2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷答案解析

1、2020 年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷答案解析1、选择题（共 12 题）已知复数 z（ 1+2i）（1+ai ）（aR），若 zR，则实数 a（BAC2D2解答】 解： z（ 1+2i）（ 1+ai）（ 1 2a）+（ 2+a） iR ， 2+ a 0，即 a 22故选： D 已知集合 M x|1<x<2，Nx|x（x+3）0，则 MNA3，2）B（3，2）C 1， 0D 1， 0)解答】 解： N x|x（ x+3） 03，0， 集合 M x|1<x<2 ， 则 M N（ 1， 0，故选： C 3同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5 的概率为ABCD

2、解答】 解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数 n 6× 636， 向上的点数之和小于 5 包含的基本事件有：2），（ 3， 1），共 6 个，1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2， 向上的点数之和小于 5 的概率为 p 故选： B 4在正项等比数列 an中， a5a115，a4a2 6，则 a3（A2B4CD解答】 解：设正项等比数列 an 的公比为 q> 0， a5 a1 15，a4 a2 6，a1(q41) 15， a1( q3q） 6，解得： q2， a11则 a 3 4 故选： B 5执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（AB【解答】 解：

3、i 0，s1，第一次执行循环体后，i 1， s2，第二次执行循环体后，i2，s第三次执行循环体后，i3，s第四次执行循环体后，i 4， s第五次执行循环体后，i 5， s故输出 S 值为 ，故选： C 不满足退出循环的条件；不满足退出循环的条件；不满足退出循环的条件；不满足退出循环的条件；，满足退出循环的条件；CD6已知等边 ABC 内接于圆：x2+y2 1，且 P 是圆上一点，则（?+ ）的最大值是（ ）AB1D2解答】解：设 BC 的中点为 E，连接 AE，PE；并设 与 的夹角为 如图：因为等边 ABC 内接于圆： x2+y2 1，所以 O 在 AE 上且 OA 2OE 1；?（+ ）2

4、（+）?（+ ） 2 +?（+）+? 2+ ?（ ） 22121× ×cos2×1cos；当 cos 1即点 P在 AE 的延长线与圆的交点时；?（ + ）取最大值，此时最大值为 1（ 1） 2；故选： D 7已知函数 f（x） sin2x+sin2（ x+），则 f（ x）的最小值为（AB解答】 解：函数 f（ x） sin2x+sin2 （ x+CC，）当 sin( 2x 1时，函数故选： A 8已知数列 an 满足a11，（an+an+11）24anan+1，且 an+1> an（nN*），则数列 an的通项公式 an（A 2nBn2Cn+2D3n2解

5、答】 解： a11，（an+an+11）24anan+1，且 an+1> an（ nN* ）， an+an+112，1，又1，数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，1+（n 1）× 1 n，2 an n 故选： B 9已知 a 0.80.4， b 0.40.8， c log 84，则（A a< b< cBa<c<bCc<a< bDb<c< a解答】 解：根据题意， a 0.80.4，b 0.40.8又由 <，clog84故有 b< c< a；故选： D 10青春因奉献而美丽， 为了响应党的十九大关于 “

6、推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去 1 人，则恰好有 2 名大学生分配去甲学校的概率为（ ）ABCD解答】 解：现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去 1 人，+基本事件总数 n（） 150，恰好有 2 名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数m 60，恰好有 2 名大学生分配去甲学校的概率为P11已知点故选： A 1（a> b>0）上，点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称

7、点为 Q ，设，直线 AD 与椭圆的另一个交点为 B，若 PAPB ，则椭圆的离心率 e（ A BBC解答】 解：设 P（ x0，y0）由题意可得A（ x0， y0），Q（ x0，y0），由可得 D（ x0，所以 kPA，kADB（x，y），因为 P，B 在椭圆上，所以两式相减可得所以可得 kPB?kAB所以 kBP因为 PA PB ，则 kAP?kPB 1，即?（ ）1，整理可得：a24b2，x（ 1，+）恒成立，则实数范围为（）a 的取值A （，1 eB （， 3C（， 2D（，2e2解答】 解：由题意可知，分离参数，令由题意可知，a f（ x）min，又 ex1 x，所以 3，所以 a

