不等式恒成立、能成立、恰成立问题经典教程

1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（ 1）若不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx minA ，f (x) 的下界大于 A（ 2）若不等式fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx maxB ,f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x2-2ax+2, 当 x -1,+ 时，都有 f(x)a 恒成立，求a 的取值范围。例 2、已知 f xx 22x a , 对任意 x 1, f x 0 恒成立 , 试求实数 a 的取值范围 ;x例 3、R上的函数f x既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2

2、f c o2 s 2ms i n f2m 20 恒成立，求实数 m的取值范围 .例 4、已知函数f (x) ax4 ln xbx4c(x 0) 在 x1处取得极值3 c ，其中 a 、 b 为常数 . （ 1）试确定 a 、 b 的值；（ 2）讨论函数f ( x) 的单调区间；（ 3）若对任意 x0 ，不等式 f( x)2c 2 恒成立，求 c 的取值范围。2、主参换位法例 5、若不等式 ax10对 x1,2 恒成立，求实数a 的取值范围例 6、若对于任意a1 ，不等式 x2(a4) x42a0 恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数 f (x)a x33 x2(a 1)x 1 ，其中 a

3、 为实数若不等式f ( x) x2x a 1 对任意32a (0， ) 都成立，求实数 x 的取值范围3、分离参数法（ 1） 将参数与变量分离，即化为gf x （或 gf x ）恒成立的形式；（ 2） 求 f x 在 xD 上的最大（或最小）值；（ 3） 解不等式 gf ( x) max ( 或 gf x min ) ，得的取值范围。适用题型：（ 1） 参数与变量能分离； （2）函数的最值易求出。例 8、当 x (1,2) 时，不等式 x2mx 40 恒成立，则 m 的取值范围是 .例 9、已知函数f (x)1 ax3 bx 2 x 3 , 其中 a 0 （ 1）当 a, b 满足什么条件时

4、, f (x) 取得极值 ?（2）已3知 a0 , 且 f (x) 在区间 (0,1 上单调递增 , 试用 a 表示出 b 的取值范围 .4、数形结合a 的取值范围是 _例 10 、若对任意 xR , 不等式 | x |ax 恒成立，则实数例 11、当 x(1,2)时，不等式( x1)2 < loga x 恒成立，求a 的取值范围。二、不等式能成立问题的处理方法若在区间 D 上存在实数 x使不等式f xA成立 , 则等价于在区间D 上 f xmaxA ；若在区间 D 上存在实数 x使不等式f xB 成立 , 则等价于在区间D 上的 fxminB .例 12、已知不等式 x 4 x 3a

5、在实数集 R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围 _例 13、若关于 x 的不等式x2axa3 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是例 14、已知函数fxln x1 ax 2 2x （ a 0 ）存在单调递减区间，求 a 的取值范围2三、不等式恰好成立问题的处理方法例 15、不等式 ax2bx10 的解集为x |1x1 则 a b_3例 16、已知 f xx 22xa , 当 x1, fx 的值域是 0, 试求实数 a 的值 .x例 17、已知两函数 f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 为实数。（ 1）对任意x-3 ，3 ，都有 f （x) g

6、(x) 成立，求k 的取值范围；（ 2）存在 x-3 ， 3 ，使 f （x) g(x) 成立，求k 的取值范围；（ 3）对任意x1、 x2-3 ， 3 ，都有 f （x1) g(x 2) ，求 k 的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）1、若不等式 (m 1)x2(m1)x3(m1)0 对任意实数 x 恒成立，求实数m取值范围2、已知不等式 kx 2kx62对任意的 xR 恒成立，求实数k 的取值范围x2x23、设函数 f (x)x39 x26xa 对于任意实数x ， f(x)m 恒成立，求 m 的最大值。24、对于满足 |p|2 的所有实数 p, 求使不

7、等式 x2px1p2x 恒成立的 x 的取值范围。5、已知不等式 x22xa0对任意实数 x2，3恒成立。求实数 a 的取值范围。6、对任意的 a2,2，函数 f ( x)x2(a 4) x 42a 的值总是正数，求x 的取值范围7、 若不等式 x2log m x0 在0,1内恒成立，则实数m的取值范围。28、不等式 axx( 4x) 在 x 0,3 内恒成立，求实数a 的取值范围。9、不等式 kx2k20 有解，求 k 的取值范围。10、对于不等式x2x1a ，存在实数 x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M；对于任意 x0，5 ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为 N，求集合 M ， N

8、 11、对一切实数x, 不等式 x3x2a 恒成立，求实数a 的范围。若不等式x3x2a 有解，求实数a 的范围。若方程x3x2a 有解，求实数a 的范围。12、 若 x,y满足方程x2( y1)21 ，不等式 xyc0 恒成立，求实数c 的范围。若 x,y满足方程x2( y1)21 ， xyc0 ，求实数 c 的范围。13、设函数 f ( x)x4ax32x2b( xR) ，其中 a,bR 若对于任意的 a2，2，不等式 f ( x) 1在11， 上恒成立，求 b 的取值范围14、设函数 f (x)1 x3(1 a) x24ax24a ，其中常数 a1 ，若当 x 0时， f ( x)0 恒

9、成立，求 a 的3取值范围。15、已知向量 a =( x 2 ，x+1)， b = (1-x， t) 。若函数 f ( x)ab 在区间（ -1 ， 1）上是增函数，求t 的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案例 1、解： a 的取值范围为 -3，1例 2、解：等价于x x22x a0 对任意 x 1,恒成立 , 又等价于 x1时 ,x 的最小值0 成立 .由于xx1 2a1在 1,上为增函数 ,t=mg(t)则minx1a3,所以 a3 0,a322sin220得到：例 3、解：由cosfmfmf cos22msinf2m2 因为 fx 为奇函数，22sin22 恒成立，故有f

10、cosmfmt又因为 fx为 R减函数，从而有 cos22m sin2m2·对0,恒成立o g(t)1图 12t=m设 sint ，则 t22mt2m10 对于 t0,1恒成立，在设函数g tt22mtm1 ,对称轴为tm.t2当 t m 0 时， g 02m 1 0 ，o·即 m11m 0 ( 如图 1)g(t)t=m1图 2，又 m 0 22当 tm0,1 ，即 0m1 时 ,4m24m 2m 1 0 , 即 m 22m 1 0 ,12m12 , 又 m0,1 , 0 m1(如图 2)当 tm1 时， g 112m2m120恒成立 .·tm1( 如图 3)o1

11、m1图 3故由可知：.2例4 、解：（ 1）（ 2）略（ 3）由（ 2）知， f ( x) 在 x1处取得极小值f (1)3c ，此极小值也是最小值 .要使()22(0)恒成立，只需2即2，.f xc x3 c2c2cc 3 0从而 (2c3)(c1)0.解得 c3或 c1.c 的取值范围为 (, 13,) .122例 5、解： a例 6、解： x(,1)(3,)2例 7、解析：由题设知 “ ax23x(a 1)x2xa1对a(0，) 都成立，即 a( x22)x22x 0对a(0，) 都成立。设 g(a)( x22)ax22x （ aR ），则 g(a) 是一个以 a 为自变量的一次函数。x220 恒成立，则对xR ，g(a) 为 R 上的单调递增函数。所以对a(0，) ， g(a)0 恒成立的充分必要条件是 g (0)0 ， x22x0 ，2x0，于是 x的取值范围是 x |2x0 。例 8、解析 :当 x(1,2) 时，由 x2mx40 得 mx24. 令 f (x)x2x4x4，则易知 f ( x) 在xx(1,2) 上是减函数，所以x1,2时 f (x)max