" )(a -a0)(ni)由式可知"s)r =/()/+/(幻2="(b) - f(a)2 + 2/(。)"® - f(a) + /(a)2< （Z? _ 2.f（b） -

15、f（a） + f（a）f （用式）A2=A2"（a）F 一 _（ _ 0/S）一/（«） + f（a）fA< 发f（a）2-A-（b-a）2+ "（a）?（用式）A=下"（42_2万"（02+/（02证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数。也g4，工内多,x以及它们的抽 象函数值/（*）。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题 的关键就在于消元一把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几 个特定变量来表示，然而再进行运算证明。"消元的模式并不难唯一，这里提 供一个与标准解答不同的消元”设想，供参考。题设中两个

16、主要条件是关于X -勺与/（为）-/（）的齐次式。而点（匹,/（%1）、 （公j（±）是函数图象上的两个点，/a）-/（马 ”网-公是连接这两点的弦的斜率。 若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行整体 消元。设均修为不相等的两实数，则（X -占）2 >0,1项-1>0由题设条件可得：。<一/3一/3）和|/3）一/（“小。不一/±一工2个攵_ /区）7（% ）7 项'则对任意相异实数m,X2，有Ov/Wk及Ik&l ,即Ov/VZWl。由此即得行1 ;又对任意匹5有攵>0，得函数/在R上单调增，所以函数/（x）

17、是R上的单调增函数。如果%工。，贝（Jf（%），/（），因为/（如）= 0，所以/（%）工0。即不存在°。即，使得/仇） = 0。于是，（I ）的结论成立。考虑结论（n）：因为 =a -4，故原不等式为a-aQ Af （a）2 < （1 -A2X«-a0）2 ；当a = 4时，左右两边相等；当“劭时,（a-a0）2 >0 ,且/（劭）=0 ,则原不等式即为:伍一劭 - "（a） + 4f （。0）< _ /2（。-a。）？令（,则原不等式化为（J女尸力外，即为1 +小）42攵。 a - %因为,则正,所以4 +衣2 «2k成立，即（II

18、 ）中结论成立。再看结论（in）：原不等式即/（）-"伍）2 +22/（6/）2<0 ,BDlf（b）- f（a）.lf（b） - f（a） + 2f（a） + f（a）2 < 0 ,注意到b = a-歹,则b-a = -Af'（a）,贝!原不等式即为"3）一/（4）,"（初一/（）一2（。一"）/加 + （一。）24。即/-/W + IV。,令k = f（b）-f（a）,则原不等式即化为 b-a b-a 2h-ak（k-2/A） + <0 ,即之+丸工？女 ,因为Ov九,贝!斯？<几<攵，所以W+4 4 2k成立，

19、即（W ）的结论成立。在一般的消元方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（n）与（in）,许多尖子学生证明了（ n）的结论而不能解决（m x借助斜率k 整体消元的想法把（ni （m）中的不等关系都转化为柜同的不 等关系衣2+几工2k ,然后由条件0<44力推证，有独到之处。(m)范例分析例1 设集合M =(对 则w= (y + 3)|y-l|+(y+3), -|<y< 3),若(a, b)eM ,且对M中的其它元素(c , d)，总有c>a ,则a=.分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口.怎样理解 对M中的其它元素(c , d),

20、总有c>af/ ? M中的元素又有什么特点？ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y) = (y+3),|yl| + (y+3)在<y< 3时的最小值.5125当时，x = (y + 3)(l-y)+(y + 3) = -/ -y+ 6=-(y+ -)2 + y,所以y = J时，又血=3- 4I39(2)当 l<y<3 时 z H = (y + 3)(y .l)+(y + 3) = y2 + 3y = (y + -)2乙I所以当y=l时，xmin=4 .而4),，因此当y = J时，晴最小值即a = J. I4II说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合

21、元素的本质属性，然后结 合条件，揭示其数学实质.即求集合M中的元素满足关系式 % =。+ 3) |y -1代(y + 3),-；4y43 "的所有点中横坐标最小的a 值.例2 .解关于'的不等式：xx-a<(a>0)分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不 是对参数“进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当时，不等式可转化、 国, 9MX- Cl) < 2a- 19亡 -9ax- 2(r < 0.一 一3+ 历.a <x<ab当时不

22、等式可化小 <“，即,- x)« 2.厂19厂 - 9ax + 2(r >0a f 2a/. x < 一或< x <a 33故不等式的解集为(-8：。336例3 .己知三个不等式：|2'-4|<5-%J7 N12/+3_1<0 X" 3x+2(1)若同时满足、的X值也满足,求m的取值范围；(2)若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形 结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的X值的满足的充要条件是： 对应的方程的两根分别在(-。)和3,一)内。不等式和

