力矩的时间累积效应

1、 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理.ipjp0, 0p一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 22kvvmEmp 质点质点运动状态的描述运动状态的描述 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 22kJEJL刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述0, 0pv1 质点的角动量质点的角动量vmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量rJmrL2Lrxyzom 质量为质量为 的质点

2、以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2 质点的角动量定理质点的角动量定理prL 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为

3、零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtt3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通

4、过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求求小球滑到点小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩为零支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcostmgRLdcosd考虑到考虑到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得得由由题设条件积分上式题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)si

5、n2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 例例2 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知已知月球半径月球半径 ; 在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月

6、过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 , 月球质量月球质量 mM ,由由万有引力和牛顿定律万有引力和牛顿定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 .m得得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvARmhRmBvv)(0

7、1sm1709)(RhR0Bvv得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 并获得并获得速度的增量速度的增量 , 使飞船的速度使飞船的速度变为变为 , 其值为其值为vAvmu质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒m0vAvBBvuvhORA飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到达月球的过程中达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM

8、222B2Avv即即1sm1615Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2v2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理112221dJJtMttOirimivtJtLMd)(dddJL z 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量

9、内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量JL，则，则若若讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒

10、定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细

11、杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg 例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设设跷板是匀质的跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷落在跷板上板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多可弹起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,