8、3，故选： B 二填空题共 4 小题）13已知以x±2y0 为渐近线的双曲线经过点 （4，1），则该双曲线的标准方程为1解答】解：由渐近线的方程以 x±2y0 可以设双曲线的方程为：，又过（4，1），所以 1 ，可得 3 ，所以双曲线的方程为：1；14若函数 f（ x）在（0，）上单调递减， 则实数 a 的取值范围为a 1解答】 解：f'（x）0，故答案为：122即 sin x cos x acosx 1 acosx 0，acosx 1， x( 0，），由于 ya在 x0，递减，最大值为 y（ 0） 1，所以 a 1，故答案为： a 115根据气象部门预报，在距离某

9、个码头A 南偏东 45方向的 600km 处的热带风暴中心 B正以 30km/h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响， 从现在起经过 9.14 小时后该码头 A 将受到热带风暴的影响（精确到 0.01）【解答】解：设风暴中心最初在 A处，经 th后到达 B处自 B向 x轴作垂线，垂足为 C 若在点 B 处受到热带风暴的影响，则 OB 450，即 450，即 450；式两边平方并化简、整理得 t220 t +175 0 t10 5 或 10 +510 5 9.14， 10 +5（ 10 5） 15 109.14 时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h故答

10、案为： 9.14MB ，所以 OM ，由 MDMBOM，由 MD16在三棱锥 SABC 中，底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形， SA ，SB2 ，若 此三棱锥外接球的表面积为 21，则二面角 SABC 的余弦值为 【解答】 解：由题意得 SA2+AB2SB2，得到 SAAB，取 AB 中点为 D，SB 中点为 M， 得到 CDM 为 SABC 的二面角的平面角，设三角形 ABC 的外心为 O'，则 CO'3 ，DO '，球心为过 M 的平面 ABS 的垂线与过 O'的平面 ABC 的垂线的交点， 三棱锥外接球的表面积为 214OB2，OB2 ，故答案为：

11、所以 tanODM ， ODM 60°，同理 ODO '60°，得到 MDC 120°，由 cos MDC 三解答题（共 70 分）17在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为（ 1）求 A 的余弦值；a，b，c，已知a4，2）求 ABC 面积的最大值解答】 解：（ 1）即 ，所以所以 sinAcosBsinBcosAsinAcosB+sinBcosA sinB，2）由（ 1）可知 A 60°，由余弦定理可得，所以 b2+c2 16+bc2bc，故 bc 16，当且仅当 b c 4 时取等号，此时 ABC 面积取得最大值 4 18如图，在棱长为

12、 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q，L 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点1）求证： AC QL；2）求点 A到平面 PQL 的距离【解答】（1）证明：PQ QLPQ2+QL22××2+a22a2PL2，AC A1C1PQ，AC QL2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，D（0，0，0），A（a，0，0），P（ a， 0，a）， L（ a，a，0），Q（0， a，a），P（a， a， 0）， （ 0， a， a）， （ a，a，0），设平面 PQL 的法向量为： （ x，y，z），则 ? ? 0，可得： ax+ ay 0，ay az 0，可得： （ 1

13、，1，1），19已知抛物线： y22px（p>0）的焦点为 F，P 是抛物线上一点，且在第一象限，满 足 （ 2， 2 ）1）求抛物线的方程；2）已知经过点 A（ 3， 2）的直线交抛物线于 M，N 两点，经过定点 B（3，6）0），满足 2，2 ）的 P 的坐和 M 的直线与抛物线交于另一点 L，问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该 定点，否则说明理由【解答】 解：（ 1）由抛物线的方程可得焦点所以（ 2 ）2 2p（标为（ 2+ ， 2 ），P 在抛物线上，即 p2+4p120，p>0，解得 p 2，所以抛物线的方程为：y24x；2）设 M（x0，y0），N（x1，y