23、与之对应的方程及函数图 象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的 内在关系。解：记的解集为A ,的解集为B ,的解集为Co解得 A=(-1,3)；解得 B=o)52,4.AcB = 0,1)52,3)(1)因同时满足、的X值也满足，AcBqC设/(刈=2/+“ + 1,由/(X)的图象可知：方程的小根小于0 ,大根大于或等于3时,即可满足Ac8 u. J"。) <°即已<°- /(3) < 0 3/« + 17<03(2 )因满足的x值至少满足和中的一个，."q4 = 8,而4 = 8 = (

24、-1,4 因此 Cc(-1,4 .方程2/+g_1 = 0小根大于或等于-1 ,大根小于或等于4 ,因而/(-l) = l-/n>031/(4) = 4/» + 31> 0,解之得一一 W m < 14,m A-1 <<44说明：同时满足的X值满足的充要条件是：对应的方程2x? +mx-l=0 的两根分别在(-8,0)和3 , +8)内,因此有f(0) <0且f(3)<0 ,否则不能对A AB中的所有x值满足条件,不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的 内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系.例4.已知对于自然数

25、a ,存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：az5.分析：回忆二次函数的几种特殊形式.设f(x)=ax2+bx+c(aH0).顶点式.f(x)=a(x-xo)2+f(xo)(a#O).这里(x。，f(x。)是二次函数的顶点,Xo =-kdac ' b?丁，f(x0)=；？点式.£(X)=a(N -X)(N -叼)3沪0).这里西、町2a4akc是使f(w) = 0的值，满足巧十町=:，裂1% = &三点式.设氏，f(x1)、(X- f(xj)、(xfd)是二次函数图象上的不同三点，则系数a , b , c可由ffei) =+t>Z

26、 + c,< f氏)=四22+b%+c, 确定)f(x3) = ax2> + bx3 十 c.证明:设二次三项式为:f(x)=a(x-x,)(x-x2) , aeN .依题意知：0<x, <1,0<x, <1 ,且X|Hx,.于是有f(0)> 0 , f>0 .又f(x)=ax2-a(xl+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式, 所以f(O)=axj八 £(1)=&,(19)(1*)为正整数.故f(O»l , f(l)>l .从而 f(O).f(l)>l .另一方面，为。名)包士产:J/叼 +(1一句)1

27、2 _ 1墓2(1一墓2)%2 = I'且由X HX、知等号不同时成立，所以勺(1-句)町(1-町)<1.10/ 12ajXl-Xi) * x2(l-x2)<a .由、得，a? > 16 .又a£N ,所以a5.说明:二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往 比较灵活.根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关例5设等差数列同的首项al>0且SmnSn(mxn) .问：它的前多少顼的和最 大？ 分析:要求前n项和的最大值,首先要分析此数列是递增数列还是递减数列.解:设等差数列a 0的公差为d ,由Sm=Sn得ma1

28、+d = .+3dO乙乙2(m-n)a1 +dm2-n2 - (m -n) = 03=d= m + n-1今d<00数列%)是递减数列，所以存在kE N，使%>0 Jak>0 ,且 ak+1 < 0 .卜 G。，卜+(k+D m + nT>"m + n-lk/m+n-1lai+1<° a1+k* -4<0221m +n -1(keN).(1)当m,拄一奇f禺时，k =巴!?里，此时"也+ =0.所以数列%的前-i=T项和与廿曰项和相等且最大. 乙乙当m,洞奇偶时,k =色等，此时口 =!如>0,"也=也 2

29、+1+ K0.所以数列%的前二项和最大.乙说明:诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组)，并分析 其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键.例6.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且l<f(-l)<2 , 3<f(l)<4 ,求f(2) 的范围.分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是 二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来.即可求得f(2)的表达式，然后 依题设条件列出含有f(2)的不等式(组)，即可求解.解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx .于是ri&

30、lt;f(-l)<2,|l<a-b<2,3<f(l)<4. O,<a+b<4.()解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(I )变形得2< 2a-2b<4?4<2a<6.n 4a-2b< 10 =>10.其中等号分别在:二:与仁:时成立且仁:与仁：满足(I)所以f(-2)的取值范围是6 , 10.解法二(数形结合)建立直角坐标系aob ,作出不等式组(I)所表示的区域，如图6中的阴影部 分.因为f(-2)=4a-2b ,所以4a2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图6 , 当直线4a2bf(-2)=0过点A(