14、1）， L（ x2， y2），则 y124x1，y224x2，直线 MN 的斜率 kMN则直线 MN 的方程为： yy0x），即，同理可得直线 ML 的方程整理可得 y，将 A（3，2），B（3，6）分别代入 ，的方程可得，消 y0 可得y1y212，易知直线 kNL，则直线 NL 的方程为：yy1x），x+所以 y（ x+3），故yx+因此直线 NL 恒过定点（ 3， 0）20有人收集了某 10 年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：第 n年1 2 3 45678 9 10亿元x）商品销 25.030.034.037.039.041.042.

15、044.048.0y10售额/万元（y）且已知 380.01）求第 10 年的年收入x10；2）若该城市居民收入 x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程I）求第 10 年的销售额 y10；）若该城市居民收入达到40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？精确到 0.01 ）附加：（ 1）在线性回归方程 x+ 中，2）10254.0 ，12875.0， 340.0 解答】 解：（ 1）因为380.0，所以 32+31+33+36+37+38+39+43+45+ x10380，所以 x10 46；2）（I）由题意可知，因为所以，解得 y10 51，所以第 10 年的销售额 y10 51；）

16、因为 y10 51，所以因为，所以所以线性回归方程为由题可知， x 40，将其代入线性回归方程有yex2sin x2xcosx 在区间上单调递增；故估计这种商品的销售额是 41.96 万元21（1）证明函数2）证明函数在（ ，0）上有且仅有一个极大值点 x0，且 0<f（ x0）<2解答】解：（1）求 导，y' ex 2cosx 2 （ cosx xsinx） ex+2xsinx 4cosx ，因为 ex> 0，2xsinx> 0， 4cosx>0，故 y'> 0，函数 y 在定义区间递增；2）由，令 g（x） ex（x1） 2x2cosx，

17、g'（x） x（ex+2xsinx4cosx）当，由（ 1）得 g'（x）< 0，g（ x）递减，由 g （< 0， g（ ） 8 e（ 1+）> 0 ，根据零点存在性定理，存在唯一零点x0（ ，）， g（ x0） 0，当 x（ ， x0）时， g（x）> 0，f（ x）递增；当 x（ x0，）时， g（ x） 0， f（ x）递减，当 x （， 0）时， f'（ x），所以 f（ x）递减，故 f（ x）在（ x0， 0）为减函数，所以 f（ x）有唯一的极大值点 x0，由 f（ x）在（ x0，）递减，得f（ x0） f（又 f（ x0），当

18、 x0（ ，时，（ 1，0），0< 2sinx02， 故 f（x0） 2，综上，命题成立22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为参数），以坐标原点 OC2：2 4cos+3 01）求曲线 C1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；2）若点 P在曲线 C1上，点 Q曲线 C2上，求|PQ|的最小值解答】 解：（1）曲线 C1 的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为： 曲线 C2：24cos+30转换为直角坐标方程为 x2+y24x+30，整理得（ x2）2+y2 12）设点 P（ 5cos， 4sin）在曲线 C1 上，圆心 O（ 2， 0），所以：当 cos 1 时， |PO|min 3， 所以 |PQ|的最小值 31223已知函数 f（x） |2xa|+|x a+1|（1）当 a4 时，求解不等式 f（ x） 8；2）已知关于 x的不等式 f（x）在R 上恒成立，求参数 a的取值范围解答】 解：（1）当 a4时，f（x） |2x4|+|x3|，i）当 x 3时，原不等式可化为 3x78，解可得 x5，此时不等式的解集 5， +）；ii）当 2<x<3 时，原不等式