31、2 , 1) , B(3 , 1)时,分别取得f(-2)的最小值6 ,最大值10 .即f(2)的取值范围是：6<f(-2)<10 .解法三(利用方程的思想)所以 e(-1) = a -b,yf(-2)=4a-2b=3f(-l)+f(l),而l<f(-l)<2 , 3wf“，所以+彳导4w3f(l)+f(l)wl0 ,即 6<f(-2)<10 .说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:将不等式组(I)变形得4< 2a< 6,l<2b<3.2<a<3,而 f(-2)=4a-即 aZ? N 1 >

32、/? 1; X vZ? > 1 0 < != < 1J11/ (j:) < 1 矢1Th必要性：对任意-1 ve0,l,|/(x)| < I,/. f(x)2b , 8<4a<12 , -3<-2b<-l ,所以 5<f(-2)<ll .(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结 构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题，数学 的素养一定会迅速提高.例7.(2002江苏)己矢口 a >0,函数，(1)当

33、>耐，若对任意reR都有了(x)Kl,证明：“42班；(2 )当。>1时，证明：对任意xe0J , "")1«1的充要条件是5-1k心2、3；(3 )当OvbWl时，讨论：对任意xe0,l , "(x)Kl的充要条件。证明：(1 )依题意,对任意xeR ,都有/*)«1.;/(工)=-双工-三)：./() = < l,v a > 0力 > 0 a < 2yb. 2h 4b(2 )充分性：,./?>1,42-1,对任意工£01可推出：0¥-以22/?0-工2)_工>-x>

34、一 1,即ax-Z?/ > -1;又 b > ya < 2、区，对任意x e 0,1可知ax - bx2 < 2ybx-bx2 < (2ybx - bx1 )max = 2b - -= - b - (-U)2 = l,ax-bx2 < 1 /. -1 < f(x) < 1 yjb lb+ -2b 4b-1 < 1,/. a < 2、b 故b-T <a< 2yb综上对任於e0J1|/(x)| < 1的充要条件勒-1 <«<2无(3 ) a > 0,0 < b < 1 口寸,对任意

35、x g Oj, f(x) = ax - bx2 > -/? > -1即 f(x) >-l;Xlll/(x) < 1 知f < 即叼< 1,即 a <b + l而当+ l时J(x) = ax 刈2 «S + l)x 刈2 =(x T尸 2b 4b>12b：.在o±,y = S + 1)X-以2是增函数,故在x = 1时取得最大值1 . J(x) K 1当a >0,0<b< 1时，对任意r eo,lj|/(x)|< 1的充要条件后<b + 例 8 .若 a>0,b>0, a3 + b3=2

36、 .求证 a + b<2 , ab<l .分析：由条件a3 + b3=2及待证的结论a + b<2的结构入手，联想它们之间的内 在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者 的桥梁.证法一(作差比较法)因为 a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2 ,所以(a + b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b + 3ab2-6 =3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)2<0 ,即 (a+b)3$23 .又软+b。，所以软+ b42.因为a+ b42,所以abl.证法二(

37、平均值不等式一综合法)因为 a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2 ,所以2 = / +br2ja'b,故ab<l.又a + b = a* 1*1* 1 + b* 1* 1=3 又3 1 1 人、河 1 1,/+1 + 1 b3 +1 + 1 a5 + b3 + 46 >3333所以a + b<2 , ab<l .说明:充分发挥1的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮.证法三(构造方程)设a , b为方程x2-mx+n=0的两根,则m = a + b, In = ab.因为 a > 0 , b > 0 ,所以 m > 0

38、 , n > 0 HA=m2-4n>0 .因止匕 2=a3 + b3 = (a + b)(a2-ab+b2) = (a + b)(a + b)2-3ab = mm2-3n z 所 以n =耍二3 Jm将代人得m2-4(二-即可型0,所以-m3+83 3m3m0,即m42,所以a + bw2.由 2>m 得4zm2 ,又 m2>4n ,所以424n ,即 n<l .所以 ab<l .说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点.证法（恰当的配凑）因为 a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2

39、,所以2=a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2-ab)>(a + b)(2ab-ab)=ab(a + b),于是有623ab(a + b),从而8>3ab(a + b)+2 = 3a2b+3ab2 + a3 + b3 = (a + b)3 ,所以a + bw2 .似下略)证法五(利用公式因为 乙乙a5 4- b5 a 4- b 2 _ (a 4-+ 4b2 - 4ab - a2 一 b? - 2ab2一( 2)8, 3(a + b)(a-b)2 >8廿 0，所以对任意非负实数a, b有上了(4)3. 乙乙因为O,bO,£ +b3 =2,所以1 =(手)

40、3,因此胃41,乙乙乙BDa+b<2 .(以下略)证法六(反证法)假设a+b>2 ,则a3 + b3 = (a + b)(a2-ab+b2) = (a + b)(a + b)2-3ab > 2(22-3ab).因为a3 + b3=2，所以2 > 2(4-3ab)，因此ab > 1.另一方面,2=a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2-ab) > (a + b)(2ab-ab) = (a + b)-ab >2ab ,所以ab<l .于是与矛盾，故a + bw2.(以下略)说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方

41、法.例9 .设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x , y=-x ,均不相交.试证明对一切蛀R都有函+bu + c|>上.分析：因为xwR ,故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(x-xo)2+f(xO).证明：由题意知，a#0 .设f(x)=a(x-x0)2+f(xo),则小)二匕手.一 4a又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故i=(b+l)2-4ac<0 ,2=(b-l)2-4ac < 0 .所以(b+l)2+(b-l)28ac<0 ,即 2b2+28ac<0 ,即 b2-4ac < -1 ,

42、所以|b2-4ac| > 1 .b2 -4ac lb2 -4ac|.1故瞰。汩丁修房祠.由b? -4ac< -l<0可知当蛀R时，静)|.所以|3|上，4忸|即即,+网+耳卡成立.说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如 果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效 的证明途径.例10.(2002理)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量柜同。为了保护城市环境, 要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少 辆？ 解：设2001年末的汽车

43、保有量为一以后每年末的汽车保有量依次为/s.， 每年新增汽车x万辆。由题意得、=。.9也+ x即念=0.943,赢）%=(30 _)0.94t+-0.060.0630令凡 < 60,< （30 +；-） x 0.06x V/ 37上式右端是关玉2的减函数且当一 8时，上式趋于36 故要对一切自然数?满足/<60,应有XW3.6，即每年新增汽车不应超13.6万辆例11.已知奇函数f（x）在（-8,0）50, + 8）上有定义，在（0,+8）上是增函数，/=0,又知函数 g（夕）=sin2 6 + mcosO _2m,8 e 0，»集合2M =加恒有g（6） v o,

44、N =加恒有（g（8） < 0）,求M c N分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题 转化为二次函数在闭区间上的最值问题。解奇数函麴、（幻在（0, + S）上是增函数,./'（x）在（-8,0）上也是增函数。又由/=。得-1) = -/(I) = 0.满足<瑞3人的条件叱露即g(6)一 1( 8 e (0,g) , BPsin2 0 -mcos6 -2m < -1, 也即一 cos? 6 + mcorO - 2m + 2 < 0 o令t = cos。,则/ e0,1,又设I (t) = -r + mt -2m + 2,0<r&

45、lt;lm< 0.知me。一2? + 2<0要使W） < 0,必须使6（f）在0,1呐的最大值小于零1° 当? <0即? <3寸，6(f)max = 6(0) = 27 + 2,解不等式批2°当0<< 1 即0<m < 2H4,J(/)max= 厂二即上*、20 < m < 2解不等式图. 8m + 8<。得4 - 2忘< m < 2 .43 0当,1即"? > 2H't，Jmax = m + 1,解不等式组"> 22-m +1 < 0 得？ &

46、lt; 2名宗上：McN =卜”>4-272 例12 .如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。斗 一口 ( 1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽/I L-1s=rv 是多少？加位：X)(2 )若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽/ ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？(半个椭圆的面积公式为S=£?,柱体体积为：底面积乘以高，72 = 1,414 , 4V7 = 2.646本题结果均精确到0.1米)分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力 及运

47、算能力。解：1)建立如图所示直角坐标系，则P (11,4.5 )椭圆方程为：将b=h = 6与点P坐标代入椭圆方程得。 =竽'此时/ = 2。=竽、33.3故隧道拱宽约为33.3米2)由椭圆方程5 + / = i得，+答=1II2 4.52-7- '12x11x4.5.ab > 99,$ = £? =亚之也当最小时有1裳竺=1 422cr lr 2：.a = y2,b =入二此时/ =« 31.1,/z = Z? » 6.42故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.例13 .已知布N . n>l .求证吟吟,心白)早

48、.分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其形：它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解.证明设% +bn = J2n + l(n>2).j jJn -1则问题科为证明：考*,又“岳=展4,所以只需证明数列件是递增数列即可.设1 1 1f(n)(1 Rif中3 52n -1f(n 十 1) 0 ), 11 + 右Q，占.2)依EQ+泥)厂八)1 2(n + 1)J2n+3J(2n+l)Qn十习2(n +1)、28 + 1)=J -'.43 + 1)2 _萩，1)2即f(n+l)>f(n),所以f(n)>f(2).说明：因为数列是特殊的

49、函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想 解决.例14 .已知函数/(幻=上学2设0«4<1,0</区1,求证#+ . +'旬<| /(比+1)|设x是正实数，求证：/(x + l)/(x"+l)N2"T分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的 证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不 等式的性质及函数的性质。证明(1 )再利用二项展开式及基本不等式的证明：(1 ) fM =(An-+1 f(tx + )=tx + - x-1tx.“(江+1)卜tx+(小+百川喝=2.当且仅当闷=1

50、时，上式取等号。vO<|x|< 1,0 v 川 v 1 .,陶丰 1,+ 1)| > 2s = (|r + x| +,一年=2(r2 +/)+ 2,-x2|-(|r+ x| + |r-x|)2 =2(r +x2) + 2r -x1当,但|a|时,s = 4 < 4;当H <凶时s = 4x2 < 4|r + +1/ x| < 2 <f(tx +1)即卜 + x| + |r - x| <f(tx +1)|(2 ) = i时，结论显然成立当 2 2 时,f(x + l)p - f(x" +1) = (x + -(An + ±

51、) = Cnl.xHl + CtXn - 3 + XXXXc "-2 21 .万 一1 厂 I -2 . 02 一4 . 万 一21 , 一I+ Q x + £, X.严=Qx +QX +.+ q + Q 产=1 C1(fT + -L) + C：(f i + ) + .+ C/7(X-2 + 2 k-2 70 'n-4 z人人N. (C+ C； +.+ C；-')= C；+ C： +.+ C,= 2" -2例15 . ( 2001年全国理)己知i,?,是正整数，且1 v i W m < fl(1 )证明：'A"； <

52、m'A(2 )证明)+ m)a > (1 + n)m证明：(1 )对于 1 < "也有4； = nt(m -1).(in - i +1), = - m m m m m同理工=土 - -_-匚'由于? < ，对整数k = 1,2,.，-1,有 n n nn-k m-kA；A' Hn t A(>>，号 >-即/4 > /f Ah n m n m(2 )由一项式XE理有(1 + ?)" =Zd + )"由知/ A； > A：f-0f-o(1 < z < m < )，而C； = .C

53、二=二 7rc； >< / < in < n)z! i! mm因此 Zy' >£'。，又加'第=/。:=1/。=。=加而£； >o r-2r-2nm(m < i < n)即(1+ 加)"> (1 + )"。J-02-0四、强化训练1 .已知非负实数X ,)，满足2x + 3y-8S0且3x + 2)，-7W0 ,贝!L + y的最大值是()A . ZB§C. 2D . 3332 .已知命题P :函数> =1叫5(/+2、+ 4)的值域为R ,命题q :函数y =

54、 _(5 是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是()A . a<l B . a<2 C . l<a<2 D . a<l 或 a>23 .解关于的不等式¥>0x-2x-34 求a , b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-l<0的解集分别是： (DM，2 ； (2)(-oo ,-1U2 , +Q0); (3)2; (4)-1 , +00).5 .解关于的不等式“4-优(00且awl)6 . ( 2002北京文)数列上由下列条件确定： / 、八1a2再=a> 0,%叶=xn + ,n e N21(1

55、)证明:对于 2 2,总有x” >4a,(2 )证明：对于之2,总有x“"+i.7 .设P=(log2X)2+(t-2)log2X-t+l ,若t在区间-2 , 2上变动时，恒为正值， 试求x的变化范围.8 .已知数列®的通项为勺,前项和为s”,且勺是与与谢等差中项,数列也J中,bi=l , 点P (点P+1)在直线x-y+2=0 ±o I )求数列%他的通项公式也n )设色的前n项和为Bn,试比较 + 3 + +上与2的大小oB B2Bnm)设*=&+殳+.+4,若对一切正整数小7；<4u2)恒成立,求0的最小值 a a、 a五、参考答案1

56、.解：画出图象，由线性规划知识可得，选D2 .解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数M+2x + a的判别式二”加之。,从而；命题q为真时，5-加>1 = <2。若p或q为真命题，P且q为假命题，故P和q中只有一个是真命题，一 个是假命题。若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为l<a<2 ,故选C.3 .分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法 解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为 (工-*X-3*X +1) v 0和比较与-1及3的大小，定出分类方法。解：原不等式化为：(x-a)(x-3)(x + l)v 0(1 )当时，由图1知不等式的解集为£x<a或T< x < 3)(2 )当-1<。<30寸，由图2知不等式的解集其巾<-1曲<